CE R
EHXFR gin. A X sin. B
CK
d’où coiin. (A+ B) X sin
Il n’y aurait que le signe du second terme à changer pour que le second membre fût l’expression de la différence, puisque
cogin.(A-B) .*C.N=»CO+ NO=CO-fCL.
11. Les quatre formules fondamentales de trigonométrie sin.(A±B)^^-* ^ B±«in.B.cosin.A
CO». X sin.B
viennent d’ôtre démontrées pour les cas où A 4- B < 1 00* et A>B.
11 faut les généraliser et faire voir qu’elles ont encore lieu quand A et B sont quelconques,
1® Si B > A, on aura sin. (A — BJ = — sin. (B — A), ou
. üin R. cos.A — aio. A X co«.B sin.AXcos.B — sin.BXco*-A
6id.(A — B) — - g = g
Quant au cosinus, il est évidemment le môme, puisque, S 7, . les cosinus d’arcs égaux et de signes contraires sont égaux et de même signe ; * ,
2* Il peut arriver que 50* < A < 1 00', B < 50» et A -f- B> 1 00*. Désignons par » la différence de A à 100* ou son complément, nous aurons sin. A=cos. « et cosin. A = sin. «.
sin. (A 4- B) = siD.(< 00» — O + B) = [1 00 — (a — B) ] — cos.(a - B)
B et a étant chacun plus petit que 50*, le développement de cosin. (B — «) nous est connu : il vient donc
sin.(A+B) =
cos.BXcos tt-f^sin-BX sin.g sin.AXcn» B-f sin.BX cos. A
Nous aurons de môme
eos.(A+B)=»tos.(IOO«— a+B)—cos. [100— (a— B)]»siD.(a— B),
,, , sin.acos.B — sin.Bcos.a cos.AXcos.B— sin.AXsin.B cos.(A+B)= g g ;
.3° Supposons que A et B soient l’un et l’autre plus grands que 50* et plus petits que 100*. Faisant B = 100 — fi, nous aurons :
sin.A>^cos.a; cos.A =>sin.a; sin.B=:co3.3; cos.Beasin.3.
MD.(A + B)=sin.[ÎOO-(tt4-l3)]°sio-(a+yS)-—
. . , sin.BXcos.A + sin A.Xcos.B
ce qui revient à sm.(A + B)= ^ s — S
cos.(A+B)==cos.[200 — (ot+0)] ■»—«». («4- 3)“=
cos.oXcos.3 -sin.oXsio.3 R
. , . ... ,, , cos.AXcos.B.— sin. A X sin. B
et finalement co». (A4-B)= g .
Plus A et B augmentent , plus a et |3 diminuent, et la formule
est encore vraie , lorsque A et B atteignent 100, chacun.\Parvenus à cette limite, les cosinus de <t et ^ égalent le rayon pt les sinus sont nuis, ce qui réduit les formules à
8in.200* = o cosia.200' =
- Ri R ’
On aurait pu voir encore que, si A et B sont précisément égaùi à 50* chacun, "
. .in. (A+ B) - ,ip. IOQ.^2'1^ • R .
co..»50'— .îh. «50»
eos.(A + B)=eo».100»i
par la raison que .in. « 50» -f cos. « 30* = R» , et que .in. 50» = cos. 50» ;
4» 11 nous reste à faire voir que les formules conviennent encore, quelles que soient les valeurs de A et B.
Ces arcs peuvent être égaux à un certain nombre de quadrans plus un arc plus petit que 100*. On peut avoir A = a, B = ns -J- P : m et n affecteront l’une des formes suivantes : »
trq
4rq J
Il est inutile de s’occuper de la combinaison A=kn -f «, B=4ss + P, puisque les lignes trigonomélriques restentjes mêmes; quant aux arcs, on ajoute un certain nombre de circonférences entières.
Si A = (4r+4)q-J-a Ct B=»(4j + 1)q-|- p, il résulte que .io.A>=.in. (4q + o)=co«.a; co..A>seo.. (Iq-|-a)=3 sia.a ; sia.Bia>eo!i.p et cos.B=>— sin.^ siD.(A-)-B)B>8in. [200»+{«-l-p)]=— sin.(»-|-p)=
sin.a X eo3.P4-.io. P Xto..««
d’où
,, , n\ cos.AXsin.B— sin.A
sin.(A+B)— g
ain.A X co. B-f-sin.BX co..A.
de même
TRIGONOVÉTRIB RBCTILICNE.
ow.(A+B)>-coi. [ÏOO+(«-f-p])— — co« (a+p)
cos.aXros.p— nn.aX'in.P Ha.AiiD.A<~coi. B cot.B R “ "T
et enfin
cof. (A + B).
cos.A Xcos.B — sin.A X *'n B R
En combinant de la même manière les autres valeurs que peuvent prendre A et B, on arriverait toujours aux formules générales.
