CHAPITRE VI

relations entre les lignes THIGONOHETRIQUES DK DEUX ANGLES DONT l’un est la MOITIÉ DE l’aUTRE.

24. Les formules (32) et (33) deviennent, lorsqu’on y substitue A à 2 A.

sin.A= 2 sin.J A cos. } .4 (44)

cos.A = cos! } A — 9iÏÏ.'j.4 = 1 — 2«in!j A = 2cos* J A— I. . . . (4.‘>)

de la dernière on tire

2slir.*J4=1 — C09.A ou sin. JA . , , , (.til)

2 cos.* J A = t cos.A ouoos. JA=± . . (47)

En les divisant l’une par l'autre, on trouve :

Ung.J A = ± l/'LzfSîA • (W) colang.iA = ± l/i±£2î:^. . (W)

^ 4 ' 4 — cos.A

On peut aussi trouver les Sinus et cosinus de j en fonction du sinus de A : pour cela, on combine les formules

<in.iA-f*cos!)A = 1, Ssin-lAcos. lA nsio.A

En les ajoutant et les retranchant successivement, il vient (sin-iA + co!.! A)* = 1 -fsin.A, (sin. JA— co». JA)* = 1 — sin.A ou gin, J A-f'COS. J Aa.±l/ 1 -j-sin.A sin. iA — cos. JA = ±^^1 — ain.A

sin.JA=d:Jg/l+sin.A±ij/l — sin.A. . . . (50) COS.J A=± Jl<'1 -f-sin.Aip J t/< — sin. A. . . . (54)

Ces deux formules mullipliéesruneparrautre reproduisent (44) comme cela doit être. En effet, le produit des deux seconds membres qui sont la somme et la différence de deux radicaux, est la différence des quantités qui en sont affectées. On a donc :

4 sin. J.\ cos. J.\ = 4 + sin. A — (4 — sin.A)nî sin. A OU enfin sio.Aiesisin. U cos. J A

25. Aux expressions de cosinus A fournies par (45) , on peut encore en joindre deux autres déduites de (48) cl (49) et qui, comme elles, sont fonctions de l’angle moitié. En effet, en chassant les dénominateurs, et élevant au carré, il vient

(44- cos.A) lang.’jA—l —cos.A cos.A(4 4-(iugfjA)«-4 — Ung*.}A,

et enfin eos.A~-~‘*^;*^. • (M)

4 4-tang.JA

de même (4— cos.A)coUng.'jA«»4 J-cos.A

cos.A (44-Mtang!j.4)e= — (4 — cotangljA)

THIGONOHÉTRIE HECTILIGNR.

el par suite

rol«n(;.*}A — < coUDg.^ A-|-1

S6. Nous donnons ici encore, et pour la dernière fois, une démonstration synthétique de quelques-unes des formules ci-dessus, et c’est de (46) et de (47) qu'il s’agit.

Soit agb, fig. 2, l’arc que nous désignons par A et ftÿ = J A; le rayon Ca étant égal à l’unité. Dans le triangle rectangle abd, on a

ab = nd*= Bin?A + (t — cos. A)* = siD.A-|-cos*A-ft — 2cos.A=(l — cos.A)

d’ailleurs la droite ah = 2 sin. ; A, donc :

ou 4 sip.’} A‘=2(4 — cos.A) ou 2 siu!j.A=«t — cos.A. . (46)

Pour obtenir (47) on remplace sîn.*i A par < — côs’ j A. ce qui donne 2— îcM.‘iA=-t-cos.A.

ou enfin 2 cTT.*' A*-t +co» A (47)

27. Ces formules servent principalement à transformer certaines expressions en d’autres plus favorables à la suite des calculs : cependant, pour donner une idée de l’emploi que l'on en pourrait faire, supposons que l’on veuille tirer parti des formules (50) et (51) pour trouver les valeurs du sinus et du cosinus de 50*, on y fera A = 100», d’où

sio.A— 4, cos.A =0.

Alors sin. 50«, ■« V'î et cos.50«=l/î

Pour obtenir les sinus et cosinus de 25', nous supposerons A “ 50», et les formules deviendront