o,m.f7î'. clc
Désignons par p le poids de l’atmosphère pour une base d’une surface quelconque ; par p' celui de l’atmosphère moins la couche inférieure ; par p ' le poids de l’atmosphère diminué des deux premières couches, etc., p-p',P -p', etc., représenteront évidemment les poids de la première, de la seconde, etc., couches. Appelons d, d , d", d'", etc., les densités de ces mômes couches. Dans un corps, le poids est égal au volume multiplié par la densité, ce que l’on exprime par P = VD.
Pour un autre corps, on aurait P' =V'D'.
HIVELLEUENT BAROMÉTRIQUE. 6S7
Les couches atmosphériques ayant, d’après notre hypothèse, même volume, si nous leur appliquons les deux égalités ci-dessus énoncées.
Nous aurons
ZI
eU\
c'est-à-dire que les poids seront proportionnels aux densités : ainsi nous pourrons écrire
Mais la loi de Mariolle dit, qu’entre des limites assez étendues du moins, les volumes des gaz, à la même température, sont en raison inverse des pressions qu’ils supportent; les densités étant elles-mêmes inversement proportionnelles aux volumes, il s’ensuit un rapport direct entre celles-ci et les poids comprimants.
Les densités des deux premières sout d, d' ; les poids comprimants sont p' p", donc
et à cause du rapport commun entre cette proportion et la précédente
d’où p ; pi ;; pi ; j/> on aurait de même pi ; p" y.p" : p'" donc .H- p : p' : p" : p'" : p" : «ic.
Nous déduisons de là que, pour des élévations diverses qui croissent en progression arithmétique, les poids de l’atmosphère décroissent en progression géométrique. Ces poids sont les mêmes que ceux des colonnes de mercure correspondantes : ceux-ci sont proportionnels aux volumes des colonnes, la densité du mercure étant regardée d’abord comme constante ; mais le volume est égal au produit de la base par la hauteur; la base est toujours la même : donc, enfin, les hauteurs du mercure dans le baromètre suivent une progression géométrique décroissante.
En supposant la densité du mercure la même pour toutes les hauteurs, nous avons admis une température et une force de pesanteur constantes ; cela n’est pus exact ; mais plus tard, nous apporterons les modifications nécessaires. Désignons par 11, h, h', A", etc., les hauteurs barométriques, et écrivons en regard les deux progressions
-r O. m. m'. m". njn. clc.
jr U ; /■ ; h' : A" ; : eic.
II existe entre elles une relation analogue à celle qui lie les
628 GÉOOÉSIB.
nombres à leurs logarithmes. Nous devons nous rappeler qu'en effet les logarithmes sont les exposants indiquant les puissances auxquelles il faut élever la base, pour obtenir la suite des nombres. Les logarithmes forment une progression par différence dont le premier terme est zéro, tandis que les nombres en forment une par quotient, ayant l'unité pour premier terme.
Transformons la seconde de nos progressions pour rendre l’analogie plus complète, et commençons par la rendre croissante, ce qui revient à diviser l’unité par tous les termes. Elle se trouve changée en celle-ci
Pour que le premier terme soit l’unité, multiplions tous ceux de la progression par H, et nous aurons
il. il • iL.
Jt ,
eic.
Nous pouvons dire maintenant que
m = = log.ll — log./i ;
ir 1 H »<'' = log-7^7 =
m' = log.y7-=* log.H — log.A’; : log.H - log.A"
Ou, pour avoir la différence de niveau entre deux points Co et C’,
C" — C'=m^ — »]'= log U — log./i, — log-H-flog./i' = log A' — log.A".
Il est à remarquer que nous ignorons à quel système de logarithmes appartiennent ceux-ci, mais que, pour pa.sser d’un système à un autre, il sulKt de multiplier par une constante les logarithmes du premier pouravoir ceux du second.
472. Cherchons la constante par laquelle il faut multiplier les logarithmes des tables, pour qu'ils puissent être introduiLs dans la formule.
Généralement, on aura x=C (log.H — log./i), en désignant par X la différence de niveau des deux stations, par C la constante, et par 11 et h les colonnes de mercure aux stations inférieure cl supérieure. En appliquant celle formule à un certain cas particulier, nous allons la ramener à ne contenir d’inconnu que C qui se trouvera ainsi dclerminé.
On a reconnu que le thermomètre étant à zéro, le baromètre marquant 0”,76, sous la latitude de 50», et l'air parfaitement
.NIVËU.EIU.NT BAKOMÉTRIQUÊ. 529
sec, le mercure était 10467 fois plus dense que l’air» Supposons que l’épaisseur des couches atmosphériques soit 10467 centimillimètres, et que le baromètre soit situé à la partie supérieure de celle pour laquelle il indique 0°',76 ; supposons qu’ensuite on le descende à la surface inférieure de la même couche, la différence de niveau pour ces deux stations voisines ou x sera 0~, 10467 : la colonne barométrique aura dû s’allonguer de 0,0001, et voici comment : l’augmentation de poids est la même pour l’air et le mercure, c’est-à-dire que P,= V. X D* = ?■" = V“ x D’, en désignant par l’indice a ce qui se rapporte à l’air, et par m ce qui est relatif au mercure.
De là , V* X D* = V" X D". mais D" = 10467 D,, donc V* x D*= 10467 V- X D* ou V* = 10467 V“.
Les bases des colonnes d’air et de mercure sont égales , leurs volumes sont donc proportionnels à leurs hauteurs. Ainsi, H* = 10467.H”’;
et puisque H- = 0”, 40467, H™ = = 0,0000 1 .
A la station supérieure, le baromètre marquait 0™,76, il indiquera donc 0™, 76001 à la station inférieure. La formule deviendra alors
0",10*C7 =. C (log 0-,*600l — log.(l-,7C}
“ ““ log,U,7Ü0ül - log.O'-,7ti
log. 0,76001 9,88081930292
log. 0,76000 = 9,88081359228
DilT^rencc 0,00000571001
log 0,t0467 = 9,0194071
log. do la «liflorenco 4,7566817
log C — 4,Î627Î54 C=t83lî
Le coefficient 18312 a été trouvé dans l'hypothèse d’une atmosphère parfaitement sèche. Toutes les autres circonstances restant les mêmes, si l’air devenait saturé d’humidité, sa densité relative à la même force élastique serait plus faible, ou ce qui revient au même, la densité du mercure rapportée à celle de cet air humide serait > 10467. Dans celte hypothèse de saturation à 0* de température, la valeur du coefficient serait 18360, au lieu de 18312. On prend alors la valeur moyenne 18336 répondant à un état humide moyen.
Cette même valeur du coefficient 18.4.16 a été également Imn-
ÔÔO CBOOÉSIE.
vée par Kamond , «ouime résultat moyen d’un grand nombre d'opérations directes effectuées sur des points dont les différences de niveau avaient été déterminées par des observations géo> désiques.
La formule est donc ramenée à x— 1S336 (log.H — log.b).
Mais elle ne convient qu'à la circonstance particulière, qui nous a fait connaître la valeur du coefficient C. Il faut la généraliser maintenant, pour que l’on puisse en faire usage sous une latitude quelconque, à des températures et sous des pressions aussi quelconques.
à73. Correction relative à la température de l'air et aux rapeurs qu’il contient.
Comme tous les fluides élastiques, l’air se dilate de
«Ob,D6
0,00375 de son volume pour chaque grade de température. Noos avons trouvé la formule dans l’hypothèse de 0* ; le volume de l’air ou sa hauteur x cherchée devra donc, pour une température », être augmenté de 0,00375 répété autant de fois qu’il y a de grades contenus dans », c’est-à-dire de 0,00375. n. Ainsi, la hauteur qui correspond à la différence de longueur du baromètre H — h n’est plus x, mais x (1 -f- 0,00375. n.). ti est la température moyenne de la portion de l’atmosphère qui contient les deux stations : il est probable que la température croit ou décroît à peu près uniformément d'une station à l'autre, de sorte que
71 = ; tel t' étant les températures de l’air aux deux sta-
tions, la formule devient
I = 1 83 JC f 4 -f 0.0037S j (tug .H - Ior.A) .
Quand la température augmente, la quantité de vapeur nécessaire pour atteindre le point de la saturation va en augmentant; il en sera de même pour le degré intermédiaire que nous avons admis, degré qui a fourni le coefficient 18336 à 0®. Si la température devient la densité de l’air à moitié saturé sera plus
faible que celle que nous venons d’employer, pui.sque la proportion de vapeur, la même, par rapport à celle nécessaire pour la saturation, sera plus forte d'une manière absolue. Il y aurait donc lieu d’augmenter le coefficient 18336. Laplacen pensé que ce serait eu tenir compte convenablement, que de changer le
NIVRLLBXENT RARONÉTRIOUE. 531
chiffre 0,00S75 én 0,00400, ce qui rend le factear dans lequel il entre 1 +0,00i^^^oul + 0,002 (t+ t')etparsuilca:=18336 [1 + 0,002 {I + t')J (log.H — log.A).
474. Correction relative à la différence de température des deux baromètres.
Pour pouvoir comparer les colonnes de mercure aux deux stations , nous avons dû supposer qu’elles avaient même densité ; mais il est deux causes qui tendent sans cesse à la faire varier : la différence de température du mercure aux deux stations, et la différence d’action qu’exerce sur lui la pesanteur, en raison du plus ou moins grand éloignement du centre de la terre.
Occupons-nous d’abord de la première. Pour pouvoir comparer H et h, il faut les ramener à la même température. On sait que pour t», le mercure se dilate de ou, 0,0001802 de son volume. Si T et T' représentent les températures du mercure des deux baromètres aux stations inférieure et supérieure , la différence de température sera T — 'f, et pour comparer ft à H, il faudra lui ajouter 0,00018 (T — T') h, en supposant, comme il arrive ordinairement, que T — T' soit positif, c’est-à-dire qu’il fait moins chaud à la station supérieure qu’à l’inférieure : h était
trop petit, Y ‘^°nc trop grand , ainsi que log.H — log.4 et
par suite x. On pourrait tout aussi bien réduire U à la température de H’ en le remplaçant par H (1 — 0,000 18 (T — T').
Ce serait atteindre le même but que de retrancher de H et h, 0,00018 T et 0,00018 T', puisqu’en ramenant ainsi à zéro les volumes et les densités du mercure aux deux stations, on les aurait encore rendus comparables. En vertu de la modification que nous venons d’apporter à h, la formule est
* = 48336 [4 -f- 0,002 (< -f- /')] [log-H - log./i i4 -f 0,00048 ;T-T'))]
475. Correction relative à la différence d’action de la pesanteur sur les baromètres.
Passons à la correction motivée par la seconde cause signalée au paragraphe précédent. On sait que l’action de la pesanteur s’exerce en raison inverse du carré des distances, c’est-à-dire par exemple, qu’à une distance double du centre de la terre, elle agit quatre fois moins. Le mercure sera donc spécifiquement plus léger dans cette proportion à la station supérieure.
Soient R le rayon de la mer (fig. 847), I la station inférieure.
Digilized byé^Ogle
S la station supérieure, a la hauteur IM de I au-dessus de la mer, et X la difTércncc de niveau entre les points S et 1. Les distances au centre seront R -f- a en I et R -f- a a; en S. On aura donc, en désignant par gc.1 g' , les actions de la pesanteur en I et S
s ‘ (R+a)* d’où 9'~3
Les volumes relatifs au même poids sont en raison inverse de g et g', car puisque la densité est la même; les hau-
teurs du mercure sont, par suite, proportionnel les à son volume: donc l’expression primitive 11 doit être multipliée par
(-Ti+F-) (n+hfi)
La correction très-faible qu’apporte ce facteur dans la différence des colonnes de mercure a une inllucnce assez sensible sur la valeur do x, en raison de la grande différence de densité de l’uir cl du mercure. On a trouvé qu’il est inutile d’effectuer le calcul chaque fois, et que la correction moyenne à introduire est
ou plus simplement environ, c’est-à-dire qu'il sullîl d’augmenter les coefficient 18336 de 48 : il devient alors 18384.
476. Correction analogue relalite à l'effet que produit la pesanteur sur l'air.
Ce décroissement dans l'action de la pesanteur fait encore que le poids de l’air est moindre dans la région où l’on opère qu'au niveau de la mer : c’est là que le baromètre marque 0'",76 comme nous l’avons supposé d’abord ; et c’est pour ce point aussi que la distance au centre est égale à R. La distance au centre, de la
moyenne entre les deux stations, sera R a -i- il faudra donc
augmenter x dans le rapport des carrés des deux distances, ce qui reviendrait à le multiplier par V -
ou
R*-f «’+ T îlta-fnj-i- (IX *
et plus simplement en négligeant le dernier terme qui est extrêmement petit, comme ayant R’ pour dénominateur 1 -f —
Celle correction est fonction de x qui cependant est l’inconnue.
