e* 9in.*t f — * * n

(4 — e* *in.*L/

472 CÉODÉSIR.

Uéduisons les deux premiers termes au même dénomina leur

^ A* (I — -4- e* sin.*L 4- *** — f* sin.»L ^ 2 A cos L

' ' 4 — c» sin.L ' (1— c»»in.L)*

A» (I +f» — if* sin *!•) ^ 2A*f ros.t.

4 — c* sin.'L ~(4— c» sin.*L)«

P — • 2tffos.l, T

- V [(4 + (4 2 sin.»L) (4 - c sin.-L) ± j

^ A. [(4 + c.cos2l.)(l-Csin..I.)

et enfin, en prenant les deux premiers termes du développement de. In puissanec — 1, elTecluant le produit et négligeant le terme en e*.

î’=- A» [(4 + f’ros.2L-l- e« sin.*L-±elc.)) s= A* (4-f c* {cos.2L + sin.’L) d: etc. et parce que

cns.2l,= fos.*l, — sin.’F. , i* A» (t -f c« cos.»l. -iz ,,

V (I— sin.«L)*/ '' '

Nous pouvons aisément vérifier celte double valeur de z, en supposant d’abord L — o, d’où sin. L= o, cos. L = l, ce qui réduit la formule à

— A» (l+r> ± îc)=tA« (4±e)’, cl : ^ A (t ±c)= A ± Ac = A drC.

C’est ce qui a lieu en elTel dans l’ellipse, pour les extrémités du grand axe.

Si nous supposons L = 100*, alors sin. F. = 1 et cos. I. =o. Nous trouvons, comme cela doit être, i = dc A. l*our la latitude du parallèle moyen, on a sin.*.’>0=cos.*.'S0=:i, et par eonsé'quenl

On peut encore simplifier l’expression de s* fournie par (a*); en effet, en chassant le dénominateur du troisième terme dans la parenthèse, par le moyen employé déjà si souvent, ce terme devient cos. L(1 + ic’sin.*!^), et peut se réduire à 2c cos. I.., puisque le terme que l’on néglige c^cos. F. .sin.* L est du froisièm

n\VO\ OF. COURBünE DE l’ellipse. 47ô

ordre par rapport à r, et contient deux autres facteurs plus pp« tits que l’unité. Nous sommes donc en droit d'écrire

î>=rA’ [;l + c»co».’L)rtîcco« I.] = A* (1 :t o cos.I.)* et i=.\ (I ±«os.’l.)

On y trouve également pour L=^o, Ctcos.L = l pour I. T=IOO, ros. = 0

pour i.=.-r,o, cos. =\''I

que : = A(1±e) que ; =. A

j = = A(1±eP'j)

I et :«*^A«(l+ic»±îet/i)

Antre méthode pour déterminer les rayons recteurs. Nous pouvons encore déduire la valeur de z d’une antre considération puisée dans les relations qui existent entre les différentes lignes de la figure .t25; en effet, le triangle OM/'dans lequel les cétés sont R, Z et G, et dont nous désignerons, pour abréger, l’angle on O par A, /■ repré.scntant le foyer, nous fournit l'équation Z* = Rï + C*— 2RC. Cos. A ou plutôt Z2=Rï-fCî±RC. 2Cos. a(1), parce qu’en considérant le triangle OMF' pour avoir le second rayon vecteur, il n’y aurait que le signe du cosinus à changer, en raison de ce que l'angle en C, dans cette seconde circonstance, serait le supplément de celui que nous avons considéré d'abord.

Le triangle OMP nous indique que R cos. et nous trou-

vons encore dans MRS que N cos. L = j, d’où N cos. L=R, cos. A. Nous allons substituer cette valeur dans (1), tout en déduisant en passant, cette conséquence, que le rayon et la normale d'un point quelconque du globe sont réciproquement proportionnels à leurs inclinaisons sur l’équateur.

Revenons à Z* qui devienlZ* = R*-(-C*±2NC cos. L.

Remplaçons R, C et N par leurs valeurs, et il viendra

2W ros.l.

(I — <* siD.*I..»

-fp’ cos.«L

V (t — e*sin.*L)*/

031. Rayon de courbure de l’ellipse. Nous avons eu occasion, au S ^06, de parler des cercles osculateurs aux différentes sections planes passant par un même point d’une surface, de l’ellip.sofde de révolution, par exemple. Sans revenir sur ce que nous avons dit à ce sujet, nous voulons ici chercher simplement le rayon du cercle oscillateur de rellip.se, la plus importante de

OK0DÊ8IR.

COS sections planes de l’eUipsoïde qu’on peut regarder comme représentant la surface terrestre. .

Nous savons qu'une tangente est une ligne droite qui a, avec une courbe, deux points communs infiniment rapprochés; le, cercle osculatcur est celui qui a trois points communs avec la courbe.

Pour trouver la traduction analytique de celte définition, considérons, d’une manière générale, quoique très-succincte, la théorie des courbes osculatriccs.

Nous savons, d’après le théorème de Taylor, dont nous avons donné l'énoncé au § 76, que si * et 1/ sont les coordonnées particulières d’un point d’une courbe dont l’équation générale est représentée par la fonction

on a généralement, en désignant par h un accroissement quelconque de X, par /''(x), les dérivées successives ou les

coefficients différentiels de la fonction, et par j/' la nouvelle valeur de l’ordonnée.

Considérons une seconde courbe dont l’équation soit y = 7 (X).

Si elle rencontre la première au point particulier x, y, il faut que f(x) = V (x) pour la valeur particulière x.

En donnant à l’abscisse delà seconde courbe la mémo augmentation h que nous avons attribuée à la première, son abscisse deviendra

Les deux abscisses y' et j/',des deux courbes seront généralement différentes, et leur différence sera donnée par

y-y'i = /'(x+/>)-?(x+ft)»*/’(x) J + r(x)^+- • • •.

puisque déjà /’(x)=?(x) par suite de l’existence du premier point commun x, y.

Si l’on veut que les seconds peints des courbes répondant à

nAÏOX DE COl'RBl'nF. DE l’eU-IPSE. 47.Ï

la nouvelle môme valeur soient communs, il faudra

que

r W î + r W + ' =<P' (ir)5 + 9" (r) ;^ +

OU supprimant le fadeur commun h,

tant que h sera fini, il n’y aura rien à conclure de celte équation renfermant h à toutes les puissances} mais si l’on pose cette condition que h soit infiniment petit, elle se réduira h

les courbes dont les équations sontÿ = /(æ), x — V{x) seront alors tangentes lorsqu’elles auront même coeffi;ient différentiel du premier ordre.

Si pour limiter la question nous supposons que la seconde courbe ÿ = 9 (x) soit la ligne droite ou le cercle, nous verrons que dans le premier cas l'équation de la ligne droite qui passe par le point fixe x, y ne renferme qu’une seule variable a

Y — ÿ = fl (X — x)

et que, par suite, la condition = (x) donnera naissance i\ .

une équation où cette variable unique, entrant seulement a la première puissance, sera déterminée. 11 n’y a donc qu’une seule tangente en chaque point d’une courbe continue, et elle est précisée par l'équation a = /'/(x).

En examinant le cas du cercle dont les coordonnées généralc.s seraient X et Y, et en désignant par a, p celles de son centre, nous verrons que son équation

(X-a;> + ;Y- p;»=.R> différenciée donne

Si ce cercle passe le point particulier x, y, et s'il est tangent à la courbe dont l’équation est f{x) — o, il doit avoir même coefficient différentiel, pour le système particulier X = x,

Y = ÿ. Il en résulte donc

ce qui établit une relation entre les coordonnées a, p du centre du cercle tangent.

Celle 6iiuulion unique, indépendante du rayon, fait déjà voir qu’en chaque point il y a une infinité de cercles tangents de rayons quelconques. Si, de plus, on la met sous la forme B — y

= — (» — a-), on obtient une équation qui, en considérant

3 et ^ comme des coordonnées variables, appartient à une ligne droite passant par le point y, ligne qui est inclinée sur l’axe

des X, d’un angle dont la tangente = — 77^- Tous les centres

des cercles tangents sont donc situés sur la normale de la courbe, et tout point de cette normale peut être regardé comme le centre d’un cercle langent.

Après avoir ainsi épuisé la question de la tangence, du moins pour la ligne droite et pour le cercle, revenons aux courbes osculatrices.

La condition f*(x)zz<f' (x) a été une conséquence de celle hypothèse que les deux courbes avaient deux points communs infiniment rapprochés. Désignons par x', y’ les coordonnées du second point et établissons cette nouvelle condition qu’il y ait un troisième point commun infiniment rapproché. La communauté des deux seconds points a donné

la condition relative au troisième fournirait par la même méthode employée en premier lieu

/■(xO = ç'(x')

ou ^ (*■ + '!•'■) = ?'

OU encore

./■ (Vi+'tÿi)

d.r dx

en désignant pour un moment par l'ordonnée de la seconde courbe, que nous .savons pourtant être la même que celle de la première. Donc enfin

ÎÎ3!.4.1ÎÏ lîïl

<lx dx dx ‘ dx

dx'> rf.f’

puisque nous savons déjà que ^ ou /" (x) =<»(*), et que le dx est le même.

Pour que deux courbes aient trois points communs infiniment

RAYON ÜE COURBURE.

in

rapprochés, il faut donc et il suffit que leurs équations aient mêmes coefficients différentiels du premier et du second ordre. Ces courbes sont alors dites osculatrices l’une à l’autre.

Observons eneore que si la seconde courbe est un cercle, son équation renfermant seulement les deux coordonnées du centre, puisque le rayon s’élimine de suite par la condition qu'il passe par le point donné de la courbe, les deux équations /*(x)=:<p''(.r), = suffiront pour déterminer le cercle osculateur qui ne présentera plus l’indétermination que nous avons trouvée pour le cercle tangent.

Occupons-nous maintenant d’appliquer les principes précédents à la recherche du rayon du cercle osculateur de l’ellipse, en fonction de la latitude d’un point de celle-ci.

Soit (æ — = l’équation du cercle osculateur, dans laquelle a et ^ représentent l’abscisse et l’ordonnée du centre, et Y le rayon.

Différencions deux fois cette équation, et nous aurons

représentant ^ par p, ^ par q, il vient

l*our exprimer que les deux courbes sont osculatrices, nous allons tirer aussi de l’équation de l’ellipse les valeurs de ^ cl

et nous les égalerons à celles trouvées ci-dessus, ou, ce

([ui revient au même, nous les substituerons à pcl q dans la valeur de y.

L’équation de Tel lipse est -j- =o^ b^. Ln la différen-

ciant, nous trouvons

a*udy 4- i*xdx = o d’oÙ %- •= —

dx a>ÿ

— ^ est la tangente trigonométrique de l'inclinaison de la tangente à l’ellipse sur l'axe des x ou la cutangcnle de la latitude correspondaute.

478 géodésie.

Nous pouvons donc écrire

^ = p = cohngL

Prenons la difTérentielle seconde : il viendra

ou successiveuicnl en intervertissant l’ordre des termes.

, , a»rfy

ilx* ~

I 4- coUDg.»L 4- J <ï= O

mais ÿ- y=*Nsiu.L (n» 425)

donc

<4-^c<»!">«-‘l'4-^S'n.Lï = '> OU ï = nTTÎÛT"

11 n’y a pas à tenir compte de ce signe moins j c’est la valeur absolue que l’on introduit dans celle de y. Le signe moins en

avant de ^ indique que la courbe présente sa concavité à l’axe

des X, tandis qu’affectée du signe plus, cette expression fait voir que la partie convexe est tournée vers l’axe des abscisses.

En introduisant p et 9 dans y, nous trouvons

rosfc.‘L

ji L = y—— i-

‘ , I n’ , ,, A» sin.*l, 4- cos.'l.

i4-4rcoung,.L

N' sin.L

‘ 6>siu.*L 4-0’ cos.’L^ n* (I — ÿÎD.’L)4- 6* sin.’l.

‘ ” O’ (4 — «r* sra.»l,)

cl enfin Y— £Ü-=£Îl, '

' («— o’iin.’L)»

parce que