CHAPITRE IV
RELATIONS ENTRE LES SlNtS ET COSINUS SES ANGLES SIIPLRS ET MULTIPLES.
17. Reprenons les formules fondamentales (6) et (8) : elles deviennent, en y faisant A=:[B et le rayon égal à Tunité :
sio.3 A = 2sin.A Xcos.A (3S)
coi.2A=9 cot.'A — »iD.* A ' . (33)
Pour trouver ces relations géométriquement , prenons un arc MR = 2A, /îff. 2 1er; MN sera son sinus. En joignant M. à l’extrémité Q du diamètre qui passe par R, nous formerons l’angle MQR=A, car il est moitié de MGR. Du point (i comme centre et d'un rayon CQ, décrivons l’arc CO, puis abaissons OP qui sera le sinus de A. Les triangles semblables MNQ, OPQ donnent
ou
MS : OP :: MQ : OQ
SiD.t. A =
gio.AXMQ
11 resleà faire voir queMQ = 2. P(i=2. cos. A. Pour cela, traçons la corde MR : elle termine un triangle MQR semblable à OPQ, car tous deux sont rectangles et ont un angle commun en Q ; donc on peut écrire la proportion MQ ; PQ ". : RQ : OQ : d’ailleurs, RQ est double de 0Q = CQ, puisque le premier est diamètre d’un cercle dont CQ est le rayon : donc
et enfin
MP— 2.PQ=>2.coe.A
. , , î.sin.Acos.A sm.2. A = 5
ou plus simplement sin. 2 A = 2 sin. A X cos. A.
S’agit-il de la formule (33), on remarquera que dans le triangle rectangle RMQ, RM est moyen proportionnel entre RN et RQ (Legendre, livre 111, proposUion XXlll).
Mais RM = RM X RQ n’est autre chose que
4sin.» A — 2(1 — C0S.2A)
puisque RQ est le diamètre ou le double du rayon et que
THIGOKOMÉTRIE RECTIUGNE. 15
RN = RC — CN, c’est-à-dire que RN est égal au rayon diminué du cosinus de Tare MR = 2A,
par conséquent cos.2 A = i — îin! A = cÔs!a - siïi^A = 2 cTs?a —4 . (33)
18. Si l’on veut avoir ies sinus et cosinus de 3 A, on fait B = 2A dons (6) et ^8) et l’on substitue les valeurs fournies par (32) et (33).
sio.3 A=9 3Îq,A cos.2 a + sio.2 Acos.A = sin.A (1 —2 sin.* A)-}- 2sin,Acos.* A = 3siD.A(4— liD.'A} — sin.>AsiD.3Aa=3.ûn.A— Asin.'A. . (3A]
cos.3A = c03.A cos.2 A— sin.A sin.2A •BCOS.A(2ros.*A — 4) — 2. sin.* Acos.A^^ 2 cos.*A — cos. A — 2 (4 — cos.*A) cos. A cos.3 A = 4 cos.’A — 3. cos. A. (35)
On peut encore, et plus simplement peut-être, arriver au même résultat par la méthode suivante. Dans la formule (10) on remplace A par 2 A et B par A : il vient alors
sin. (2 A -f A] -{- sin. (2 A — A) = sin. 2 A cos. A
sm.3A»2sin.2A cos.A — sia.A=4sio.A cos'a — sin.A =
4sia.A(4 — sio.'A}— sin.A»3siD.A— 4sio.*A. . • (34)
De même nous aurons en vertu de (12)
cos.[2A •f-A)-|- cos.A 2 cos.2 Acos.A.
ou cos.3 A=2 (2cos.A — 4) cos.A — cos.A = 4cos*A — 3 cos.A. . . (35)
19. Pour & A, on peut remplacer A et B chacun par 2 A dans les formules (32) et (33) ou seulement B par 3 A dans (6) et (8), et l’on arrive à
sin.4A .~2sia.2 A X roc-2 A<i>4sin.Acos.A(cos.*A — sin^A}:»
4sin Acos.»A — 4cos.Asiii.A (36)
En éliminant successivement les valeurs de côs?‘ A, ou sin.’ A dans celle de cos. 2 A, on trouverait encore pour la valeur de sin. 4 A :
tin.4As>(sin À X cos.A —8 sin.A cos.A = 8cos.A sin.A —4. COS.A sin.A. Quant au cosinus, nous aurons cos.4 A^cos.Acos.SA— sin.Asio.3A.
et C0S.4 A = 4cos.jl — .3cos.A— 3 sin! 'a+4
4(cos.A-|-siu.^A)— 3(cos.A+ sin ’a)
Nous savons que "«ïâ’A = 4 — cm*A
et par suite üï^A — 4 + crâ.‘'A — 2cOT.'A-
d’où cos.4A<=.i(4 + Seô»‘A — îcÔs'a) — 3 = 8cÔs‘a — 8côs.*A +4. (37J
On trouve les mêmes valeurs de cos. 4 A et sin. 4 Â au moyen de (10) et (12) dans lesquelles on substitue 2 A à A et à B.
En effet, il vient sin.4A+sin.0<B25ia.2Acos.2A
esisin.A (OS.A (cos?A — tm.k) laiisiD.Acos. A— 4eos.Aiin.A
et C0S|4 A + COS.0 — 2cÔs!2 A = 2 (côi?A— sin.A; *= 2 cos^A+ 2siD*A —
— 4»m.*Acôs.A=-2.êôitA-{-2 {4 —2 cos?A+eosÎA) — 4 sin.Acos.A
OU cos.4A->4ê^)l— 4coi.l— 4(4— c(m.'a)co8 8c08.^— 8c08.' 'a+4.
20. Cherchons le sinus et le cosinus d’un arc quintuple d'un autre, en fonction du sinus et du cosinus de ce dernier. Pour le sinus, prenons la formule (10) dans laquelle nous remplaçons A et B par 3 A et 2 A ; cela nous donne :
ùn.6 A + àn.A 2 iio.3 A coi.2 A
'sia.6 A— 2(38io.A— 4sia.^) (cos.*A— sIo.A) — sia.Aca 2(3sio.A— 4 sin.A) (4 — 2sin.* A}— 'Sin.A
8in.BA»6sio.A— 8ùnfA— 42^!A-f46sïn.'A— siD.Ai»
■lalGsin.'A — 20sia.*A-f-8>>D-A (38)
Quant au cosinus, nous trouverons de la même manière
eo«.5A°=>2coa.3AeM.2A— cos.Aca2 (4côs.k— 3cos.A)(cm.’a— sia.'A}— cos.A
cos. 5 A •• 2 (4 côs.*A — 3 cos.A) (2 cos.*A — 4 ) — cos.A — os l6cos?A — 8cos!a — 42cosfA-|-5cos.A
et enfin cos.5A— 46c».'a— 20c'Ôs'a+Bcos.A (39)
On peut aussi trouver les lignes trigonométriques des arcs mul-
TRIGONOMÉTRIR RRCTILICNE.
tiples quelconques en fonction de celles de l’arc simple, au moyen de la formule de Moivrc, démontrée plus loin, S 73. On en déduit ;
«— < nt(m — t)(m — î) * "—3 sio.nt A s=msin.Acos.A sin.A cos. A +
,i„‘Ac«TA-
>n [wi— t) (»i — 21 (m — 3) (m — 4) (m — 5) {ni — 6)
siti.A co3.Â-(-elc.
, 2 ■— * mfm — t)(m — 2)(m— 3) *
cos.ctA=cos.A sin.Acos.A+ ' ~ a ï sin.Aros. A—
»n (m — t)(OT— 2)(m — 3) (m — 4) (»i — 5) . * ,
^ s.a.A.cos.A + etc
En y faisant successivement m = 2, 3, 4, 5, 6, 7, etc., on voit que tous les termes à partir du 2*, 3% 4*, etc., dans le développement du sinus et du 3*, 4*, 5% etc., dans celui du cosinus, disparaîtront comme renfermant un facteur nul. 11 en résultera donc
8in.2A=2sin.A cos.A
... . — • . — cos.z A'acos.A — sid.A
sio.3A=3sin.A cos*A — sin'A=»3sip.A — 4sin.A.
COS.3 A =cos*A — 3sio?A cos. A= 4 cos?A — 3 cos. A sia. 4 Aas4sin.A cosfA— 4sln'.Acos.A COS.4 A=côs*A— Osid.’a cos?A-f^*A=8cos‘A — 8cos.*A4-l* Ma.bA<o5sia.Acos.A — tOsm.Acos.A sin.A=16sio.A— 20siu.A-f'5**o.A. C0S.5A Œ cos*A — tOsm*A cos*A + 8 sid^A cos. A = IGcos.A — ÎOcos.A -f-8cos.A
sia.6 AzsSsia.A cos.A— 20sia.Acos.A-l-6 sia.A cos.A. cos.6 A=3t cos^A — 45cos,A+ IBcos.A.
sid.7 ABa7sin.A cos.A— 3Bsin.A cos.A -1- SA sin.Acos.A— sin.A ■= <ie7sia.A — 56sîn.’A + HîsmÎA — 64sin!A.
f 0S.7 A «B 64 cos Ja — 4 1 î cos . A+ BC cos. A — 7 cos . A.
Il existe une analogie frappante entre les sinus et cosinus d’un même multiple impair ; mais on ne peut obtenir un résultat semblable pour ceux des multiples pairs , parce que dans les développements des sinus, on ne peut faire disparaître les différentes puissances impaires du cosinus de l’arc simple, ou du moins, on obtiendrait un développement en série qui ne satisferait point au but que l’on se propose ; en effet, on pourrait bien remplacer
cos! A par (1 — sin. A)i, mais en développant, on trouverait : rosfA=. t — j sîu'a+J — ^sin!A+ lin sin!A — etc.
et des séries convergentes analogues pour cos. A, cos. A, etc.
