Projection orthographique sur l’horizon

VAP’BP représente une section suivant le méridien d’un point V,AB (fig. 364) la trace de l’horizon de ce point, et PP' la ligne des pôles : on se propose de trouver les projections des méridiens sur l’horizon. Toutes passent par les projections p, p' , des pôles (fig. 365), et sont des ellipses comme intersections de cylindres plus ou moins inclinés et à bases circulaires. L’horizon étant un grand cercle de la sphère, coupe les méridiens suivant des diamètres qui sont les grands axes des ellipses.

Nous avons trouvé, n® 491, en parlant de la projection .stéréographique sur l’horizon, la relation qui existe entre l’inclinaison des traces sur l’équateur et sur l’horizon : elle est, en les désignant par M et M', fournie par l’équation tang.M'zztang.M sin.L. Nous pourrons donc nous en servir ici, et prendre, si nous voulons, pour premier méridien, celui qui passe par le point V, et qui de tous est le seul qui se projette suivant une droite A' B' (fig. 365). L’ellipse se réduit ici à une droite, parce que le cylindre, qui a pour base ce premier méridien, se réduit lui-même au plan qui le contient. 11 n’est, au reste, pas indispensable de partir de ce méridien plutôt que de tout autre. Toujours est-il que l’on sait projeter les grands axes de toutes les ellipses : quant aux petits axes, ils leur seront respectivement perpendiculaires, mais ils varieront de longueur, en raison de l'inclinaison des plans méridiens sur celui de l’horizon. Ils seront d’ailleurs les projections des diamètres perpendiculaires à ceux qui se confondent avec leurs projections comme situés dans le plan du tableau, qui, par ce motif, sont les grands axes des ellipses, et dont nous venons de parler un peu plus haut.

PROIECTION ORTHOGRAPHIQDB SUR l’hORIZON. 553

Pour obtenir l’un de ces petits axes, supposons que GH {fig. 365) soit la trace d’un méridien quelconque : il n’cst pas düTicile de trouver l’inclinaison de ce plan sur l’horizon, puisque nous connaissons aussi sa trace verticale PP', qui est celle de tous les méridiens.

Imaginons, pour cela, par un point de la trace verticale, P par exemple, un plan vertical perpendiculaire au méridien dont la trace horizontale est GH : les traces de ce plan seront PE, pK, cdtésde l’angle droit d’un triangle rectangle, dans lequel l’angle aigu en K mesurera l’inclinaison, sur l’horizon, du méridien dont nous nous occupons. Pour construire ce triangle, nous rapportons PE en pN, par le simple procédé qu’enseigne la géométrie descriptive : nous traçons l’hypothénusc NK, et pKN est l’angle cherché. Par le centre C de la sphère, faisons passer CL parallèle à KN; projetons le point L en M sur CM perpendiculaire à GH grand axe de l’ellipse, et CM en sera le petit axe. Nous ne répéterons pas ici ce que nous avons dit au n“ 496, sur la manière de tracer une ellipse dont on connaît les deux axes : nous rappelons seulement que toulesdoivent passer par les pointsp et p', si on les décrit entières, ou, tout au moins, que les demi-ellipses apparentes dans cette projection se coupent au point p.

498. 11 reste, pour compléter cette projection, à déterminer les parallèles qui sont aussi des ellipses, résultant de la section de cylindres obliques à bases circulaires par des plans. Soit EP'QP 366) la section de la sphère par le plan méridien perpendiculaire à l’horizon dont la trace est BH : AB celle d’un parallèle dont le diamètre au plan du tableau s’y projette en véritable grandeur, tandis qu’ici, il n’apparalt que par sa tracé F : il faut donc abaisser de F une perpendiculaire sur HB, la prolonger jusqu’au rabattement chc'b, et porter ff égal à AB. C’est le grand axe de l’ellipse suivant laquelle se projette le parallèle AB. Pour déterminer le petit axe, il suffit de projeter les points A et B en a et b.

Nous avons, dans celte figure, représenté l’équateur EQ, le parallèle VI) passant par le pôle de l’horizon, et celui AB qui est tangent à cet horizon. La figure 367 représente une telle projection complète.

499. Il est facile de reconnaître, à l’inspection des figures, que les projections stéréographiqne et orthographique ont des défauts contraires. Tandis que la première augmente considérablc-

CiODiSIB.

ment les parties éloignées du centre, la seconde les diminue dans un rapport tel, qu’elle n’est même presque pas usitée. On conçoit donc qu’il ait pu venir à l’idée de trouver sur la perpendiculaire au plan du tableau un point de vue tel que les rayons qui percent ce plan, en partant de points également distants sur le globe, donnent des projections également espacées.

Supposons que V {fig. .IGS) soit ce sommet des cènes : daignons par X sa distance VP à la terre, par na un certain nombre de divisions du méridien, et par nh le même nombre dedivisions correspondantes sur l’équateor, égales entre elles, et voyons si nous arrivons à une valeur constante de x. Il s’agit ici d’une projection sur l'équateur.

Les triangles semblables GFV, DCV, donnent

cv : Fv ; : Dc : gf

ou i-f- r-f- gin.na ; ; «A I cofin.rM,

d’où nous tirons

(i r) cosin. no = nh (x l'-J-

Et enfin successivement

(x-|- r) (cosiu.Jia— nh Mii.Na) = «Asm./w

+ nA. gin.na .

^ ^ pj

ciwm. na — «a

nh, siB.na ctsin.no — nh

S’il avait été question de la projection sur un méridien, l’expression de X n’eût changé que par la mutation réciproque du sinus et du cosinus de na.

Cette valeur de x variant avec na, c’est-à-dire avec », prouve qu’il n’y a pas dc position pour Y, qui remplisse complétcm^t le but que nous nous proposions d’atteindre.

Nous pouvons, tout au moins, chercher à satisfaire le mieux possible à la condition qu’on ne rencontre, ni dans la projection stéréographique, ni dans la projection orthographique. Pour cela, prenons l’expreMion générale d’un rayon projeté de parallèle en fonction de la latitude et de lu position du point de vue.

En désignant ees quantités par /», L et ^ , la figure 368 et la

PROJECTION ORTHOORAPBIQtlE SUR L'BORIZON. B56

même comparaison des triangles semblables que cÂ-dessus fournissent :

A : r cos.L ;; sin.L

(x+rIrcos.L rcos.L

Si D = 0, nous rentrons dans la projection stéréographique, et le rayon du parallèle projeté est

, r. foa.L * ”* 1 + sin.L .

Si a; = s *1'^^ correspond à la projection orthographique,

, r cos.L ,

h * T- w r. cos.L

Dans ce dernier cas, h varie trop peu, lorsque L est voisin de 0*. Dans le précédent, la valeur du sinus qui entre au dénominateur, prenant des accroissements d’autant plus rapides que le cosinus décroît plus lentement, non-seulement détruit l’inconvénient qui existe dans la projection orthographique, mais encore lui substitue le défaut contraire, dans une proportion cependant moins défavorable. Ceci ne fait que conûrmer les inconvénients signalés S 499-

Si l’on supposait x = r, la formule deviendrait

, r. cos.L 1 -t- I .tin . L

L’expérience a prouvé qu’on détruisait ainsi un peu trop l’action du sinus, et Lu/tire a pensé que ce qu’il y avait de mieux à

foire était de prendre a;=8in.50' = ^ ^ (/^d- 3^9), cequi donne

r CO» L

r. .sin I.

r, cott.L r. cos. L

-t-ifl sin.L

l-fKi

et enfin,

, r ro«. L

-t- 0,583 sin.L

c’est-à-dire environ

r. cpi.L t + f sin.L

Malgré l’avantage de cette méthode, on a continué à se Servir

de la projection stéréographique, parce qu’elle seule jouit de la propriété de projeter les cercles (Je la sphère par des cercles.

600. Projections par développement. — Développement du cône tangent. Lorsqu’il ne s’agit que de représenter une petite portion seulement de la terre, eomme un royaume, une province, etc., on se sert de projections qui altèrent moins les formes et les dimensions. Pour cela, on imagine une surface de révolution dévejoppable et tangente au globe vers le milieu de l’espace à reproduire, suivant le parallèle moyen. Cette surface différant peu de la portion correspondante de la terre, coupée par les plans des méridiens et des parallèles, se trouve divisée en quadrilatères mixtil ignés qui représentent les quadrilatères curvilignes, et que l’on peut regarder comme leurs équivalents. Soit CQTP(fig. 370) la section d’un quart de la sphère par le méridien moyen de la surface à projeter. TD est la trace du parallèle moyen, et BE,AF, celles des parallèles extrêmes. Imaginons la surface conique engendrée par la tangente OT : elle se raccorde avec la sphère suivant le parallèle dont TD est le rayon, et les plans des parallèles ' extrêmes la coupent suivant les circonférences projetées ici en 6B et aF. Les sections par les plans méridiens sont des génératrices du cône. Pour développer la portion nécessaire de la surfaee conique, on décrit un arc de cercle avec TO pour rayon, on porte dessus des parties égales aux divisions du parallèle moyen, et l’on trace les génératrices correspondantes ; puis ensuite on complète la projection en décrivant du même centre et avec Oo,

06, pour rayons, des portions de circonférences qui sont les projections des parallèles.

Nous trouvons, dans ce procédé, que les quadrilatères sont rectangulaires comme sur la sphère, et que tous les détails situés sous la même latitude sont comparables; mais, pour d’égales différences de latitude, nous voyons qu’elles décroissent de plus en plus rapidemepl, à mesure que l’on approche du pôle, tandis qu’elles augmentent sans 'cesse vers l'équateur. Dans ce cas, elles sont projetées plus grandes qu’elles ne sont sur le globe, et plus petites dans le premier cas. Un second inconvénient consiste en ce que les différences en longitude sont toutes plus grandes sur la surface conique que sur la sphère.

La figure 371 indique ce développement.

501. Projection conique. Pour que les latitudes ne soient pas altérées, on a imaginé de porter, à partir de T (fig. 370), surTO,