PROJECTION DE LORGNA

entre elles des surfaces égales aux fuseaux sphériques de la terre ) les parallèles sont représentées par des circonférences dont les rayons sont déterminés par cette condition que les surfaces qu’ils comprennent soient égales aux zùncs sphériques. Cette condition sera satisfaite si on établit l'égalité entre les surfaces des cercles représentant les parallèles sur le développement et celles des calottes sphériques déterminées par les parallèles terrestres. En désignant par L une latitude quelconque, et par ? le rayon correspondant de la projection, ces deux surfaces ont pour expressions, la première itp* et la seconde 2» R* (l — sin, L) puisqu’elle est égale à une circonférence de grand cercle multipliée par la hauteur. On doit donc avoir

— 2R* (I — sin.L), (S=R VîVl — «inX

Mais R V 1 représente le rayon r de l’équateur développé ; oli à donc en fonction de celui-ci

P ■■ P V 1 — lio.L I

Pour rendre le radical immédiatement calculable par logarithmes, il suffit de remplacer sin. L par le cosinus de son complément, et l’on a

^ — r — cos.(IOO— L)=»r\ '4 sin.(50* — | L)

S’il s’agissait de projeter sur un méridien, la figure 393 indn qnerait que l'on a imaginé la sphère divisée, comme pour la projection de Cassini, par des plans parallèles au méridien principal^ et par des plans perpendiculaires à ce même méridien. Toute la différence consiste en ce que Cassini a pris le plan de projection perpendiculaire à celui du méridien principal^ tandisqu’ici, c’est lui qui est le plan du tableau.

La même figure 393 convient à la projection sur l’horizon, dans la supposition où tous les petits cercles sont parallèles au plan de l’horizon, et ou les grands sont des cercles azimutaux. Les petits cercles, dans ce cas, se distinguent sous le nom d’a(micantarats.

Les rayons des petits cercles seraient calculés facilement par le moyen qui a été expliqué plus haut pour la détermination de ceux des parallèles de la projection sur l'équateur. .On aurait ainsi des systèmes de coordonnées analogues aux latitudes et aux longitudes; mais les points principaux d’une carte sont

connus par ces derniers éléments ; en sorte que pour chacun d’eux il faudrait opérer un calcul destiné à faire connaître les éléments correspondants de la projection de Lorgna appliquée à un méridien ou à l’horizon, ce qui en rend l’exécution très-diffi-

cile.

511. Projection homalographique de M. Babinct. Le but qu'on se propose d'atteindre dans ce système de projection est le même que celui de la précédente : conserver aux surfaces leurs grandeurs relatives.

Soit EPQP' un méridien en vraie grandeur {fig. 373) ; soient également PP' la ligne des pôles et QE la trace de l’équateur. La surface de ce grand cercle sera la moitié de celle d’un hémisphère ; pour que la condition essentielle soit satisfaite, il faut que les fuseaux sphériques formés par les méridiens, et les zônes comprises entre les parallèles soient représentés sur la projection par des surfaces réduites dans le même rapport.

Occupons-nous d’abord de la recherche des méridiens. Si, d’une série de points situés sur la circonférence nous abaissons des perpendiculaires sur la ligne des pôles, et si nous divisons cellcs-ci en un môme nombre de parties égales, nous obtiendrons des séries de points appartenant (S 419) à des ellipses ayant pour grand axe commun la ligne des pôles, et pour petits axes

des longueurs telles que 2 OM = 2 r^, si r désigne le rayon

terrestre, et si n étant le nombre total de divisions employées, m est celui qui répond au point M. Les lignes PMP*, PM P' représenteront les méridiens, en satisfaisant à la condition de constance du rapport des surfaces. On sait en effet que la surface d’une ellipse dont les demi-axes sont « et ô est représentée par » ab ; le fuseau plan elliptique PMP'M' sera alors exprimé

Tous les fuseaux auront donc des surfaces égales entre elles, et par suite, chacune de celles-ci sera moitié de la surface du fuseau sphérique correspondant.

Cherchons actuellement à représenter les cercles des parallèles par des lignes droites parallèles à la projection de 1 équateur. ^ Soit L la latitude de l’un d’eux, et x celle qu’il faut lui substituer pour satisfaire à la condition des surfaces, de telle sorte que surface I i6nc spli. QL = 2, surf, tôuc plane Qi.

PROJECTION HOMALOGRAPUIQUB. S69

La surface d’une zône de la sphère a pour mesure le produit d’une circonférence de grand cercle par la hauteur: la zéne plane est égale à deux fois HOxQ ou à 2 OHZ-f* 2 OQx. On peut donc écrire

. rt sm.L = 4 ^ }

U sin.L e= 2a .f. sin.îx.

Cette équation est insoluble, si on y regarde x comme l'inconnue ; mais on peut tourner la difficulté en la résolvant par rapport à L, en attribuant à x des valeurs arbitraires; il faudra pour cela la mettre sous la forme

!i sin.L =»îaX rapport <• + sin.2x,

si X est exprimé en grades. On pourra ainsi construire une table renfermant, en regard de L, les valeurs de x correspondantes, et s’en servir de la même manière que d’une table de logarithmes, pour trouver par interpolation les valeurs de X, qu’il faut substituer à celles de la latitude vraie, de 10> en 10*, par exemple.

La projection homalographique se trouvera donc ainsi divisée en deux séries de lignes représentant les méridiens et les parallèles, comprenant entre elles séparément des surfaces égales à la moitié des surfaces correspondantes de la sphère. Il reste encore à faire voir qu’il en sera de môme pour les portions comprises entre les parallèles et les méridiens elliptiques, car il n’a été question jusqu’à présent que des zônes entières comprises entre les parallèles. Comparons à cet effet les surfaces ABab, ABa'b' relatives au cercle méridien de rayon r et à l’ellipse dont les axes sont r et Le calcul différentiel prouve directement que ces surfaces sont proportionnelles au rayon EO et au petit axe OM ; sans rechercher cette démonstration, quelque simple que soit le procédé qui y conduit, il suffit de remarquer que les ordonnées des deux courbes ab, a' b' étant par construction, toujours dans le rapport les surfaces qui sont composées d’une suite de ces coordonnées auxquelles on attribuerait une épaisseur constante , seront elles-mêmes dans ce rapport et un élément a'b'al'W

formé par des méridiens et des parallèles consécutifs sera égal à la différence

ABo'6' - ABa''6»= ABûi X — - ABoô^L:^» ^ n n n

Mais AB ab est la moitié de la zdne terrestre oorrespondaute, renfermant n quadrilatères égaux entre eux; ceux-ci seront donc le double des surfaces telles que a' b' a" b" qui les représentent sur la projection.

Donc enfin, toutes les parties du développement homalographique sont dans un rapport constant avec les parties correspon-^ dantes de la surface terrestre.

Ce mode de projection est surtout applicable aux mappemondes (Ag. 372), que la projection de Lorgna seule pouvait rendre en conservant la proportionnalité des surfaces. Nous avons vu que cette dernière n’est facilement exécutable que sur le plan de l’équateur, et alors elle doit exprimer séparément les hémisphères boréal et austral, et il y a interruption dans le dessin des continents qui coupent l'équateur ; la projection homalographique n’a pas cet inconvénient. Ses parallèles étant des lignes droites perpendiculaires à la ligne des pôles, elle a de plus l’avantage d’indiquer constamment les directions E, 0 à droite et à gauche de la carte, tandis que dans les autres systèmes de projection ces directions sont variables avec la courbure locale du parallèle.

M. Babinet a étendu le système homalographique à la représentation totale de la sphère. Il suffit, pour arriver à ce résultat, de prolonger les lignes droites qui forment les parallèles, et d’espacer les méridiens {fig. 37ô), au dehors comme au dedans du cercle.