CHAPITRE IX

FOMIULES DE LATITUDE, LONGITUDE BT AZIMUT.

456. Latitude. L’emploi de la projcclion de Flainstead modifiée exige la connaissance des latitude et longitude de chaque point à représenter. Cherchons donc ces éléments en fonction de ceux qui sont fournis par le canevas géodésique. Il suifira, pour arriveràce résultat, de connaître, eu outre, la latitude et la longitude d’un premier point, ainsi que l’azimut à son méridien, d’un premier cété, ce qu’on obtiendra par des observations astronomiques. On pourrait résoudre un triangle dans lequel deux cdtés et l’angle compris seraient connus, par la méthode indiquée au § 70. Mais, pour obtenir une plus grande approximation (S 377), on préfère procéder de la manière suivante :

Soient P le pôle , PA et PB (/lÿ. 326) deux méridiens, AN et BO les normales aux points A et B : on suppose connu l’angle ANH, qui est la latitude L de A, et l’on demande L', celle de B situé à l’extrémité de l’arc AB ou K, obtenu par la résolution des triangles. Pour trouver L — L' ou la dilTérence d’inclinaison sur l’équateurdes normales AN, BO, qui ne sont pas situées dans un même plan, unissons B et N par une droite qui formera avec l'équateur un angle que nous désignerons par a ; puis cherchons L — A, A — L', et éliminons a.

Si du point N, comme centre, et d’un rayon égal à l’unité, nous décrivons une sphère , elle sera coupée suivant les trois arcs de cercle pa, pb, ab, par les deux plans méridiens et par celui dans lequel sont situés AN et AB.

pa sera le complément de L, pb celui de a, et ab, que nous représenterons par <ç>, sera le rapport de K à la normale du point A ; car l’arc AB est assez petit, eu égard aux dimensions du globe, pour pouvoir dire qu’il se confond sensiblement dans toutes ses parties avec son cercle osculateur qui aurait son centre très-près de N et A.N pour rayon. Cette portion du cercle osculateur et ab sont deux arcs concentriques proportionnels à leurs rayons ;

ainsi il est donc vrai de dire que ÿ = ^ (N désignant la normale de A;.

Désignons L — a par x, et nous aurons

X — 400 — P<J— (too— p6)=>/<i — fW ou . p4 m/m -|-x. . . . (4)

GÉODÉSiR.

Le triangle sphérique pab fournil la relation

cos.}ib= cos.pa coi.ab-{- sin.pa sin,a6 cos.a.

11 est donc naturel de chercher une autre valeur de cos.pb, en la déduisant de (1) : car en les égalant pour faire disparaître cos.pb, il restera une relation entre x et des quantités connues, üe (1) nous tirons

coi.pb s cos.;.» cos.x — siu.;« siu x

et alors

COS.X — sin.;>a sin.x«s cos.pn co?>,aO-{- sin./>a siu ah cos.a

.Mais

;m = tOO — L, n =n ÎOO — : et ali =• a

nous pouvons donc écrire

sin.L cos.x — cos.L sin..r = sin.L coi.îf - coi.L siii.<p cos.i

X clip étant des quantités très-petites, nous pourrons employer avec avantage les développements en séries , pour faire disparaître leurs lignes trigonomélriques , et négliger dans ces développements tous les termes de puissances supérieures à la seconde : il vient alors

sin.I. — -;r «in.L — X co<.Ls=r sin L - “T’ sin.I. — T cos.L cos.s. , . (î)

ou, en supprimant sin.L commun aux deux membres et changeant tous les signes

X* tt*

— mu.L-(-x roi.L= ^ sin.L-i-'f co^.L cos.s

Au lieu de résoudre cette équation suivant la méthode générale usitée par le deuxième degré, et pour ne pas arriver à une valeur irrationnelle de x, nous allons, parce que x et o sont très-petits, supprimer les termes qui contiennent leurs secondes puissances, afin d’arriver à une première valeur approximative

X = Ç. cos.Z.

Celle-ci substituée à x’ ramène l’équation à n’étre que du premier degré et de la forme

pi

C03.* ; sin.L *= ^ sin.L+ïp cos.L cos :

OU

x = ® ^*o**2+^ laniî.L — cos.*3)a=^p cos.z-J" ^ langX sin,*2 Telle e>t la valeur (le.r ou L — a. Remarquons que la valeur de \

LATITIIDKS. SOI

fournie par celte équation serait la latitude cherchée dans le cas de la terre sphérique.

Cherchons actuellement celle de a — L'. BO étant la normale du point B, l’angle OBN est précisément la différence de a à L'. Par le point N, élevons NM perpendiculaire à BO jusqu’à son prolongement en M, et remarquons d’abord que, dans le triangle BMN

rectangle en M, on a sin.MBN = ^ ou, comme l’angle est trèspetit, en prenant la valeur du sinus pour cellede l’angle.

Mais MN = NO. cos.MNO et MNO — V, puisque les côtés qui embrassent ces angles sont respectivement perpendiculaires : donc

D’ailleurs, NO = MC — OC ou la différence des sous-normales de A et B J quant à BN, sensiblement égal à AN, nous le remplacerons par la valeur de cette dernière ligne , et nous aurons

Ai?* siii L

A<** sin.L^ e* 8in.«L)« (t — e* sin.*L j

C05.L'. (ri)

Nous pouvons beaucoup simplifier celte expression, en remarquant que les dénominateurs sont sensiblement les mêmes : en effet, ils contiennent les carrés des deux sinus peu différents l’un de l’autre et multipliés tous deux par c* que nous avons vu (n® 429) être égal à 0,00646.

On peut alors simplifier en écrivant

‘ X — L' = e» (sin.L— sin.L') roi-.L'

Remplaçons la différence des deux sinus , comme l’indique la formule 15 de trigonométrie rectiligne