RÉSOLUTION DES TRIANGLES SPHÉRIQUES
67. Nous avons vu que troisdes six éléments d’un triangle sphérique étant connus, on pouvait déterminer les trois autres. Cherchons donc les formules qui, établissant des relations entre quatre
TniGONOMÉTIUI-: SPHÉRIQUE. S3
éléments d’un triangle, permettent de déterminer l’un d'eux en fonction des autres. 11 faut trouver les relations essentiellement distinctes qui existent entre les six éléments combinés quatre à quatre. Ces combinaisons, qui sont au nombre de quinze, se réduisent à 4 cas différents. (Nous verrons plus lard, à l’occasion du binôme de Newton, que le nombre de produits de m, quantités prises quatre à quatre, est égal à ~ j ^ ~ ~ ici
m=6, ce qui donne 15.)
1° Deux angles et les deux côtés opposés
2* Trois côtés et un angle
3° Trois angles et un côté
4* Deux angles et deux côtés
58. Pour trouver la formule qui lie entre eux deux angles et les côtés opposés, nous allons employer la pyramide directe et supposer scs trois faces rabattues sur le plan de l’une d’elles KOK' (fig. 14). Mettons en évidence tous les éléments développés dans ce plan. Considérons un point de l’aréte dans l’espace, dont la projection sera M. La distance de ce point que nous supposons
l’un des sommets du triangle, au centre O de la sphère, sera R ou
l’unité. Par la perpendiculaire abaissée de ce sommet et aboutissant en M, imaginons deux plans respectivement perpendiculaires aux- arêtes OK et OK'. Les traces MKG, MK'G' seront en même temps les rabattements des intersections des faces de la pyramide par ces plans ; si actuellement nous opérons un nouveau rabattement, celui des deux plans autour de leurs traces MG et MG', le sommet opposé à la face KOK viendra en C et en C : les droites CK, C'K'" seront égales à GK, G' K et les angles A et B seront la mesure des deux angles dièdres ou des angles correspondants du triangle : CM sera de même longueur que C M, puisque tous
84 ntTGOITOMÉTRIB SPHÉRIOCB.
(ieux représentent la perpendiculaire abaissée d’abord sur là face KOK^.
Dans les triangles CMK, C'MK', on a
CM = CKsin.A et C'M =» CK' siu.B.
Mais
CK>aGR ■>G0 5in.i»i R sin.6, CK' :=3G'K' = G'Ü sin.a^K sia.a donc enfin B sin.A sin.fc = R sin.B sin.a
OU simplement sin.A sin.fc= sm.B sin a (1)
ce qui nous apprend que, dans up Iriangle sphérique, les sinus des angles sont proportionnels aux sinus des côtés opposés. Cette relation, analogue à celle qui existe dans un triangle rectiligne, est toute préparée pour l’emploi des logarithmes.
59. 2“ Pour trouver la relation entre trois côtés et un angle, nous nous servirons de la même figure, en y ajoutant les deux droites ML, KT parallèles à QK, MK . Nous allons, pour simplifier et comme nous ferons à l’avenir, supposer que OG et ÜG' rayonsde la sphère sur laquelle est tracé le triangle, sont égaux à l’unité. Nous avons, dans la démonstration précédente, négligé cette convention pour faire voir que la formule a lieu, quel que soit le rayon. Dans ce cas, OK = cos.a.
Décomposant cette ligne en ses deux parties OT et TK', nous trouverons dans le triangle OTK rectangle en T, que OT=OK 'cos.c, fnais OK = cos.ô, donc OT cos b cos.c. Ensuite, puisque *TK - LM comme parallèles comprises entre parallèles, nous pouvons écrire, en remarquant encore que les angles MKL, KOT, sont égaux, comme compris entre des lignes respectivement perpendiculaires
TK'«=KM siD.c; mais KM =KC cos.A = GK cos. A=sin.i cos.A. donc TK' = siD.ê sio.c COS.A
et enfin cos.a>=cos.i cos.c -|-sio.isiü.ccos.A {i)
'60. 3“ Cette formule donnera de suite la relation entre trois angles et en côté au moyen de la pyramide supplémentaire : car en substituant à A, a, b, c leurs valeurs, il viendra
COB. (SOO — A')-=cos.{ÎOO-B')cos. (400— CO+sin.
(?00-B')sin.(400— C') cos. f200-o')
TRIGONOMÉTRTE SPRËRIQfJE . 55
Les cosinus des angles supplémentaires sont égaux et de signes contraires, tandis que tes sinus, égaux aussi, sont de même signe : donc eu supprimant les accents,
— cos. A =* C0S.8 cos.C — sin.B sin.C cos.o (3)
61. 4“ Il reste à résoudre le 4» cas, dans lequel il faut combiner deux angles et deux côtés, l’un opposé, l’autre adjacent: A, B, 6, c, par exemple.
C’est encore aü moyen de la figure H que nous allons trouver la formule.
Pour cela, considérons le triangle OKT, dans lequel
KTcaCMC sin.C ou KT^eos.6 sin.c
puisque OG représentant le rayon de la sphère, le triangle OKG fournit bien OK=cos.ô.
Décomposons actuellement KT en ses deux parties KL et LT, 4{ti«no3is allons apprécier en fonction des quantités qui doivent être mises en évidence et combinées entre elles pour résoudre le problème.
£L=:KM. COS.C ••KG. cos. cos.c=: sin.i. cos.c. cosJt LT=MK's=Cnt'. cos.B — sin.a. cos.B fionc KT ou COS.A sin.C => sia.6. cos.c. ros..A-|-sio.A. cos.B
ou, en divisant le tout par sin.b,
. I • Il O
COl.O Sin.C = COS.C. COS..\ + — T COS.B
sio.o
Ne devant laisser en évidence que h, e, A, B, il faut éliminer sin.a au moyen de sa valeur sin.ô ce qui donne pour relation finale entre les données
cot.6. sin.C» cos.c. cos.A -f-sio. A cot.B. .... (4)
Cela peut encore se déduire de la formule (2) ou plutôt de cos.fc= cos.tt. cos.c + sin.a. sin.e cos.B, dans laquelle on introduit A et l’on élimine a; substituons-y, pour cos.n, sa valeur
COS.A. cos.c-f-sm.A sin.c. cos.A
56 TRIGONUHETKIË SPHÉRIUIE.
et pour sin.a, son équivalent sin. 6 il viendra successivement
roa.A^cos.A. cos.c-(-siD.6. ain.c. cos.r. eos.A-|-sin.a. sId.c. cos.R cos.i 9iQ!c->sin.6. sin.c. cos c. cos.A-j-ain.a. sin.c. coj.B
divisant tout par sin.c,
eos.6. sin.c •‘asin.6. cos.c. cas.A-f-sin.a. cos. B OU cos.A. sin.c*=sin,6. cos.c. cos.A-f sio.6. sin.A cot. B
et enfin cot.Asin.c>acas.c. c«s.A-(-sin.A.cot.B (4)
Telles sont les quatre formules générales propres à la résolution des triangles sphériques. La première seule n’a pas à subir de transformation pour être résolue par logarithmes. Les autres doivent, dans la pratique, être modifiées ou remplacées par de nouvelles, suivant les circonstances particulières qui se présentent.
62. Modifions les formules générales pour le cas où le triangle à résoudre est rectangle.
Puisque la somme des trois angles d’un triangle sphérique est comprise entre 200' et 600*, il s’ensuit qu’un triangle peut avoir un, deux et même trois angles droits ; mais nous n’aurons à nous occuper que du premier cas. En effet, s’il est bi-rectangle, les côtés opposés aux angles droits sont égaux entre eux et au quart de la circonférence : sa surface est la moitié de celle du fu.seau dont l’angle dièdre est mesuré par le troisième côté, puisque
S = r«(A + B-|-C)— iti» se modifie en S = r»(A+lxr-f Jitr) — itr>=Ar*
Si, parmi les éléments connus d’un tel triangle, il n’entre pas l’angle A ou le côté a qui en est la mesure, le problème est indéterminé, c’est-à-dire qu’une foule de solutions satisferont à la condition des deux angles droits auxquels sont opposés deux quarts de circonférence.
Si le triangle est tri-rectangle, les trois côtés sont égaux au quart de la circonférence. Quant à sa surface, clic devient
S = r(jiitr-|- Jxr) — icr* ou S=^'i:r«;
mais 4 r* exprime la surface de la sphère entière, donc celle du triangle en est le huitième.
En supposant A = 100* on a sin.A= 1, cos.A = 0,
TRIGUNOMémiK SPHÉRIQUF. S7
la première formule devient
O ■ 1 ’iP'*
sin.a sm.B vsin.o ou sin.a= -r — -
sin.B
c’est-à-dire que le sinus de l'hypolhénuse est égal au rapport de ceux de l’un des côtés de l’angle droit et de l’angle opposé.
La deuxième, se réduit à cos.a=cos.i cos.c.
Elle indique que le cosinus de l’hypothénuse égale le produit de ceux des deux autres côtés.
La troisième devient cos.a = coiang.B coiang.c.
La quatrième enfin cotaDg.a^acosio.Broiang.c.
Ces quatre formules ne sont pas les seules que l’on puisse déduire des quatre ou du moins des troisième et quatrième. 11 est indifférent que, dans la première, ce soit A ou B qui vaille 100*, puisqu’elle est symétrique par rapport à ces deux angles. La seconde ne renfermant que A, n’éprouvera aucune modiûcalion dans l’hypothèse de B ou C droits.
Supposons actuellement B= 100», l’équation (3) deviendra
cos.Aosin.Ccos a et l’équalion (4) rotang asin c = colang. A.
Pour les pouvoir comprendre dans les mêmes notations que les précédentes où a représente rhypolhénuse et A l’angle droit, changeons dans les deux dernières A en B, a en b, et écrivons
cos.Bss«»in.C COS.4 et coUng.6 sin.mcolang.B.
Il est inutile de supposer C= 100», puisque la troisième équation fondamentale est symétrique par rapport à B et C, et que C n’entre pas dans la quatrième.
Rapprochant ces formules, nous avons donc pour la résolution des triangles rectangles :
1 sin.a Xs'n.B = sin.6. * colang.a = ro9.B X <'0l»><g.r.
2 ros.a = cns A X C09.C. 2 cos.B = 9in.CX cos.A.
2 co».a = col.BXtot.C. * cot.ang A sin c=colang.B.
Nous remarquons que, composées de facteurs seulement, elles sont favorables à l’emploi des logarithmes. C’est parce motif que nous nous en servirons bientôt pour trouver de nouvellesformules relatives à la résolution des triangles obliquangles.
TRIGONOMÉTRIE SPHERIQUE.
