TRANSFORMATIONS DIVERSES DE CES FORMULES

12. Nous allons les combiner par voie d’addition, soustraction, multiplication et division. D’abord, en les ajoutant et retran-

chant successivement, on obtient :

sin . (A -j-B) + sin. (A — B) = î. sin. A X cos.B. (t 0)

8iD.(A-f B)— iin.(A — B]c=2.sin.BXc(W-A • (11)

cos.(A+B)+tos.(A — B)=î.cos.AXf®s.B. • (12)

cos.(A— B)— cos.(A+B)=2.sin.A.X»in.B (13)

On n’efTcctue pas les autres combinaison^ que fourniraient encore les quatre formules générales, parce qu’elles n’offriraient que des expressions composées de quatre termes, et qu’il n’y aurait aucun parti à en tirer comme on le fait de (10), (11), (12), (13).

Faisant A -t- B =i P, A—B=q : d’où A = j(p-}*ç), B=:î (p — g)

Bw.p-f-sin.qm,î 9in.t(p-l-9)eos.t(p — g) (1i)

■in.p— sin.f aa2. gin.} (p — g) eoê.^(p 4-9) (1 5)

cos.p-|-cog.9— 2.cos.}(p+9)co5,J(p— ?) (16)

tos.j— cos.p = 2.sin.i (p-h?) sin. J (p — g) (1 7)

Ces quatre dernières s’emploient souvent pour remplacer des sommes ou différences de sinus ou cosinus par des expressions composées de facteurs seulement, et faciliter ainsi les calculs par l’emploi des logarithmes.

TRICONOMÉTIUB RBCTIUCNB. 11

13. Multiplions (6) par (7) et (8) par (9), en nous rappelant que

R*=sin!-}-tos.* sin. (A-f-B) sin. (A — B)«=

n.ît tos^B — sin.» BXeos.*A sin.A (B* — sin?B) — sin.» B (R» — sin.» A)

«=sin*A — siiiffl ou sin. (A+B) sin. {A — B) =

cos'.B (R* — tos.*A) — CO».’ A (R* — co».* B) — • — •

5 i — ^ — tos.B — cos. A

cos. (A+B) coa. (A — B) "*cos*A X cos!b — sin?A X 8>n*B

(R’ — sin.*A) (R’— sia^) — sin.A Xsin!B

= R*— (fïn?A4-sin"B)="C05.A —sin.B!=cos.B— sin.A

En résumé

»in.(A+B)sin. (A — B)=»sin.*A — sin.^=cos!B— cos*A (»8)

cos. (A +B) cos. (A — B)«=cosÎA — sm.^J^coi.V. — sin*A (1 9)

Ces formules peuvent servir à remplacer des différences de sinus et cosinus carrés par des produits. Les autres combinaisons analogues que l’on pourrait déduire de (6), (7), (8), (9), ne donneraient pas naissance à des expressions assez simples pour qu’on en pût faire usage.

14. Si l’on divise (6) par (7), puis le numérateur et le dénominateur par cos. A x cos. B. ou sin. A X sin. B, il vient

8in.(A-l-B) »in.A Xi^o-’-B-l-sin BX cos.A long. A +tang.B 5in.(A — B)^sin.A Xcos.B— sin.B Xcos.A“ Ung.A — Uug.B

colang.B-t-col«ng.A cotang.B — cotang.A

(tO)

coa.(A-l-B) eoa.A X coa.B — ain.Asin.B 4 — long. A X tons B wP V •'coi.fA— B) cos.AXcoa.B-fain.AXatn.B'^l+laug.AXUng.B

col. A X cot.B — 4 col.AXcoUB+'l

TRIGONOMI^TRIE RECTILICNE.

(6) par (S) tang. (A + B)

Mn-Ax™* B-t-sin.BXfn.i-A cos. A X cos.B— sin. A X sin.B

lang.A-piang.B 1 — taDg.Axi*Dg-B

col.B4-cot.A col. A X col.B — 4

(7) par (9) lang.fA — B)

sin.AXcns B— sin.BXcoa.A lang.A — taog.B cos.A cos.B-t- sin. A X sin.B “ 1 + tang. A X tang.B

fot.B — fot.A fot.A Xcot.B+4

y/.i fn\ sin.(A4-B) tang.A + lang.B eot.B+eot.A

' < P ' cos.(A — B)“ 1 -f lang.A. lang.B'”cot.B X cot.A+1’

/'T'inni sin.(A— B) lang.A —tang.B rot. B— col. A V / P V / cos.(A-j-B) 4 — lang.A X tang.B col.BXcol.A— 4 "

(ÎS)

16. Si l’on divise les formales (14) (15), (16) et (17) les unes par les autres, on trouve :

Bin.p+8in.7 Bin.Kp4-<?jeo8.1(p-<7) lang.Kp.po^ am.p— ain.} cos.i(p+g)ain. J(p— 7)“ung.4(p— j)' * • •

8in.p4-ain.<7 8in.t(p+g)coa.lfp-g) tang ‘(p + g) cos.p+cos.ç to8.1(p+9)cos.l(p — 5) R • • . . [*/)

sin p+8in.7 8in.j(p-f g^tos.Kp-.?) eol,^fp-<7)

eoB.p — cot.ç sin l(p-f-9)sin.)(p— g) R • • • •

8in.p— 8in.7 sin.Kp— g)cos.ifp+(7)tang j(p-Q)

•eoi.p+co8.7 fos.Kp+îlcos.J'p — (/)“" R .... |ï»;

ain.p-sin?^ 8in.i(p-7)co8.ifp4-?)^ fot.y> + g)

cos.p— C0S.7 8in.((p-f-7) sia.)(p — ç] R • • •

C0S.p4-f.08.7 cos l(p-l- 7^08.1 — cot.^(p.f(;)

cos.p-cos.î” sin.i(p+9)sin.i(p — g)”" lang.J(p-g)' ‘

Ces différentes formules peuvent se démontrer dirëctement et synthétiquement.

Soient MP = A,MN=B, fig. 2 bis ; prenons MQ=MP=A; il en résulte, en traçant l’horizontale NO, que sin. A + sin. B=SQ et sin. A — sin. B = SP. Joignons les points P et (î à 0, et nous formerons ainsi NO(î=î (A + ®)» NOP .■= j (A— B) : car ces angles ont leurs sommets sur la circonférence et embrassent entre

leurs cAtés les arcs A + B, A — B. Cela posé, du point O comme centre, et avec le même rayon R qui a servi à décrire PNMP, décrivons un arc de cercle , puis traçons la tangente au peint T ; elle rencontrera les deux cordes OP, OQ en deux points ü et V tels qu’évidemment l’on aura :

Ttl — Uds.4(A-1-B) TV=tang i(A-B)

Mais dans les triangles semblables OPQ, OVC, la droite ON partage les deux cêlés parallèles PQ, UV en parties proportionnelles.

donc c’cct A 1261

Qonc pg VT “‘f® sin.A-sin B laDg.i(A-B)‘ * ‘

La même figure 2 bis servira encore à trouver la formule (27) : car les triangles semblables OTU, OSft , donneront entre leurs côtés la relation,

TU ; OT :: SQ : SO, c’est-à-dire ung-KA-f-B) : R Il sia.A-(-sin.B | SU.

Pour voir ce que représente ce A* terme, menons du centre CJ perpendiculaire à NO, nous aurons

JO^NJ^cos.B et SJ=>coa.A

Or so—sj+jo.

donc enfin

»in.A-l-«in.B lang-KA-pB)

cos.A-fcos.B R

Au moyen de considérations analogues, on retrouverait également les quatre formules suivantes (28), (29), (30), (31).

16. Jusqu’à présent, nous avons laissé le rayon en évidence, en le supposant quelconque. Généralement, pour plus de simplicité , on le fait égal à l’unité. Prenons deux arcs concentriques et de même amplitude AD, «<r, /tp. 3 ; les triangles semblables CDE, C/f, nous donneront :

sin.AD sin. a<T AC “ oC

et si nous supposons « C=l, AC étant quelconque, nous aurons sin. af = : ce qui indique que, dans les formules où le

rayon a été supposé égal à l’unité , les lignes trigonométriques qui y entrent représentent le rapport qui existe entre les sinus, cosinus, etc., relatifs à un certain rayon et ce même rayon, ou, comme nous l’avons expliqué au S 2, les sinus, cosinus, etc., des angle.s.

TRIGONOXÉTIUB RECTIUGNR.