DIFFÉRENCE DS NIVEAU

qu’on se contente souvent de prendre sous la forme

(/NxiK tanf.l (8' — 8)

la sécante de étant toujours très-proche de l'unité.

Nous avons, dans la recherche précédente, assimilé le côté géodésique K à la corde AC. Cn réalité, celte corde diffère de l’arc de cercle correspondant, et celui-ci diffère de K qui n’esl que sa projection sur la surface de„s cau.x de la mer : mais les erreurs qui résultent de celte assimilation sont négligeables dans tous les cas, et la formule (2) est suffisamment exacte.

465. Cette formule peut encore s’obtenir de la manière suivante : dans le triangle AHO, on a

sin.A ; jîn.B ; ; R </N ; R.

Les sinus de A et 8 sont égaux, puisque ces angles sont suppléments l’un de l’autre : il en est de môme de ceux de B et J', par conséquent

sin.S ; sin.8 " R-j-f/N ; U

et

sin.e — sin.er sin.^'

ou encore

Nous avons trouvé

t suivit — g') coa.l(r-t-e')

sin.J '

tOO-ff

donc ços. —cos. ^100 +

La valeur de dN se transforme en

— 2R sin.^ (/ — /') sln.2 sin.r

oupareeque sin.x = — sin. ( — x).

dN — tR

sin. J (J'—;) sin. sin J'

et parce que 2K sin. '5 = K,

sin.,1

On pourrait conserver la valeur de dN sous cette forme trè.ssimple, et en faire usage, en négligeant même le dénominateur que l’on considérerait comme égal à l’unité: mais nous pouvons la ramener à être identiquement celle trouvée par la première

G&ODESii;.

‘ méthode. Pour cela, nous emploierons la valeur de B indiquée plus haut, B=100— ^ â~'^) déduirons égale-

ment de celte considération. .

B— j— O «t BoiUO — 6'

d’où, en les ajoutant

ÎB-ÎOO -(«' + «) -O et +

et puisque sin.B = sin./', nous pouvons modifier ledéuomiualeur de la valeur de dN, et écrire

sm. 1

»in.

fO 6'

sin.

î — laDg- ^ v8i»j5. ^ 1

Calcul de la différence de niteau au moyen d’une seule distance zénithale.

Soient toujours A et B les deux points {fig. 339), AC la corde que noiis regarderons comme égale au côté K de la projection, et / la seule distance zénithale vraie du point B observé de A. Nous aurons comme précédemment

dN=»K^, A-400 + JO-8

cl de plus B= <f ~ 0 ; par suite

co<. (6'-i O) sin. (8 — 0)

Celte formule Ircs-simple peut encore être simplifiée, si l’on observe que S — O étant toujours très-près de 100», le sinus de 6—0 différera Irès-peu de celui de S — J O, ce qui permettra d’écrirc

</N = K rot. (s — iO) (3)

Le même raisonnement ne pouvait pas sc faire pour Irausfoi-mer le numérateur, car on aurait fait subir à l’angle la même variation î 0, il est vrai, mais cet angle entre dans la formule par sou cosinus qui varie rapidement près de 100>.

Si l’on met dans cette formule la distance zénithale observée,

DlfTERENCE DE NIVEAU.

il esl nécessaire de la corriger de l’erreur de réfrac\jon, en sorte que si noos continuons à nous servir du même signe S pour la désigner, nous devrons prendre

col. (a + nO)—iO) = Kcol. (5 — 0,42.0]

en attribuant au coeflicicnl de réfraction la valeur moyenne ü,0S.

On préfère habituellement employer la première des formules que nous avons trouvées, et l'on réserve la seconde pour les points du troisième ordre auxquels la première n’est pas applicable. On la ramène alors, en sacrifiant un peu de sa rigueur, à celle qui a été trouvée au S 1S4, et qui esl employée pour le nivellement topographique. Si on applique la formule qui donne la cotangente de la somme de deu.x angles au cas actuel, on aura

col.iS - 0,42.0)^

rui.g -1- l.ing, (0,42 O) 1 — cul 5 liing (0 42.0)

Le produit des deux facteurs très-petits du dénominateur esl négligeable par rapporta l'unité, la tangente de l’angle 0,ti2. O toujours très-petit, surtout pour les poin s conclus, est sensiblement égale à cet angle, en sorte qu’on peut écrire

et enfin

(/>■ = K (col .g + 0,42.0) = K col. g + 0,4 2. K . O

rf.\ ■=■ K colang.A -f 042. (4)

Le rayon moyen de la terre, exprimé en mètres, a pour logarithme 0,80566

Celui de 0,'i2= ï, 62325

Donc log. 2,81869

Tel esl le logarithme constant indiqué en tète des tableaux employés pour le calcul des cotes des points conclus de la carte de France.

467. Les distances zénithales employées à la résolution de l’équation dN= K cot.-5-(8 — S) doivent être réduites au sommet des signaux. L’usage des formules (3) ou (4j n'exige pas cette correction ; il suffit de retrancher, avec son signe, le d4 du S 460, c’est-à-dire qu’il faut ajouter celle quantité à la cote obtenue, dans le cas où l’on observe au-dessus du jioint, et la retrancher dans le cas contraire.

L’avantage de la formule dN = K cot.-f (S' — S) sur celle qui

est obtenue jiar le secours d’une seule distance zénithale est d’ètre indépendante du coelllcient de la réfraction , dont la valeur moyenne 0,08 peut ne pas convenir au moment de l observation. Cet avantage est néanmoins plus apparent que réel, si l'on n’a pas soin de prendre les deux distances zénithales simi//lanément, ce qui n’a presque jamais lieu : car alors ces angles ne se rapportant plus au même état atmosphérique, ne sont pas affectés d’une erreur de réfraction égale dans les deux cas. Dans les opérations trés-iinportanles, on peut obvier en partie à cette cause d'inexactitude, en répétant les séries à dilférentes heure.s de la journée et prenant des moyennes répondant en quelque sorte A un état moyen de l’atmosplièrc.

Les bons nivellements géodésiques doivent être faits en employant des petits ciHés. Soit, en effet, une longue base K = K'

-j- K" -f- Iv'" Si, stationnant seulement A une extrémité de

cette base, on a obtenu une distance zénithale la différence de niveau sera dN = K cot. a -t- Q K’, Q étant le coetlicient de la correction relative à la différence du niveau vrai au niveau apparent, et à la réfraction. Si, au contraire, on a opéré sur le*

petites bases successives K', K'', K'" on a obtenu, pour la

différence de niveau totale,

K' ool.a -j-K Q K * -j- Q V’-f"

Mais les distances zénithales seront entachées d’erreurs telles

queA = oH-e, a' = 8' c' , A"=S'‘'-f- ,8,3', 8".... étant

les valeurs vraies de ces angles : le résultat de l’opération exécutée sur la grande base sera, en admettant de plus une erreur

q sur le coellicient Q ,

K col.3-Kc-t-(Q-f 7) h* (t)

L'opération exécutée sur les bases partielles conduirait à

K' K"col.i" +.... - h « - K'V' -f k »+.... (S)

La vraie valeur de la différence de niveau est

Kcol.î-fQK« ou K col.8 4-K"col.S'i f + (3)

L’erreur commise dans le premier cas sera donc

(t) — (3) = Kc -7k> (Kl -1-K" +...,) c — (R'+K"...)«.7 Dans le second, elle sera

(2;— (3) — K c’ -f W + — 7 (IC« + K"i +.. )

Il n’y a aucune raison pour supposer que soient tou-