CONSTIDCTION DES TABLES DE SINUS, COSINUS, ETC

36. On cherche une formule qui donne le sinus d’un arc quelconque en fonction des sinus d’arcs moindres.

On sait que

sin. (y+a:)+ sin. (y — i) = î sip.y cos.i en faisant

il vient sin. (m-|-î)x-f-siD. mx— îcos.isin. (m + l) x

OU sin. (m + 2) x=2 cos.x sin. (m + 1) I — sin.mx. . . (62)

On donne ensuite à m toutes les valeurs possibles, et l’on obtient ainsi les sinus des arcs de toutes grandeurs : En effet, si l’on fait

on a sin.2x=2 cos.xsin.x formule déjà Connue. sin.3x<=.2 cos.xsin.2x — sin.x.

sin.ix=2 cos.xsin.3x — sin.2x.

sin.5xa^2cos.xsin.ix — sin.3x. .. . etc.

On trouverait de même les valeurs des cosinus au moyen de

cos.(ÿ-f-x)+cos.(y— x)=2cos.ycos.x.

Mais connaissant les sinus, on trouve les cosinus et les autres lignes trigonométriqucs au moyen de (1), (2), (3), (4), (6), qui les lient entre elles.

D’après cela, on voit qu’il est nécessaire de connaître d’abord la longueur d'un premicrsinus.Onsaitque»=»3. 1415926536, etc., représente la demi-circonférence qui a l’unité pour rayon.

Il en résulte que ioo«-i<, 5707963, etc.

Nous allons faire voir que le sinus est toujours plus petit que l’arc et plus grand que l’arc diminué du quart de son cube, c’est-

à-dire A > sin.A> A — ^.11 résultera de là que le sinus de

TRICONOMéTRIB RECTIUCNE. 29

1" ne différant de l’arc correspondant qu’au delà de la 15* décimale, on aura une exactitude bien suffisante en prenant l’un pour l'autre.

■ Connaissant alors les sinus et cosinus de 1", on trouvera ceux de 2", etc,

37. Il reste donc à prouver ce que nous avons avancé; et d’abord démontrons que l’arc est plus grand que le sinus et plus petit que la tangente. En effet, le triangle ATO, fig. 21, est plus grand que le secteur correspondant BTO ; celui-ci est à son tour plus grand que le triangle B'FO.

Ainsi JATxTO>iBTXTÜ>iBSxTO OU AT>BT>SB ou enfin tang.>art>sinus.

Cela posé, écrivons l’inégalité tang. ^ ^

et d’autre par cos.' J, A, il vient

sio.iAcos.i ëôsî|

Multiplions par 2 :

2sin. JA cos.^A OU sin.A>A cos.*{ A OU encore !in.A>A(< — sm.\A)

le sinus étant plus petit que l’arc, on aura à plus forte raison

t — J- J OU sin.A>A— ^ et enfin A >sin.A>A — -J

Au surplus, comme les logarithmes abrègent beaucoup les calculs, on a construit directement, par des méthodes dont nous allons donner quelques notions dans le chapitre suivant, des tables de logarithmes pour les nombres et pour les lignes trigonomé- Iriques.

LOGARITHMES