CHAPITRE IX

THËOBIE DES LOGARITHMES. — CONSTHL’CTION DES TABLES DE LOGA- RITHMES DES NOMBRES NATURELS ET DES LIGNES TRIGONOMÉTRI- QUBS.

38. Le logarithme d’un nombre est l’exposant de la puissance d laquelle il faut en élever un autre pour obtenir ce nombre,

Ainsi dans j/ = a , x est le logarithme de y. Le logarithme vulgaire est celui dont la base est 10. 2 est le logarithme vulgaire

de 100, puisque 100 = 10.

La base a peut être un nombre quelconque, autre toutefois que l’unité, puisque un élevé à telle puissance qu’on voudra donne constamment l'unité.

Le logarithme de la base est toujours l’unité, car, pour que

n =a, il faut que x = \.

Le logarithme de l’unité est zéro dans tout système, et en effet :

jr— » ü . *— « ® ÎL O

« *; =« =ri; mais , =4, donc a =-= 1

a fl

Soit y =»aou jt=Ly. Si a>l, a; croissant depuis zéro jusqu'à l’infini positif, le nombre y croîtra de l’unité à l'infini positif ; si X décroît de zéro — x, y décroît depuis l’unité jusqu'à zéro :

car soit x = — x' (a;'>0) on a y=zu = a = -jr et x deve-

nant — x, x' devint -f- x, de sorte que y se réduit à zéro. C’est dans ce sens que l’on dit que le logarithme de zéro est l'infini négatif.

La somme des logarithmes de deux nombres est égale au logarithme du produit de ces deux nombres. En effet, prenons

If '»

P = a et q = tt , nous aurons,

<p '» 'H-'r ‘Fl ,

/'X7=nXa==a > mais pXV=a donc lp-\-lq=l.p')(.q.

LOGARITHMES

Nous voyons de même que

— =a et parce que ^

il résulte que = /p — /y .

Nous pouvons conclure que /p» =î/p, /p» = 3/p, etc. en effet /p>»/p x p=/p+/p»=i/p : /p»W fpXpXp)“ ^p+^p+^p^^./p, etc. De même car /p-./(j/pxk'p) — i/P'p et /j/p=j/p.

L’avantage des logarithmes vulgaires dont la base est 10 est que, connaissant le logarithme d’un nombre, on a celui d'un nombre 100, 1000, etc., fois plus grand en ajoutant 1, 2 unités, etc., au logarithme donné, et que de même, si l’on retranche 1, 2, etc., de ce logarithme, le résultat correspond à un nombre 10, 100, etc., fois plus petit.

39. Pour arriver à la construction des tables, on cherche d’a-

bord à développer v ou a en série et, pour cela on remplace a par 1 -h (a — 1), on a alors, en se servant du développement du binôme de Newton (livre 2, chapitre IV, §§ 65, 66, 67).

On voit qu’en ordonnant par rapport aux puissances de x, le développement sera de la forme

(î) a = I -t-Ai-f Ba:«-f-Cx‘-|-Dj* + ; etc.

Il faut déterminer les coefticients A, B, C, D, etc. Pour cela, mettons x en facteur cnminun à tous les termes qui suivent l'unité dans le second membre de (1) et nous aurons

Si nous faisons x>=o dans les crochets, il y restera évidem-

LOGARITHMES

ment les quantités qni doivent, dans le développement, former le coefficient de la première puissance de x

donc A=;n— I)— i(«— <)*+. etc. . • (3)

Pour trouver B, C, etc. , remarquons que pour élever y — a k une puissances), il faut multiplier l'exposant x par tn, c'est-à-dire

que y = a .On pourrait donc, d’une part, remplacer dans la série a: par mx, et de l’autre l’élevcr à la même puissance par les procédé ordinaires ; égaler les deux résultats, puis entre eux, les coefficients des mêmes puissances de x (§ 70). Nous allons suivre cette marche, et comme le fait a lieu, quel que soit m, prenons le chs le plus simple, celui où m = 2. 11 viendra d’abord en remplaçant x par 2 x, dans (2), '

tBx«-l-8Cr»-ftGDi*-l-elc. i

puis n »=< -f- Ax-fBx*-)- Cx»-f-Dx<-l-, etc.

multiplié par

a -1- Ax-f Bj* -f Cx* -f Dx< -f- , cIc.

c’esl-à-dire

ix4-B lx«-|- Cx»-

-fA« -fAB