Pour faire voir que la somme des 3 côtés est moindre

TRir.ONOMÉTRIfi SPHÉRIQUE. 47 \

qu’une circonférence, soit ABC le triangle et AB D, AGI), les deux demi-circonférences dont les côtés ô et c font partie. Nous venons de voir que toujours a < BD + CD : ajoutant do part et d’antre ô + e, il vient a-j-&-t-c<;ô-f-6 + BD-t- CD. Le second membre de l’inégalité vaut une circonfércBce, donc a -J- b-f-c <400*.

Il est évident que b 4- CD = 200* et c -f- BD = 200 , car les points A et D appartiennent à l’intersection des deux plans, et cette intersection est un diamètre qui partage en deux parties égales les circonférences auxquelles il appartient. •

51. La somme des 3 angles est toujours plus grande que 200* et plus petite que 600* : en effet, an moyeu de la pyramide supplémentaire, l’inégalité ci-dessus se transforme en celle-ci :

îeo- .V' + iOO — C'+ ÎOO — B' <400 600‘ -(A'-f B'4-CO<400 et enlin A’ + B'-f- C'> ÎM.

Ce qui est démontré pour l’une des pyramides l’est également pour l’autre. Comme il est évident que chaque angle est plus petit que 200', il s’ensuit que la somme des 3 est moindre que 200*.

52. Examinons actuellement les différents cas d’égalité des triangles. De même que les rectilignes, les triangles sphériques sont égaux entre eux, étant tracés sur une même sphère ou sur des sphères de rayons égaux, lorsqu’ils ont :

1“ Les côtés homologues adjacents à 2 angles égaux, égaux;

2“ Un angle égal compris entre des côtés égaux ;

3* Les 3 côtés égaux ;

4° Mais de plus, ils le sont encore, quand ils ont les trois angles respectivement égaux chacun à chacun, en supposant toujours qu’ils sont tracés sur des sphères de même dimension; sinon ils seraient seulement semblables.

1“ A = D, C = F, 6 = e. Les côtés b, e {fig. 9) étant égaux en longueur et de même courbure, peuvent se superposer de manière que leurs extrémités coïncident ; de plus, f s’appliquera sur c, puisque A=D ; d se placera de même sur a, parce que C=F : ils se couperont donc en un même point, et par suite tous les côtés et les angles seront égaux.

2" A = D, b = c, c=f. L’angle D étant égal à l’angle A, les côtés adjacents pourront se superposer, et leurs extrémités coïncideront, parce qu'ils sont de même longueur. E tombera donc

48 TRIGONOMÉTRIE SRHÉRIUUE.

en B el !•' eu C. Les côlés a et d, qui joignent ces points, se confondront, et, dans ce cas encore, l’égalité des triangles est évidente.

3° Démontrons que les triangles sont égaux lorsque les 3 côtés le sont, c'esUà-dire qu’alors les angles le sont aussi; et pour cela envisageons les pyramides qui ont leS triangles pour bases et leurs sommets aux centres des sphères.

Des points AetD (/ig. 10) abaissons deux perpendiculaires sur les faces opposées et par ces lignes faisons passer des plans perpendiculaires aux deux arêtes qui aboutissent aux deux autres angles des triangles. Ils couperont les faces des pyramides suivant des lignes dont l'inclinaison entre elles mesurera les angles dièdres. Le problème est ainsi ramené è démontrer que

.VGM => blN et AUM =■ Dk.N.

Les points A et D étant deux sommets homologues des triangles, AP= DO comme rayons de deux sphères égales. Les angles plans APG, DOl sont égaux puisqu’ils sont mesurés par des côtés de triangles donnés égaux : donc les triangles rectangles AGP, DOI sont égaux et fournissent AG = D1, GP = 01.

On trouverait de même, au moyeu des triangles APH, DCK, que AB=DK, PH = OK.

Les quadrilatères PGMH, OLNK seront égaux par la raison qu’ils ont les angles en Pet en O égaux compris entre côtés égaux, el les angles G, H, L, K droits ; nous aurons donc GM=1N, MH=>'K. Si maintenant nous considérons les triangles AGM, DliN, nous voyons qu’ils sont rectangles eu M el N, puisque AM et DN, normales aux deux faces opposées à D et A, sont perpendiculaires à toutes les droites passant par leurs pieds dans ces plans : ces triangles ont eu outre les côtés AG = ID, GM= IN, donc ils sont égaux, donc AGM = D1N : et enfin les angles dièdres des pyramides ou les angles correspondants des triangles sphériques sont égaux aussi.

De là, el au moyen de la pyramide supplémentaire, on tire cette conséquence, que deux triangles sphériques sont égaux lorsque leurs angles le sont. Supposons en effet que l’on ait

Substituons les valeurs de ces angles déduites des relations des pyramides directe et supplémentaire : il viendra

TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQL'E. 49

et par suite a' — d\ 'b’ = e’, c'=p : donc les cùlés des triangles qui servent de bases aux pyramides supplémentaires sont égaux, quand les angles des triangles donnés le sont. Par suite, les angles A', B', C' sont égaux à D', E', F' et enfin, en substituant à ces angles leurs équivalents

î00-a = 200 — d, etc. OU simplement a = d, 4 — e,

53. Deux triangles symétriques sont équivalents en surface. On dit que des triangles sont symétriques lorsqu’ils ont leurs côtés égaux, mais placés les uns par rapport aux autres, de telle sorte qu’ils ne peuvent pas se superpo.ser. D’abord la démonstration précédente pouvant s’appliquer également à la circonstance particulière que nous considérons, il en résulte que ces triangles ont aussi les angles égaux. Cette conséquence se tirerait encore de ce qui suit. Pour mettre en évidence l’égalité de leurs surfaces, faisons passer un petit cercle par les 3 points A, B, C de l’un {fig. 11) et opérons de même par rapport au second triangle A'B'C. Si, par les centres de ces petits cercles, on élève des perpendiculaires à leurs plans, elles perceront les sphères en des points P, P’, qui seront les pôles de ces petits cercles et conséquemment à ^ale distance des sommets de triangles. Imaginons les arcs de grands cercles PA, PB, PC d’une part, et P'A', P'B', P'C de l’autre, tons égaux entre eux. Ils divisent les triangles donnés, chacun en 3 triangles partiels, qui sont égaux et superposables : en effet, les triangles ABP, B'A'P' sont égaux comme ayant les 3 côtés égaux chacun à chacun : ils sont isocèles, donc les angles BAP, ABP, B'A'P', A'B'P' sont égaux. Dès lors nous pouvons placer ces deux triangles l’un sur l’autre, l’angle A'B'P' couvrant BAP. De la même manière, les triangles APC, A'P'C' : donc enfin deux triangles symétriques sont égaux en surface. Ajoutons que les deux angles en lesquels ont été décomposés chacun de ceux des triangles proposés, étant égaux, les angles homologues A et A', B et B', C et C' le sont aussi.

64. On démontre en géométrie élémentaire qu’un fuseau est mesuré par son angle. La surface du fuseau NPMQ {fig. 12) sera donc exprimée par

M étant son angle et C un coefficient constant, mais dépendant du genre d’unités employées dans l’expression de M.'

Pourlrmivor la valeur de ce coefficient C, considérons un eus

50 TRIGONONÉTRIB SPUÉBIQIE*

parliculier dans lequel la surface est connue, par exeuple celui de la demi-spbère, qui n'est autre qu’un fuseau dont l’angle est égal à deux droits. On aura

mais " rapport de la dcmi-circonfércncc au rayon est égal à deux angles droits,

donc c=>ir* et p(U)»er<u.

Pour que cette formule soit homogène, il faut que le second membre qui représcutc une surface soit du 2* degré, et que par conséquent M suit un rapport.

55. Un angle n’est, en elTet, qu’un rapport, celui de l’arc au rayon; mais si on exprimait ainsi les angles, l’idée qui en résulterait serait souvent confuse, et on a cherché à les exprimer en fonction d’une unité jouant pour les angles le rôle qui est joué par le mètre dans la mesure des longueurs. De là est née l’idée du grade, de la minute et de la seconde antésimales, comme celle du degré, de la minute et de la seconde sexagésimale.

On comprend de suite que les formules dans lesquelles entrent des angles ne peuvent pas être indépendantes du choix de l'expression de ces angles. Il est souvent indispensable de remplacer un angle que le problème a présenté sous la forme de rapport, par son expression en grades, en minutes ou en secondes, et vice ver.id.

Soit ~ un angle donné par un rapport.

Désignons par 1" le rapport qui mesure l'angle de l"et proposons-nous de savoir combien l’angle ^ contient de secondes. Il suflQra de remarquer que l’angle “ contiendra autant de secondes que le rapport qui le mesure contiendra de fois le rapport qui mesure l’angle de U'. Il sera donc exprimé par un nombre de secondes égal à «

r * ^ r sin. 4*^

TtUGONONÉTRIB SPHÉRIQOE. 31

si on remarque que la seconde et sou sinus sont assez peu dilTérenls pour pouvoir être confondus dans tous les calculs. La deuxième expression a l’avantage de rappeler qu’il s’agit d'un rapport.

Pour transformer un angle donné en rapport, en un nombre correspondant de secondes , il suffit donc de le diviser par le sinus de 1

Le même raisonnement indiquerait que pour obtenir ce m,êoiO angle en grades ou en minutes, il faudrait diviser le rapport qui le représente par le rapport qui représente le grade ou, la minute.

Réciproquement si l’on a besoin de passer de l’expression d’un angle donné en grades, minutes ou secondes, à son expcess^n en rapport, il faudra multiplier par le rapport qui représente le grade, la minute ou la seconde.

66. 11 est souvent utile de connaître la surface d’un triangle sphérique, enlr’autres cas en géodésie. L’examende la figure 13 fait voir que la demi-spbère est égale à la somme des trois fu-r seaux dont les angles sont ceux du triangle, diminuée de deux fois la surface de ce triangle j ce qu'on peut écrire :

} !ph. = F(A^+F(B) + F{C)-2Tr.

Le paragraphe 54 nous a appris à connaître la surface d’un fuseau. Âppliquons-en les principes au cas actuel, et nous aurons

ÎBr« = 2r» (A + B-PC) — 2T T = r» (A+B-I-C-t)

' A, B, C sont exprimés en rapport, comme l’est, du reste, le double angle droit, par ir.

La différence A -|- B -|- C — it est ce qu’on appelle l’excès sphérique. Le plus habituellement les angles étant connus en grades, minutes ou secondes, l’excès sphérique est exprimé de la même manière.

Supposons que A'B G' soient les nombres dè grades contenus dans les angles A, B, Ç; il faudra passer de la connaissance de ces nombres A B G' à celle des rapports A, B, C.

Mais nous savons par le paragraphe 55 que

rnp|i. 1 •

5â TRICONOMIÈTRIE SPHÉRIQUE.

Il s'ensuit que A+B+C=(A'4-B'+C')X<*

et que la surface du triangle peut s’écrire

Mais renferme 200 fois le rapport qui représente le grade ;

donc T = r» 1« (A'+B'+C' — 200)~r« U s

e =A' + B' -f C' — 200 est ici l’excès sphérique exprimé en grades.

Les triangles géodésiques ont toujours de très-petits excès sphériques qui, pour cette cause, sont habituellement écrits en prenant la seconde pour unité.

Dans ce cas, l’expression de la surface sera

T— »r* sin.l" e"

expression à laquelle on arriverait directement , comme nous l’avons fait pour le cas précédent, ou que l’on peut déduire de ce cas, en remarquant que si au lieu de l'excès sphérique e donné en grades, on met sa valeur en secondes e", qui est 10000 fois plus grande, dans l’expression

Ts r> Oc

il faudra diviser par 10000, ce qui donnera

g m mtt

toooo

r% 4 II »>«

T I» r* iic.t" e".