CHAPITRE VU
RÉSOLUTION DES TRIANGLES (RECTANGLES ET OBLIQUANGLEs).
28. Dans un triangle rectangle on a, en prenant Ca I, fig. 3, <ri=sin.C,Ci=cos.C,aP= tang. C, et à cause de la similitude des
triangles, a : e ; 6 : ; 1 sin.C I cos.C, d’où — n’
^ c’est-à-dire e,z=b tang.C, c — a sin.C, b = a cos. C et
par suite b = c cotang. C; n = c coséc. Cj <i= ù séc. C.
29. Si dans un triangle quelconque ABC, fig. 4, on abaisse la perpendiculaire BD, il sera décomposé en deux triangles rectangles qui donneront BD = a sin. C = c sin. A.
d’où « ; c sin a : sin.C (5*)
Cette propriété, dont jouissent les sinus, d’élre proportionnels aux côtés opposés, peut encore se démontrer directement.
Soit ABC, fig. S, un triangle auquel on circonscrit un cercle dont le centre est en O, point de rencontre des perpendiculaires élevées sur le milieu des côtés. De ce point comme centre et d’un rayon égal à l’unité, on décrit une nouvelle circonférence dans laquelle on inscrit un triangle A'B'C' semblable à ABC : on a alors la proportion
Bc : AC : .AB :: b'C' : a>c' : a'B' ;; j b-c : j v'C' : j a'B'
mais } nr.' = sin.î fl'OC'= sin.A' =. sin. A :
de même J A'C'=»5in.B ni j A'B' = sin.C
donc enfin BC ; AC : AB ;; sin.A ; sin.B : sin.C (S5)
Nous avons posé j B'OC' = A' : en effet, ces deux angles embrassent le même arc de cercle entre leurs côtés et le premier a son sommet au centre, tandis que celui de l'autre est situé sur la circonférence.
TRI(;0.'(0MliTRIE RECTILIGNE.' 23
30. Si dans le triangle ABC, (ig. 4, on désigne par h la hauteur et par x la portion AD de b, ou a
n»=(i — = + — 2Ax et puisque c* = x« + /i>
= — VfX,
Mais le triangle rectangle ABD fournit x =c cos. A.
donc en6n n» = é»4.oi 2*cf05.A ou C01.A— • • • (M)
Si l’angle A était obtus, la formule resterait la même. La perpendiculaire tombant dans ce cas en dehors, on aurait ;
«t = (/, + x',‘ + A» =. A» + X» 4- A» + 2Ax -= is + f « -f- 2Ax,
Dans ABD, x = c cos. (200 — A)=r — c cos. A, et, par conséquent
o« = A>4-c« — 2Ac cos.A
Cette équation qui, en théorie, détermine l’une des quantités a, b, c et A en fonction des 3 autres, n’est pas d’un usage facile dans l’application. Les formules disposées pour l’emploi des logarithmes étant préférables, leur recherche va être le but des trois paragraphes suivants.
31. Si d’abord la résolution du triangle tend à déterminer un angle au moyen des 3 côtés, on peut combiner ensemble
sin.A=i — cos.A et cos.A = , on trouve
— ^ *A«c« — (A«4-f«— g«)«^f2Ac + As4-c»— gi) (ÎAf- A« — çi4-<,i) 4 A* c* “ 4 A» c* ■
^ UA-t-cj*— a»Ka’ — (6-c)«1 (g-f-A-f-e) (A+ç — g) (g4.ft c) (g+ç
Si l’on représente le périmètre a b -f- c du triangle par2p, sin.A = ± (ip—îa) (3p—îl>) (2/j-2cJ =
Cette formule peut servir à démontrer que les sinus des angles
^4 THIGOKONÉTRIR KECTIl.IGNE.
sont proportionnels aux côtés opposés, car, en divisant les deux membres par a, le coefficient du radical devient et le second membre se trouve symétrique par rapport à a, b, c.
Il est encore d’autres formules au moyen desquelles on arrive à trouver un angle en fonction des 3 côtés.
Prenons la formule (46), et, comme ci-dessus, introduisons la valeur de cos. A, il vient
2 sin! I A = t
cos.A = 1
— n* ibe — 6* — c*4-n* ibe “ ibe
n« — (i — c)« (a-f-ft — c) (fl+c — b)
ibe “ ibe
Divisant par 2, extrayant la racine carrée et faisant a-4-ô-t-c=3p.
t^/[ip-ic) [ip-'ib)=,-±\/[p-b){p-T) . . (56) '6c '6e
De même au moyen de (47)
rn..IA=+t \/p(p-~) . (56)
V bc ~ ^ 6c '
Le produit de (55) et (56) multiplié par 2 reproduit (64) comme cela doit être en vertu de (30).
Si, au contraire, on les divise l’une par l’autre, on trouve
Ung.} A — ± \/ (p— 6) (p — c) ' P ip—a)
32. il pourrait arriver que la combinaison des quatre éléments a, 6, c et A n’eût pas pour but de déterminer l’angle, mais l’un des côtés. Supposons que l’on veuille trouver a, côté opposé à l’angle donné ; on substitue à cosin. A son équivalent
1— 2sin’iA dans (|1 = 6« + C*— 26CC0S.A
ce qui donne 0*«=6»-|-c»— 26c-f46csin*. 1A = (6— c)*-(-46csiQ!{ A =
46e»in.^^A essentiellement positif, puisque ô et c sont des
lO— CI*
TRICONOMÉTRtE RECTILIGNE.
quantités positives, et que les autres facteurs sont des carrés : on peut alors l’assimiler au carré d’une tangente et écrire
. îsin.J A,
. tang.1>°- Y
Cette formule donnera ^ en fonction de quantités connues; puis substituant dans l’expression de a on aura :
a = (6 — c) ^ 4 -J- laii(ç.’ Ç = (é — c) séc. Ç.
On aurait pu de même remplacer cos. A par 2 cos. J A — 1 et l'on serait arrivé à un résultat analogue. La quantité que l’on vient d’assimiler à une tangente se trouvant alors affectée du signe — , on l’aurait égalée au carré d’un sinus ou d’un cosinus,
et le binéme 1 — ^ se serait trouvé remplacé par un
cosinus ou un sinus au lieu d’une sécante.
On peut encore résoudre ainsi qu’il suit :
On sait que
cos. A = cos.* J A — sin.*^ A cl t =cos.* jA-f-sin.*! A.
Dans «* = 6* + — 26c cos. A, on peut multiplier 6*-|-c* par
l’équivalent de l’unité, et remplacer cos. A par la valeur indiquée ci- dessus, il en résulte
a* = (è» -f c*J (cos.* J A-fsin.* J A) — îAc(cos.* J A— sin.* i A) =
(é— c)*c^.*iA+ A=(6-c)*cSr*lA jt-f (|i'^*iïïïg.*JAj (89)
Si l’on fait
lang. ^ A=:Ung. 9. on a, a=(é — c)cos.i ^séc.^, et le problème est résolu.
Enfin si l’on voulait 6 en fonction de a, c et A (la marche est la même si c est l’inconnue), on trouverait de suite C par la proportion des sinus ; B, en retranchant A -1- C de 200', et enfin b en faisant usage encore de la proportion des sinus.
33. S'il s’agit de résoudre un triangle dans lequel on connaît
deux odtés et l’angle compris, en désignant les données par a, b, C, on trouve au moyeu de la proportion
sin.B Wn'.b,
sin. A+ liin.B sin. A — sin.B
on en vertu de (26)
tang.i(A-B)-tâng.J(A + B)
mais A + B-.ÎOO'— C, et taDg.l(A + B)=colang.iC
fl — 6
donc enfin l»ng. i (A — B) ^ cotang. i c
34. Pour résumer ce qui est relatif à la résolution des triangles, nous dirons qu’un triangle se compose de 3 côtés et 3 angles : qu’on peut le résoudre, lorsque l’on connaît 3 éléments, pourvu qu’il se trouve au moins un côté parmi eux. Examinons donc quelles sont les combinaisons 4 à 4 que l’on peut former avec les angles et les côtés.
1” Deux angles et les deux côtés opposés
La proportion (52) résout ces différents cas. Le .3' angle s’obtient en retranchant de 200* la somme des deux que l’on connaît : puis enfin^ c'est encore (52) qui fournit le 3* côté.
2° Connaissant 2 côtés et l’angle compris, résoudre le triangle, les données sont
Dans l’une quelconque de ces 3 combinaisons, la formule (60) donne le moyen de trouver la demi-différence des deux angles inconnus : d’ailleurs, on connaît leur demi-somme, qui égale 100* moins la moitié de l’angle donnée donc on connaît les 3 angles. La proportion (52) donne ensuite le 3' côté.
3” Connaissant 2 angles et le côté compris. Cette circonstance est presque inutilement relatée, puisque la connaissance de deux angles entraîne de suite celle du 3*, et qu’alors au moyen de (52) on trouve les deux côtés.
4° Les 3 côtés étant donnés, il s’agit de déterminer les angles.
On peut pour cela employer l'une des Jormules (54), (55), (56) ou (57).
TRIGOMOMBTniE RECTILIGNE. 27
35. Cherchons l'expression de la surface d'un triangle en fonction des 3 côtés.
On sait que dans tout triangle ABC, fig. 4, en désignant par S la surface, on a
S=\bh; mais /i = C5in.A; donc S = i«csin.A, et en vertu de (64)
On arrive directement au même résultat par la méthode suivante dans laquelle on ne suppose pas connue la formule (64). Puisque déjà S=jôA, il reste à trouver h en fonction des côtés.
La figure 4 fait voir que
A» — i*-=(c-(-x) (c — x) et j:=c. cos.A substituant dans cette dernière expression celle de cos. A fournie par la formule (53), on trouve x — —
qui, introduit dans la valeur de A*, donne, après avoir réduit au môme dénominateur.
[(4+o+a) (A+f-fl) {'a + c-A) («+*-«)]
représentant, comme plus haut, le demi-périmètre parp A — I P (p-«) (P-C)
et enfin, en substituant dans l'expression de S,
