PROJECTION CYLINDRIQUE
C'est lorsque ces interpolations sont elTectuées par le calcul qu’on peut en faire de graphiques, pour placer les points qui ap* partiennent à l’un des quadrilatères, en divisant ses côtés proportionnellement au nombre de dizaines de secondes, et môme de secondes.
Si nous désignons par n le coellicient de nx (c’est le nombre de secondes qu’il faut ajouter à la latitude du parallèle inférieur, formant l’un des côtés du quatrilatère), et pur n , celui de ay, nous voyons sur la figure 381, que Wl ou .s (VM), ou encore a (nAx) varie nécessairement en raison de la grandeur de VM ou n' Ay, puisq’ue la courbe MM' s'écarte d'autant plus de MM , que HV est plus considérable. Ainsi, M t =n'A (nux) =nn'A^x.- de même M'l=nn'AJy.
jusqu’ici, nous avons supposé que nous connaissions les coordonnées d’un point M appartenant au même parallèle développé que M' : cela n’est pas, et il s’agit d’une double interpolation.
Soit A' {Jig. 382), le point dont on cherche les coordonnées : son abscisse X = ep = cp -t- Ac -t- Ae = x' Ac Ae.
Ac est Ax' répété n fois : c’est nsx ; Xe est l’accroissement de Ap ou X, d’autant plus grand que A' s’élève plus au-dessus dé A, en raison de la plus grande dilTérence en longitude de ces points : c’est donc n ax. Kn ajoutant ù ces düTéientes quantités, le terme en A* dont l’explication vient d’étre donnée, on a
X « X' -f n Ax' -f n'Ax -f- nn'X*x
Nous trouvons de même que
y ■=>y’ — cn»»ÿ' — J k't^ri^y
et enfin,
Y — y' — nAy'-j-n'Ay - nrik^y
Les grades et décigrades qui correspondent à x et x', y ely' font connaître en môme temps Ax, Ax', Ay, Ay', a*x et A*y ;
606. Projection cylindrique. Ce mode de représenter une portion de la surface du globe est certainement le plus défectueux, lorsqu’on n’apporte pas quelque modification a son principe. 11 consiste à imaginer un cylindre tangent à la sphère, suivant l’équateur. Les génératrices tangentes aux méridiens {ftg. 383) les représentent dans le développement du cy lindre sur un plan. Les parallèles sont alors représentées par les droites, perpendiculaires aux méridiens, qui sont les développements des cercles suivant
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lesquels les plans des parallèles coupent le cylindre. Ce n’est que pour une zone très-restreinte , au nord et au sud de l’équateur, que celte projection est admissible: au delà, les altérations vont sans cesse en augmentant ; elles sont d’ailleurs dues à une double cause, le décroissement des distances en latitude et leur accroissement en longitude. 11 suilit de jeter un coup d’œil sur la figure 384 pour s’en rendre compte.
Lorsqu'il s’agit de représenter une portion de zàne qui n’est pas contiguë à l’équateur, on imagine le cylindre inscrit dont la génératrice est FG (fig. 385), ou celui qui est circonscrit, et qui a pour génératrice AB, ou mieux, celui qui serait décrit par la droite DE passant par la latitude moyenne M de la zone. Dans la projection cylindrique , les aires des zones sont égales sur la sphère et suFle développement, et par conséquent, sur ce dernier, les hauteurs des rectangles varient en raison inverse de l’accroissement relatif des hases.
607. Carte plate. On peut détruire l’une des deux causes d’erreur, en modifiant d’une manière analogue à celle qu’on a employée pour la projection de Flamstead, c’est-à-dire en supposant les méridiens rectifiés sur les génératrices qui les représentent. Alors les distances mesurées sur la carte dans le sens de la latitude ont même longueur que sur le globe, et la projection se trouve composée d’autant de rectangles qu’il y a de quadrilatères sur la sphère {Jig.^ 386) : c’est ce que l’on nomme carte plate.
Les formes et les surfaces ne sont pas sensiblement altérées dans le sens de l’est à l’ouest; ainsi, pour une contrée qui serait beaucoup plus étendue dans ce sens que du nord au midi, on pourrait sans inconvénient employer ce mode de projection.
608. Projection de Cassini. Celle-ci n’est réellement qu’une modification de la précédente. Pour l’exposer, il suffit d’appliquer au méridien ce que nous avons dit de l’équateur, et réciproquement. On suppose un cylindre tangent à la sphère suivant le méridien principal : pur les divisions de l’équateur, des plans parallèles au méridien, et par celles du méridien des grands cercles qui ont un diamètre commun situé dans le plan de l’équateur. Ce diamètre est, dans la projection de Cassini, ce qu’est la ligne des pèles dans la précédente. On imagine ensuite le cylindre développé, et les génératrices passant par les divisions du méridien représentent les grands cercles perpendiculaires au méri-
CARTB RÉOUITB. 565
dien, tandis que les petits cercles qni loi sont parallèles ont pour projections les développements des intersections du cylindre par leurs plans {/ig. 386 et 387).
Ici, ce sont les dimensions voisines du méridien qui ne sont pas défigurées dans la projection, tandis que, dans le sens de l’équateur, les quadrilatères diminuant de plus en plus de surface, et devenant de plus en plus obliques, sont fort mal représentés per les rectangles de la carte. Sans doute la conflguration de la France, un peu plus étendue du nord au sud que de l’est à l’ouest, a été l’un des motifs qui ont déterminé Cassini à employer ce système pour l’exécution de sa carte de France.
Dans cette projection, les points ont été rapportés par leurs distances à la méridienne et à la perpendiculaire de l’Observatoire de Paris, et nous avons indiqué (n® 413), avec quelle facilité on passait successivement à celles de tous les sommets du canevas géodésique au moyen des éléments des triangles et de l’azimut d’un premier côté. Les coordonnées de chaque point peuvent être , comme vérification, déterminées par deux calculs qni les rattachent aux deux autres sommets déjà calculés d’un triangle: dans ce cas, nous ferons observer que, pour former les azimuts des deux côtés qui, avec eux, sont les éléments connus des triangles rectangles à calculer, il faut ajouter l’angle B (/îgi. 389, 390, 391, 392), à l’azimut Z pour le point B qui est à gauche, par rapport au sommet à déterminer C, tandis qu’il faut, pour l’objet de droite, retrancher l’angle A de Tazimut Z'. Ce dernier azimut est évidemment égal à Z augmenté de 200*.
609. Carte réduite. Les cartes marines n’ont pas pour but de présenter exactement la configuration des diverses parties du globe; mais de permettre au navigateur de tracer avec une précision , presque toujours suffisante , le chemin parcouru par son navire. Les données sont les distances et les directions : les premières sont les hypothénuses d’autant de triangles rectangles dont les côtés de l’angle droit sont les méridiens et les parallèles. Pour ne pas commettre d’erreurs dans les opérations graphiques, il faut que, partout sur la carte, il y ait, entre les degrés de latitude et de longitude, le même rapport que sur la terre, et que, de plus, les projections des méridiens et des parallèles soient toujours rectangulaires. Celte dernière condilinn n’est pas remplie dans les projections stéréographique et orihographique, si ce n’est dans le cas particulier où l’équateur est le plan du ta-
ueodMie.
bleao } mais on ne pourrait y tracer facilement la loxodromùf . ou courbe suivant laquelle marche un vaisseau soumis à une même impulsion du vent : cette courbe, jouissant de la propriété de couper tous les méridiens sous un mémo angle, est représentée par une ligue droite sur les cartes ou les méridiens sont parallèles.
Les cartes plates ne satisfont pas à la première condition énoncée plus haut, puisque l'on y fait tous les degrés de longitude égaux, tandis qu’en réalité ils décroissent proportionnellement au cosinus de la latitude. On pare à cet inconvénient, en divisant les degrés du méridien par ce même cosinus de la latitude, ou en les multipliant par sa sécante, de sorte, qu’alors, les degrés des méridiens croissent dans le même rapport que ceux des parallèles. Celte nouvelle projection, connue sous le nom de carte réduite {fig. 388), n’a plus d'échelle constante: les divisions de celle échelle croissent comme les degrés tracés sur les méridiens projetés. On a construit des tables des latitudes croissantes qui fournissent immédiatement la longueur du degré et de ses subdivisions, pour toutes les latitudes. On peut encore tracer une semblable projection, lorsqu’il s’agit d’opérer à une petite échelle, en décrivant un quart de circonférence d’un rayon égal à un degré ou à l'un de ses multiples, en divisant celle circonférence en degrés, ou par le même multiple, et prenant toutes les sécantes successives entre 0° et 90°, ou entre et 100'. Il serait plus exact d’opérer, s’il était nécessaire, en calculant par logarithmes.
610. Projection de Lorgna. Celte projection a pour but la conservation, en vraie grandeur, des surfaces terrestres développées. Un hémisphère sera représenté par un cercle d’égale surface.
Désignant par R et r les rayons de la sphère et du cercle, il faut qu’on ait »r^ = 2»RS et par conséquent r = RV2 = 1.4H2 R, r= 1,4142 R. La valeur de r se trouve aussi très-facilement au moyen d’une construction graphique très-simple; car, de r* = 2R*, on conclut que r est l’hypoténuse d’un triangle isocèle rectangle APC {fig. 393), c’est-à-dire la corde AP qui sous-tend le quart de la circonférence, ou encore, en d’autres termes, le double du sinus de 50‘. On voit {fig. 379) la projeolion de l'hémisphère sur le plan de l’équateur. Dans ce cas, les méridiens sont projetés suivant des lignes droites comprenant
