CHAPITRE X

NIVELLEMENT GÊODÊSIQUE BT BABOMËTEIQUE.

459. Nous avons passé en revue tout ce qui est nécessaire au calcul de la projection des points du canevas: il nous reste ù trouver les ordonnées verticales de ces points : c’est ce qui constitue le nivellement geodésique.

Il est évident que la différence de niveau BB' de deux points A et B {fig. 332) est fonction des distances zénithales Z.\B, Z’B.\, et du côté AB ; mais ces distances observées sont affectées d’erreurs qu'il faut d’abord détruire.

460. Réduction des distances zénithales aux sommets des signaux. Généralement, l’instrument n’est pas placé précisément au point de mire, c’est-à-dire au point visé des autres stations. 11 s’ensuit que la distance zénithale doit être corrigée d’une première erreur qui est la conséquence de celte disposition.

Supposons que A et B [fig. 333) soient les deux points de mire : les deux distances zénithales réciproques sont ZAB, Z'B.\ que noos désignerons par S et S'. Si l’on a été obligé de se placer en a au-dessous de A, l'angle observé ZaB, que nous pouvons représenter par A, est plus petit que S, de la quantité angulaire ABn ou a : en effet, en considérant S comme extérieur au trinn-

gio GÉODÉSIE. .

gle ABa, on trouve 6 = a+o. Le même triangle fournit la proportion

sin.a ; sin.a An ! AB d’oÙ sin.a^An —

Ad

AB est le cêlé connu ; c’est ce que déjà nous avons représenté par K. Uésignons Aa par dll, c’est la distance de l’instrument à la mire du signal ; et parce que l’angle a est très-petit, prenons l’expression de son sinus pour l’angle, et nous écrirons

du sIn.A “ = — K- •

Telle est la formule au moyen de laquelle on détermine la correction, après, toatefois, l’avoir rendue plus usuelle. « doit être exprimé en secondes, et puisque le second membre del’équation représente un rapport, il faut, eomine nous l’avons fait déjà en maintes circonstances semblables, le diviser par sin. 1", ce qui donne

f/H $iü.A

ot =

K ftin.1^

Enfin, nous dirons que, dans la pratique, on néglige sin. a commedifférunt très-peu de l’unité : on calcule donc la correction au moyen de

c/ll

* Kfiii.I"

Pour justifier cette simplification, il suffit de remarquer que a diffère toujours trop peu de lUU», pour qu’on ne puisse pas prendre son sinus pour le rayon ou l'unité, surtout quand il est le

coefficient d’une fraction aussi petite que

Üaus le cas le plus général, celui où l’instrument est au-dessous du point de mire, la correction est additive, comme l’indique la ligure : elle sc retranche dans le cas contraire, et est . presque toujours bien moindre dans cette dernière circonstance : en effet, dans le premier cas, elle dépend de la distance plus ou moins grande à laquelle la disposition de l’édifice ou du signal permet de placer l’instrument par rapport au point de mire. Le second cas ne se présente que pour des monuments terminés par une plate-forme ou une balustrade, ou par des signaux construits en pierre et dont la forme est celle d’un cône tronqué. En visant des autres stations, on a fait coïncider le fil horizontal de la lunette avec la ligne horizontale suivant laquelle on aperçoit la plate-forme, la balustrade ou la base supérieure du cône tron-

RÉPAACTION.

Kll

qoé. Quand ensuite on s’y transporte, pour faire les observations, rinstrument est placé sur la visée, et le dH n’est autre chose que la hauteur de l’instrument.

461. Il n’est pas toujours facile de mesurer immédiatement dH ; alors, on peut prendre une base CB (fîg. 334) partant du pied de l’édifice : du point B observer les distances zénithales de A et a, SC servir de leurs compléments pour résoudre les deux triangles rectangles CBA. CBa, dont les deux côtés verticaux sont les hauteurs du point de mire A et de l’instrument a au-dessus du sol. Leur différence donne dH.

Nous avons supposé horizontal le terrain sur lequel repose le signal : s’il est incliné, il faudra d’abord réduire la base à l’horizon.

, Si l’on ne pouvait aborder C, projection du point de mire, on prendrait, sur un terrain favorable et à une distance arbitraire, une base B'B (fig. 335), que l’on mesurerait avec soin. Des extrémités on observerait les distances zénithales de A, qui seraient les compléments des angles ABC, AB'C, puis les angles ABB', Aft'B. Au moyen de ces deux derniers et de la base, on obtiendrait les longueurs de AB et de AB', par la résolution du triangle ABB' : puis ensuite, pour trouver AC cl si l’on veut BC et B'C, on calculerait les deux triangles rectangles ABC, ‘AB'C, dans lesquels on connattrait l'hypothénusc et l’un des angles aigus. La hauteur AC serait d’autant mieux déterminée, qu’cite serait donnée par deux calculs. On agirait de même à l’égard du point a.

Voici encore une méthode que l’on peut employer, lorsque l’on est dans une flèche peu aiguë. On mesure deux rayons AO, DE, (fig. 335} à une distance OE ou H, que l’on mesure aussi; les triangles semblables ABO, UBE, donnent

AU ; DE i+H ; x ou AO — DE ; de A : x, d’où enfin .

462. Erreur de réfraction. La seconde cause d’erreur est due à la réfraction. On sait qu’un rayon lumineux, en passant successivement dans des milieux qui augmentent de densité, s’infléchit, parce que l'angle que fait sa direction avec la normale diminue sans cesse (Livre IV, n» 287). C’est effectivement ce qui a lieu dans l’atmosphère en raison de l’accroissement progressif de densité. Si l’on est placé plus près du sol que le point visé, le rayon lumineux qui en a produit la sensation se rapproche constamment de la toormale, en raison de ce que la densité de l’air augmente.

(iKOnÉSIR.

Le contraire a lieu, c’est-à-dire que l’angle que fait ce rayon lumineux avec la normale s’ouvre de plus en plus, quand le point visé est moins élevé que la personne qui le contemple. Dans l’un et l’autre cas, la courbe que fait le rayon lumineux présente sa concavité à la terre. Ainsi, pour l’observateur qui, placé en A, voit le point B (/îÿ. .337), ce n’est pas le rayon lumineux partant de B et dirigé d’abord suivant BA qui a produit la sensation : car il s'est courbé et a rencontré la terre en deçà de A : c’est donc un rayon représenté par une courbe dont AB est la corde, et l’observateur juge le point B en B' suivant la tangente au premier élément de la courbe. L’angle ZAB' qu'il observe n’est par conséquent pas la vraie distance zénithale. Réciproquement, le point A vu du point B apparaît suivant la tangente au dernier élément lumineux de la même trajectoire. En sorte que les deux distances zénithales observées sont trop faibles d’angles égaux à ceux formés par la corde AB avec les deux tangentes à la même courbe, si les observations ont été faites simultanément, c’est-àdire avec le même état atmosphérique.

Dans les opérations géodésiques, les points observés sont toujours peu éloignés et peu élevés les uns au-dessus des autres; ils sont situés dans des couches d’air de densité peu différentes ; les trajectoires Jumineuses ont par conséquent une petite courbure et une petite étendue. Dans ces circonstances, on peut donc les considérer comme se confondant avec leurs cercles osculateurs pendant tout leur parcours. Ou sera alors en droit de prendre r= r' , en désignant par ;• et r' les angles d’erreur commis sUr les distances zénithales, et chacun d’eux aura pour mesure

A étant la longueur de lu courbe, R' son rayon de courbure.

Nous savons, d’un autre côté, que l’angle au centre O sous-tendu sur la terre de rayon R, par lecôtégéodésique K, a pour exprès-

sion O — - : il en résultera donc assez approximativement

^Dans le cas de la terre plane et d’une atmosphère de densité uniforme, K et A seraient rigoureusement égaux, si les points considérés étaient à égale hauteur.

En réalité, ces trois circonstances n’existent pas, mais, par suite des conditions particulières aux observations géodésiqnes, elles ne sont pas loin d’exister; on pourra donc approxi-

réfraction.

Sl.~

mativemeot écrire K =: A, et la mesure de l'erreur de réfraction sera

Le même raisonnement ne peut pas être appliqué à U et R', qui deviendraient également égaux, dans les mêmes hypothèses, parce qu’alors ils seraient l’un et l’autre infinis. On peut, en effet, regarder comme égales deux quantités qui tendent vers une limite très-rapproçhée de leurs valeurs réelles, comme cela a lieu pour K et A, mais il n’est plus permis d'agir ainsi quand celle limite se trouve très-différente des valeurs qu’on veut assimiler, comme cela a lieu pour R et R' qui, finis, .sont très-loin de la limite oo .

Pour un même angle an centre O, r ne variera donc qu’en raison de R', rayon de courbure de la trajectoire : on sera donc en droit d’écrire r — n.o

11 étant un coefficient constant pour le même état atmosphérique, mais variable avec celui-ci, heureusement dans des limites assez rapprochées.

On est naturellement porté à sc demander comment il se fait que deux points situés sur la même verticale, à des hauteurs différentes, donnent lieu à la même erreur de réfraction, quand on remarque que le plus élevé, situé dans une courbe atmosphérique moins dense, envoie des rayons qui éprouveront un plus grand nombre de réfractions avant d’arriver A l'observateur. Pour lever celle objeclion, il suffit d’observer que le rayon parti du point témoins élevé rencontrera, il est vrai, un plus petit nombre de couches atmosphériques, mais qU’il les rencontrera sous

des angles d’incidence plus grands, en sorte que, si re-

présente l’indice de réfraction relatif à deux emiches successives communes aux deux trajectoires, on aura

sin. I iin.i'

«iD.r sin «■'

d'où

lin.i — sin.r sin.i'— sin.W 5in.i sin.F

sin.i' — nin.r' »in.i>

sin.t — siü.i' sin.i

Si i' >t, il s'ensuit sin.i' — sin.r' > sin.t — sin.r, et quoique dans un rapport différent

Les déviations produites par les couches communes aux deux trajectoires seront donc plus grandes pour le rayon lumineux parti du point le moins élevé, et elles pourront par leur intensité compenser la multiplicité de celles éprouvées par l’autre rayon.

On sera donc toujours endroit d’écrire

La recherche directe du cocllicicnl n de la réfraction est Irèsdclicute et de peu d'imporlunce pratique pour les opérations géudésiqucs. Aussi dirons-nous seulement en quelques mots (ju’ellc consiste à prendre la valeur théorique de l’indice de réfraction qui est égal au rapport inverse des vitesses de la lumière dans les deux milieux

?in.i sin.r’“

P étant le pouvoir réfringent de l'air, sensiblement le même, que l’atmosphère soit sèche ou humide, p et p' les densités des deux milieux. On suppose alors que les couches sont infiniment rapprochées, et on exprime les densités p et p' en fonction des pressions marquées par le baromètre et des températures indiquées par le thermomètre aux stations extrêmes de la trajectoire. On est obligé pour cela d’admcltrc une constitution atmosphérique particulière, dans laquelle la température suit, en raison de l’élévation des couches, une loi toujours entachée d’arbitraire. La loi des variations de p transportée alors dans l’équation (1), traitée comme une dilfércnlielle, donne l’accroissement infiniment petit de l’inclinaison sur la normale, et, par une intégration, donne la déviation totale du rayon lumineux entre les limites de l’observation.

Le procédé suivant, beaucoup plus simple, sulUt dans tous les cas.

463. En déduisant la valeur de h, coefiieient de la réfraction, des observations faites avec une valeur particulière de K, elle sera la même pour les corrections à faire à toutes les distances zénithales observées dans un état analogue de l’atmosphère.

Pour atteindre ce but, remarquons, que eu égard au triangle ABO, nous avons 338)

d’oîl i+ A'-f r'=iA-fB-f 0 + 0=.200*-f0

RÉFRACTIOM. SIS

Pour ne conserver que les inconnues r etr' dans un membre de l’équation, et en supposant les distances zénithales observées simultanément, auquel cas r — r', nous écrirons en divisant le tout par 2

Telle est l’erreur causée par la réfraction dans ce cas particulier; mais, au moyen de ce que n = nous trouvons

Si les observations ne sont pas faites au même instant, la valeur trouvée pour l’erreur de réfraction est une moyenne entre ret r' ; mais on peut s’en contenter, parce que ces (|uantités diffèrent peu l'une de l’autre.

11 est à remarquer que 0 doit être exprimé en secondes pour que l’e.xpression de n soit homogène, 100« et A -t- a' étant euxmêmes représentés avec la même unité ; elle sera alors un nombre abstrait, puisque le numérateur et le dénominateur exprimeront des quantités de même nature. La valeur de O que nous devrons

substituer sera donc = — —, et la formule deviendra R sin.l"'

tOO'

i ■^ÎRsin.l»

R.siu.t»

ou en réduisant

iï

R.siu.t''

Appliquons la formule ci-dessus à un exemple, et supposons

K—285Ri“,73 <r=r400*,ï"î8» rf'—99«,9396» alors

log. (—1461")— 3.070Î763-

log. R. = 6 804&.303

log sin.4" «=» 4.49G4499

C>. log. K » 5.34Ü0828

Ce logarithme appartient au nombre 0,4188 qui, retranché de î on 0,60, donne n = 0,0812 on 0,08, et enfin r =0,08 X 0.

Telle est la valeur moyenne du coeflleient de la réfraction : rarement il descend à 0,07 ou monte à 0,10.

Nous n’avons opéré ainsi que pour appliquer la formule dans toute .sa généralité : car ou procède d’une manière beaucoup plus simple, en se rappelant qu’une seconde centésimale sur le globe vaut lO", etqu’ainsi il snllit de retrancher un chiffre vers la droite dans le nombre qui représente K, pour le transformer en secondes, et par conséquent avoir 0.

Ainsi, en reprenant les données précédentes, nous aurions trouvé que le numérateur de l’expression n est égal et le

dénominateur i\ 2850 ', 47.

lof(. 233 c 2.36735.'i7

<'*. Ing. 2S50,V7 = 6.5i5t7()o

.S.9I Î33ÎV

Ce logarithme correspond à 0,0817 ou 0,08, que nous avons également trouvé pour n par la méthode précédente.

Nous pouvons, connaissant le coellicientde la réfraction, trouver facilement l’amplitude de la trajectoire: car, ayant posé ;-=î trajectoire, et sachant que i^O.üK f O, il s’ensuit que l’ampliludc de la trajectoire est égale aux 0,16 de l’angle au centre.

Si, parexemple, 0=50', on aura la trajectoire égaleà 3 . Tout à l’heure, nous avons supposé K=2850 : dans ce cas, l’amplitude de la trajectoire est 456’'.

Puis, ensuite, si l’on veut connaître le rayon de courbure de la trajectoire, on remarque qu’elle est sensiblement de même longueur que l’arc correspondant K, et qu’ainsi les rayons sont en raison inverse de l’amplitude des arcs : d’où le rayon de la trajectoire est égal à .39788785 mètres.

Puisque l’erreur cau.sée par la réfraction est fonction de l’angle au centre ou, en d’autres termes, de K, on ne doit en tenir compte qu’autant qu’elle n’csl pas très-petite par rapport à l’approximation que donne l’instrument dont on se sert. L’arc d’une seconde sur la terre ayant 10 mètres de longueur, il s’ensuit que si

K — tOO», r=0,08 X 10» =0»,08 K = 1000, »=0,08xt00 =08.0008»

On voit par là que cette opération est presque toujours su-

blFPËRËKCt DR NIVEAU.

perflue dans les opérations topu^^raphiques, à moins que lu distance entre les points ne soit de l0000"'cnviron,etquel’oii n’emploie un éclymètre donnant la minute.

46i. Calcul de la différence de nievau entre deux pointx au moijrn des distances zénithales réciproques. Nous avons actuellement toutes les données ncccs-saires au calcul des difTérenees de niveau, .soit que l’on emploie deux distances zénithales, soit que l'on rie puisse faire usage que d’une seule : dans ce dernier cas, en effet, on doit tenir compte de l’erreur de réfraction. Dans le premier, il suftit de rendre réciproques les distances zénithales, en les réduisant au.\ sommets des signaux, et d’employer .x etA',

. angles observés : car c’est leur différence qui, comme nous le verrons bienlàt, entre dans la formule. Or, nous avons vu «jue ii=o — r et A'=zè> — r, d’où il résulte a — A'=î — 5 .

Soient A et B les deux points dont on veut connaître la différence de niveau BC {/ig. S.IO) ou tl.N. Considérons le triangle ABC dans lequel .\C est la corde qui sous-tend l’are de cercle compris entre les verticales des points A et B : il fournit la proportion

sm.B ; sin A AC : Bc de laquelle on tire (/N=K (i)

Nous connaîtrons <iN lorsque nous aurons déterminé A et B. D'abord, en appelant A' l’angle BAO, pour ne. jias le confondre avec B.AC que nous avons désigné par nous avons A = A — A", en représentant aussi par une lettre unique A'* l’angle C.AO qui a de même son sommet en A

A' est le supplément de o ; A ' appartient au triangle isocèle CAO et est par conséquent égal à 100 — nous pouvons donc écrire

A-200-/- (too—

Si, ensuite, nous nous reportons au triangle ABO dans lequel *A' = 200 — S, B = 200— 8', nous voyons queA' -f B-i- O = 200 ou 200— 8-f-200 — o-+-O=i200.

En réduisant 200 + 0 = 8 4 S' et 10O+ ^ - ; substi-

tuons dans la valeur de A, et nous aurons pour résultat

ir

S18 GÉODÉSIE

Pour trouver B remarquons, à l’aide du triangle ABO> qttè

B — 200« — A'-O; donc

ei en réduisant

mais

B=ÎÛ0— ^^-lOO + Y-O

Substituons ces valeurs de A et B dans l’équation (1), elle deviendra

sin.

rfN = K

sm.— T —

ros-YCos.— ^ sitiY »">• — 2 —

OU en mettant cos. ^ cos. ^ ^ facteur commun

fus. Y

On SC débarrasse autant qu’on le peut des dénominateurs dans les formules destinées à être mises en pratique, afin d’éviter d’a^ voir à prendre des compléments de logarithmes. Pour faire disl)araitre les trois facteurs de celui de <iN, nous elTectuons l’opération indiquée par la division du sinus par le cosinus, ce qui

donne la tangente, c’est-à-dire que nous écrivons lang.^-j-^,

nous remarquons que — ^ = sécante y et enfin, que nou»

cos. Y

pouvons supprimer le terme tang.Yl«ng--Y^ au dénominateur, comme petit du second ordre, par rapport à l’unité, ce qui donne

</N «K ung.J (î'— «)s<e. Y (2)