EXPRESSIONS DES NORMALES
On arrive au même résultat, en divisant l’une par l’autre les expressions de N et n qui terminent ce paragraphe.
En introduisant dans (1) les valeurs de x et y eu fonction do N tirées de (4) et (6); puis ensuite celles de ces mêmes coordonnées telles que les donnent (3) et (5) en fonction de n, nous aurons deux équations qui détermineront N cl n.
N* ros.«L , B« v./f.os.«L , B» . , \
— JT— + 0“ '
n>A*cos.*L , n* sin.*L . ./A* . slii.« L\
— Bï — +— Br-=‘
Chassant les dénominateurs
N* (A* co«.*L -f B* si#.*L) «= A‘. n* (A* co8.»L + B* sin.*L) => B*, et en remplaçant cos.’ L. par 1 — sin.’L
N* (A‘ — (A‘ — B»)siu.»L]e=A«, n» [A«— (A* — B*) sin.«L]. »= B*.
On appelle excentricité et on désigne par e le rapport de la distance focale C au demi-grand axe Â, de manière que
et que A»— B»=A*<?«, ci B*=A> (t — c»)
Substituons ces expressions dans les dernières valeurs de N et ti, et nous aurons
ou plutêl
AU’ I H — r» ^
' A’ — A*c* sin.*L ’ ’ A* — A*e> sin.*L
A ft -e*)
(t — siii.»L;*
426. Sous~normaks. La sons-normale OR se déduira facilement de ce qui précède et des relations qui existent entre les éléments du triangle OQR {flg, 325) : en effet , la sous-normale ou
OU = BQsin OQR=»RQ !iD.L=(.N-«) sin.r,=
' ' (t — e* sm,*L)‘
Ac*. sin.I.
(I — t'* sio.'L)’
On trouverait de même que OQ =
Si l’on remarque sur la ligure 325 que »N’ -|- sn’ = (N — u)-, on trouvera en substituant les valeurs ci-dessus de sN cl sn ou OR et OQ
A*e< sin.*L-4- A*c* ros.'l. A» c' ...
* ou — ^
(t — c* sio.*L) (I — c* sin.»L)
ou
GËOUKSIK.
(< — e* siti*L)i
comme on l’aurait trouvé directement au moyen de N et «.
L’abcisse d’un point M n’éU^nt autre chose que le rayon du parallèle sur lequel il est situé, nous trouvons en désignant par ( ce rayon et au moyeu du triangle MRS
ns = ÜF fi = N cos.L A. ro'ï.L
(I — e* sia.’L)*
&27. On peut aisément vérifier l’exactitude des expressions qui représentent les normales et sous-normale , pour le cas où l’ellipsoïde devient une sphère, auquel cas A = B et o : car alors on trouve, comme cela doit être, N = »i = A ; OR = OQ = o.
428. Rayon de la terre en fonction de la latitude. Un rayon quelconque tel que CA ou CB {fig. 325), que nous représenterons par R et lié aux coordonnées de son extrémité par l’équation Rî + .T*. Mettons pour a: et j/ le valeurs fournies par (4) et (6), il viendra
: — sin.*l.-|- N*oos.»L
cl en remplaçant N par l’expression que nous venons de trouver plus haut
B‘ sin >L
A» cos ’L
A* (I — e* sin.*L) (t — «•« sin »L)
li*3lii.»L-4-A< cos.»L A* — {A* — B*) sin *1.
A’(t — (.-«siii.^L) A’ — e* sin.>L)
Nous savons que B‘ = (I — e^)^, ou par suilc A' - u* = A' (Jt» - {').
d’uù, en divisant pur A^ haut et bas,
^ A»(< - (je* -e«)sin.«L)
™ i — e* sin.*L
ou en supprimant le terme en sin.’ L
A* (t — ’îr* sin.*I,)
4 — c* sin.’L
et en faisant passer le dénominateur au numérateur, en lui donnant l’exposant — 1, développant et s’en tenant au second ferme.
RAYONS VECTEURS. 4f,<J
parce que le troisième serait du quatrième ordre par rappori à c.
ou
Ht= A« (t - îe« sin.M.) (t + c» sin.’L)
R» = A» (1 + e* sin.«L— 2f* sin.»L-î^-« sin <I.) = A» (t-«t sin.»L-??« sin.a)
et enfin , supprimant le terme en e«, = A* (1 — c* sin.* L) ou
approximativement R z= A (1-e* sin.*)^. On arrive au même résultat, comme ce doit être, en employant les valeurs de * cty en fonction den au lieu de N. Concluons de cette valeur du rayon et de celle de la grande normale que NR = A», c’est-à-dire que, dans le sphéroïde terrestre, et pour on point quelconque, le rayon de l’équateur est moyen proportionnel entre la normale et le ravon. PourLzzo, ona
i\ CT A. n O A (t — «•), Nn = A* (t — <*•), R o y c \
Pour L = 100*
° (< - «=A(t-c*)', iV/i-A», n=B
Si l’on voulait avoir le rayon correspondant à la latitude moyenne 50», on remarquerait que , dans ce cas , sin. z= cosin., sin.*=cosin.*^ 1 — sin.*, sin.» = i. Désignant donc par R' ce rayon, on aurait
RM„A«
Rapport entre un rayon quelconque et celui de 50*. Au moyen des valeurs de R* et R'* que nous venons de trouver, il vient successivement
Ül
— = l-c« sin.«L+^ — -sin.iL =
^ = I - /■» sin.*L -f J = , + J () 2 sin «I.)
et enfin
Tel est le rapport des carrés des rayons : quant à celui des rayons eux-mémes,
il sera Ç fos.»
470 CéODÉSIR.
Si nous voulons établir ici namériquement le coefficient de cos. 2L, en vertu de l'aplatissement qui a été trouvé nous écrirons B = A(l — d’où
ou
et
