et N =175 — r^-rr

'I — f’ SI» ’L)i

'(32. Nous allons donner ici quelques applications numériques, de la formule qui détermine le rayon de courbure.

Cherchons d’abord y, en supposant L=;0'.

itAVo.v üE couniîunE. 179

Le dénoruinalcur devient nul, et la formule sc réduit à

Prenons a = 6376606“’, comme l’indique Laplace, quoi qu’il suppose raplalissemeul égal à : nous savons que

c«=0,006W3 d’où 4— C«=.0,993b38

log. a = G.80lo896

log.(t— c*) — 9.0974843

log.a (4 — ?•) I» 6.8017743 donc Y=6333400«.

Faisons L = 30 , nous aurons, pour trouver la valeur correspondante de Y, les calculs suivants :

log.e» — 7.8403670

i log. sia.30> — 9.3440936

log.c’ sin.30’ — 7.4 244600 e» ain.» 30“ = 0.0043349 4— e«3ii:.«30»= 0.9986681 log. (4 — f* sin.» 30*) — î.9994597 log.(4-e»3iii «.30‘)î=- 4.9904J98

donc

log a (I -fi) = 6.8017743

log. (I— fisin,i30',i =■ Î.9994298

log-Y = 6.8026443

elY -= 6348409"

Pour L =50*, le sin.- L=J cl la formule devient

ï or ^=0,003*31.4 -^ = 0,99676f0

et log. ^4 — Ï.9983046 donc log. ^4 — yj’=T.99789l9

et

log.n (4 — e») = 6.8047743

log. (4-^)^

log.y

fl Y

Pour la lalitudc L — 7Ü-.

log

i. log. sili.'ü' log.e* sin.»70‘’

sin.*ÎOs 1 — t* sin.*70»

= 7.S(t307O = ‘J.8ÎI97GI8

O.OOoiaO)

log. (4 — c^siii.’lOsl = Î.99776Ü4

log.(4— t* sin.*70; * ^ Î.9966496 log.a(4-c») 6.8C47743

log.Y = 6.8064 i4 7

Uien de plus facile acluellement que de calculer la luiigucui du grade aux latitudes 0<, 3Ü> et 70<, en parlant de sa longueur iOOOOO'", sous la latitude 50'.

Nous aurons, en effet; if(60*) : y(30'); ; 100000“ ;x.

log.lOOOOO = 5.0000000 log.Y(50«) = 6.8038824

1)964476 log.Y(30g) = 6.80Î6443

log. (4s à lo latiludc 30s) = 4.9987619 4i à la latiludc 30c >= 99733-

l)e même,

Isa la lalitudc 70s = 4 00286- 2.4 964 4 76 log.Y (Os) 6.8017743

I* vers l'cqualcur = 99ol6-

Nous devons d’ailleurs dire ici que plusieurs ouvrages el, entre autres, l’e-xcellent Traité de topographie de M. le colonel Puissant, et le Mémoire sur la projection des cartes, du colonel Henry, contiennent, le premier, sous le n» 3, l'amplitude des arcs de parallèles projetés correspondant i\ 1' de longitude, pour les latitudes de 30' à 70* ; et le second, dans la Table XI, les longueurs en mètres de t' en longitude sur lesplicroidc terrcstie, aussi de 30 à 70- de latitude.

RATON DR COljRBl'P.E.

433. Les résultats précédents ont été obtenus, ainsi que les tables que nous venons de citer, en partant de cette hypothèse que les arcs de l’ellipse méridienne et ceux de son cercle osculateur peuvent être regardés comme se confondant pendant une étendue ne dépassant pas 1* ou 1‘ î de la latitude, hypothèse vérifiée par le calcul direct de l’arc d’ellipse. Si l’on avait à trouver la longueur d’un arc de méridien plus grand que 1‘, le procédé indiqué ne serait plus assez exact ; il faudrait alors se servir de la formule de rectification de l’ellipse ou opérer en ajoutant successivement les éléments < 1* obtenus par le secours des rayons de courbure. C’est ainsi qu’il faudrait agir dans la projection de Flamstead modifiée, si l’on n’avait pas les tables de Plessis à sa disposition.

On peut encore obtenir la longueur du grade du méridien sans passer par l’intermédiaire de celle du grade sous la latitude de 60». 11 suffit d’écrire

tre lie 1> =* «ngle l'XT

^ désignant toujours le rayon de courbure de l’ellipse sons lu latitude considérée L, rayon que nous savons être égal à

(4 — (“• sin.*L)t ’

rr, rapport de la circonférence au diamètre, étant divisé par 200, donne le grade égal à 0,015707963, par suite

4* latitDdec- 0,04 5708. ^ t-*

(1 — 0,006462 sin.*L)î

Appliquons cette formule au cas où l’on voudrait connaître la longueur de l’arc du méridien compris entre les latitudes 64* et 65' ; celle qu’il conviendra d’employer pour le cercle osculateur sera 64*, 60'. On formera d’abord le terme 1 — sin.^L

log.c*

+ 2 ^og. iin.54',50'

log.e* SID.* 54", 50' e* 3iü.*54‘,!iü'

4 — c* sin.«ü4',60' log.(4— e*sin.* 54*, 50') log.(4— e*»in.*54*,bO')*

puis substituant,

log.A. 4e C=>3, 0007334

+ log. (4 — e*) -1- î, 9974 845

— log. (4— «• »in.»5U,50')^= — 7,9975937

log. 4e latitude » 3,0003242

longueur 4l du méridien (de 54< à 5Se) 400076"

Après avoir donné le moyen de trouver la longueur du grade en latitude , indiquons la marche à suivre pour obtenir celle du grade compté sur un parallèle de latitude L. On sait que le rayon de ce parallèle sera r = N cos.L, N désignant la grande normale que nous savons (§ 425) être égale à

(I — c* sin.*L)î

On aura donc

6376957"* cos.L

longueur de I* en longitude *= 4 • X = 0,015.07963 X 0,006462 sin ‘L).

Appliquons encore cette formule à l’arc du parallèle de 54*, 50. Nous avons trouvé ci-dessus le logarithme de 1 — e’sin.* 54', 50' : nous pourrons donc écrire immédiatement,

log.A. 4! 3,0007334

+ log. cos.54«,b0' =-1-7,8165066

— i log. (4— e» sin.* 54»,50') =>7,9991979

log. 4e longitude » 2,8480421 longueur 4i (l»ar»llèle de 84«,60') = 65772“.

434. Reclificalion d’un arc d’elUpse. La formule qui donne l’arc du parallèle est exacte, quelle que soit l’amplitude de cet arc, mais il n’en est pas de même de celle qui fournit l’arc du méridien lorsque la différence des latitudes extrêmes dépasse 1' ou 1> t. Dans la cas où cette limite est dépassée, il faut avoir recours ù la rectification d’un arc d’ellipse.

Considérons deux points du méridien infiniment rapprochés répondant à une différence de latitude dL ; les deux rayons de courbure correspondants pourront être regardés comme égaux, et en désignant par ds la longueur de l’élément de l’ellipse, on aura

f/,= Y tll

A (4 - et) (I e» >in.»