CHAPITRE III
RECHERCHE DES FORMULES PROPRES A LA RESOLUTION DES TRIANGLES A l’aide DES LOGARITHMES.
63. Les formules générales réduisent à quatre cas distincts les quinze combinaisons que produisent quatre à quatre les six éléments d’un triangle. La question n’est plus aussi restreinte, lorsqu’il s’agit de la résolution réelle et pratique : quand on veut faire usage des logarithmes qui, comme on le sait, abrègent et facilitent beaucoup les calculs,
t» La formule (1) résout indistinctement le problème, quelle que soit l’inconnue a, b, A ou B.
Le second cas (a, b, c et A) donne naissance à quatre pro- 'blèrties: l’angle en fonction des trois côtés; le côté opposé à l’angle en fonction de cet angle et des deux autres côtés ; enfin l’un oû l’autre de ces deux côtés en fonction des trois autres quantités.
Résolvons le premier et pour cela reprenons la formule (2) de laquelle nous tirons
cos. A
Cds.n — cns.6 X ens C siii.6 X sin.c
11 s’agit de réduire le numérateur du second membre à n’être composé que de facteurs. L’artifice de calcul que l’on emploie consiste à ajouter runilé aux deux membres de l’équation, ce qui donne, en réduisant au même dénominateur
1 4-cos.A
gin. A sin r-1- cos.n — cos. A cos c sia. il sin.c
cos.o — eus, (A-fc) sin.A siu.c
la trigonométrie rectiligne nous a donné
l+cos.A = îcos.*lA et cos.g— cos./)=Î5in.} Qi-j-y) siii. J 'p — ç)
donc en comparant qàaetpà b -t- c
cos.* i fi sin.if&+c-a)
' sin.6 sin.c
Cette formule résout le problème. On trouve de même en retranchant de l’unité les deux membres de (7)
. . a . « 1 (6 — c) — fü5.Û
4— C08.A*sÎ sin.* î A ^
sih./a siu.c
3 sin. I [«-!-* -'•1 Bin. 1 («4-c — t) sin.iiX sin.c
Ed divisant sin. J 5 A par cos.* ; A et extrayant la racine carrée, on trouve
tang.i A =
stii.'t (<14- i — c) »in.4 (a-t-c — 6) ain. 6 -j-c) sin. J(6+c — a)
Il semblerait qu’il y a surabondance dans la rechercbe de trois formules qui amènent à un même résultat, Indétermination de A, si l’on ne remarquait qu’il faut passer par les deux premières pour arriver à la troisième, et que celle-ci est préférable aux autres, parce qu’elle convient, quelle que soit l’amplitude de l’ang^le. Si l’on se reporte à la marche que suivent les sinus et cosinus desarcs, on observe que ces derniers étant très-petits, les sinus varient rapidement, tandis que les cosinus successifs sont sensiblement les mêmes : c’est le contraire pour les arcs voisins de 100*. Dans le premier cas, on ne saurait employer les cosinus ddnt la différence n’est sensible à la septième décimale du logartlbme que pour une variation assez notable de l’arc. Dans le second cas, c’est l’emploi du sinus qu’il faut rejeter, tandis que les tangentes croissant de plus en plus rapidement de 0 à 100* conviennent toujours.
On pourrait encore alléguer, comme motif de la préférence accordée à la formule qui détermine un angle par sa tangente, que les logarithmes des quatre sinus qui entrent sous le radical serviront également, ^i l’on vent, à trouver chacun des trois angles du triangle, en permutant ensemble trois d’entre eux , c’est àdire en les faisant passer alternativement au numérateur et au dénominateur.
64. Malgré la préférence que nous accordons à la formule qui détermine un angle par sa tangente , il nous parait convenable, pour compléter le sujet qui nous occupe en ce moment, d’indiquer la formule qui donnerait l’angle A lui- même par son sinus,
Pour y arriver, nous trouvons successivement
*m. A= 1 — cDs..\ •= I — I
cos.n — COS.6 X cos.c\2
(I — coji AiX / .
siii ôXsiii.c / V
sin. 6 X sin.e COS.17 — CO». 6 X fOit.cV
sin.4X=in.c
TRIGONOMETRIE SPUÉHIQGK.
(sin.6x «in.c-t-cos A X coi.c—ent.n) (siii.ftXsin.c— cos.t Xfos-c+cos.a sm.6 X
(cos. (6 — f) — cos.a) (cos.o — cos.(é+c)]
sin.o X »o.c
4sin. } — c) sin-Kn+c — A) sin. J (6+c — a) sin i (n + é+c)
ITT — 1 sin.o Xoin.c
et enfin
sin. A =
sin. 6 X sin.c '
\/ sin. J (a -f A — c) sin. 5 (n + c — A) sin. J (A+c — a) sin. J (a-(- A-(-c)
Celte formule aurait pu également se trouver en fonrtion des valeurs de sin. i A et cosin. \ A, et d’après ce que l’on sait que
sin. A = 2 sin. } A cosin. J A
Si l’on divisait de part cl d’autre par sin. a, le second membre devenant symétrique par rapport à a, b, c, il en résulterait que le rapport entre les sinus d’un angle et du côté opposé étant constant,
on aurait ^ q^J ^ précédemment dé-
montré.
65. Passons à la détermination de a en fonction de b, c et A, et pour cela, imaginons par le sommet B (fig. 1.5) un arc BD perpendiculaire au côté h ; désignons-lc par x et part/ la partie AD de b. Le triangle proposé se trouve ainsi partagé en deux autres rectangles qui vont nous permettre l’emploi des formules qui leur sont relatives. La formule ? nous donne ici
co3.« = co5.x cos (A — ÿ) el cos.c= cos.iXcos.y
tirant la valeur de cos. a; de la seconde pour la substituer dans la première, celle-ci se change en
cos. (A — ;/) cos O — cos.c '
COP. y
Pour déterminer y, nous avons, en vertu de la formule*
cotans c=»col8iig.ÿ cot. A ou lang.y = tang.c cosiii.A
e et A faisant partie des données du problème, y se trouve déterminé par sa tangente, et peut être introduit dans l’autre équation, qui donne ainsi n en fonction de b, c cl A.
L’ensemble de ces deux équations fournira de même b en fonction de a, c, A, puisque la seconde donnant toujours y, la première peut s’écrire sous la forme
cos. (6— y) =
cos.fl cos.y cos.c
Enfin, on pourra encore les employer pour obtenir c, en permutant 6 et c : ce qui revient à supposer que la perpendiculaire a été abaissée du sommet C au lieu de B.
66. Vient ensuite la combinaison de a, b, A et C qui donne aussi naissance à quatre problèmes différents
A en CoDclioD de a,h,C b o,A,C
La formule Ç des triangles rectangles donne dans BD.A (fig. 15) cüls»g.A=colaiig.i sin.ÿ el dans BDC, iolang.C = colang.x sin.(i — y)
La valeur de cotang.x tirée de cette dernière et introduite dans la précédente la ramène à
colang. A = coUng.C - — r
sin.(A — y)
Nous avons d'ailleurs dans BDC, en vertu de l’équation t colang.a = ro3.C oolang. (b— y).
De celle-ci ontireb — y et conséquemment)/, on a donc ainsi A.
Ces deux équations servent également à trouver b , connaissant a. A, C, car de la seconde on tire b — y en fonction de quantités connues : on substitue cette valeur dans la première et l’on trouve b, puisque l’on a y et 6 — y.
Pour les troisième et quatrième combinaisons, abaissons de l’angle C la perpendiculaire CD' ou x'sur le côté c, et désignons par y* l’angle BCDC Nous aurons, en vertu de *, dans BCD',
colaog.a— colang.Æ' cos.y' d’où cotang.a
et dans ACO' cetaDg.AiBcolang.x' cas. (c-f-y')
. , cos.y'
=» cotaog.o jTT-'f — r
cos. (C -P y')
Le triangle ACD' fournit encore en vertu de 3,
ros.A colang..! cot.ing.(Cq-y')
Si c’est a que l’on cherche, on tire de cette formule C-i-y', et
62 TRIGONOMÉTRIE SPUÉRIÜIE-
puisque C est une des données du problème, on connaît y', puis i
on substitue y' et C — y' dans la première formule. Si enfin C e^t I
l’inconnue , la seconde donne C 4- y' que l’on introduit dans la première. Celle-ci résolue par rapport à y ' permet d’en retrancher la valeur de C y' et donne C. !
67. Il ne nous reste enfin, pour avoir passé tout en re\Tie, qu’à |
nous occuper des quatre combinaisons d’un cAlé a et des trois angles A, B, C. Nous allons, pour cela, reprendre les formules qui lient entre eux trois cètés cl un angle, et les transformer au moyen de la pyramide supplémentaire. Ces formules qui lui sont applicables, aussi bien qu’à la pyramide directe, sont dans ce cas :
. .cos.fA' — v)
cos.a'=co8.c' —, col.c' lai)g.v = cos.A'
cosy ’
li.ng.}A'= \/ i
" sm. i'-t-c'j sin. i (6'+ c'— a')
Nous savons que
A'=200~a; o'=îOO-A; 6'=200— B; c' — SOO-C, il s’ensuit que
laDg.^A'=tang.|(200 — a) = laDg. ^100 — colang.^ a j
sin.i (a'+ i'-cO = sio.i [*00 - (A+B— C)] =» I
ain. (tOO— -cosiD.nA + B-C) |
deméme sin.4(a'-fc'— (A+C — B) :
tin.J (6'4-c' — a')«= cos.i (B-|-C— A) |
et 5in.i(a'+4f+c0=»>'>- (sOÛ- =. + coa.J (A+B+C)
Ici nous devons faire une observation relative au signe 4- que nous plaçons devant cos. -f B 4 C). Les sinus des angles qui dépassent 200‘ sont négatifs ; mais A + B -j- 200 d'où il ré-
sulte que .tOO — J (A -|- B -t- C) < 200‘ et qu’ainsi le sinus doit être positif.
Effectuons actuellement les substitutions, et il viendra
r«,ang.i«= j (A + B- C) oos.j (A4 C -Bl
cos.J (A4B4CJ co9.i(B4C-A)
TRIGOaOIIÉTRIE SPRéRK)V8. 6Ô
Quant aux deux autres formules, elles deviennent
cos. (200 - A) = cos. (200 - C)
, et col.(200— C) = cot.ycos. (200 — a)
d’où *— co3.Aa=coB.C et COI.C-" col.t/ cos.a
cos.y
68. Il existe encore quatre formules remarquables par leur élégance et leur symétrie, qui sont aussi employées dans certaines circonstances que nous allons énoncer. Ce sont les analogies de Neper. Elles servent : 1" dans les cas où connaissant deux célés a 6 et l’angle compris C, on veut déterminer A et B; 2“ lorsque l’on connaît A, B, c et que l’on cherche a et b.
Dans le premier cas, pour trouver les trois éléments inconnus du triangle, on chercherait d’abord A au moyen de deux formules de la première combinaison de la troisième série ; puis, au moyen de A, a, b, on trouverait B j et enfin c en fonction de C, A, a par la proportion des quatre sinus. Les formules dont nous allons nous occuper dctermincut à la fois  et B par leur demisomme et leur demi-dilférence. Reprenons
(2) co?.a = cos.6Xco3-r + sia-é X sio.cX cos.A
et ses homologues
cos.6 = cos.a Xcos.c + sîn.fl X sin.c Xro'-B cos.cncos.a X cos.6-(- sia a X sin.A X cos.C
On trouve successivement, en substituant dans la première la valeur du cos. c fournie par la troisième et effectuant les réductions
cos,a=»co5.a Xcos.6-l-?in.aX cos. 6 x sia.4 cos.C-f- sin.6 sio.c cos.A
C03 a(t — cas 6) = cos. a sin.*6 =sin.n cos.A sio.A cos.C + sin.A sio.c cos.A
(a). . . , cos.A sio.c =» cos.a sin.A — sin.a cos.A cos.C
En combinant la seconde et la troisième on trouve de même
(y9). . . . cos.B sio.c»» cos.A siu.a — COS.A sin. a cos.C
et en ajoutant
(a) et (/9) sio.c (cos.A -f-cos.B) = cos. a sin.A-f-sin.a COS.A — cos.C (cos.a sin.A-f- cos.A sin.a)
THIGOMOMliTRIE SPHtRÎQÜE..
ce qui revient à
(TK ■ • ■ sin.c(ro<.A+fos.B) =’(4 — cos.C) sin.(/i+ é )
De sin.csin.Ac3i lin^ sin.C et sin.csiu.B»sin.6sin.G
on tire en les ajoutant et les retranchant
sin.c(sin.A+sin.B)r=8in.C (sin.a-|-sin.i} (S)
sin.c(sin.A— sin.B)3ssin.C (sin.a — sin.c) ((]
Divisons (8) par (y), puis (s) par (y), et nous aurons
siii.A-4-sin.B sin.C (sin.a -f- sin.fe) r,os.A-}-cos.B (1— cos.C) (siu.(a-|- i)
sin. A — sin.B sin.C (sin.a — sin./<)
cos.A + cos.B (1 — cos.C) sin. (n -|- A)
Les formules (IG) et (18) de la trigonométrie rectiligne transforment les premiers membres de ces deux équations en tang. î(A -f H) et lang. î (A — B). D’autre part , nous pouvons , pour simplifier les seconds membres, remarquer que
sin.c = 2 sin. JC cos. JC f{ t — cos.C >= 2sin.» JC,
ce qui donne, en remplaçant en même temps, les somme ou différence de sinus de a et b qui entrent aux numérateurs
lang. J (A-l-B) =
tang. J{A — B)33
îsin. J Ceos.JC X 25iii.J(a-l-6) cos. J (a — A) î siii.J C X ain.(a-|- A)
2 sin. cos.JC X2sin.J(n — A) cos.J («-f-A) 2sin?JC Xsin.(n-)-A)
Mais sin. (o -f- b) peut aussi être remplacé par
îsin.J (a -J-A) cos.J (<J-|-A)
donc, en faisant cette substitution et toutes les réductions
lang. J (A-l-BJ—col.J C
cos.J (g — A) cos.J (a-f- A)
lang. J (A — B) col. }C
sin.J(a — A) aiii.J (o-|-A)
L’emploi de la pyramide supplémentaire donne les deu.x autres formules analogues
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TRtCONOIléTRIE SPBÉRIOUB. 65
Ung J(A+B)=laDg.l[40O— (a'+6')]=tang.[î00— l(a'+4')]=— tang.Ka'+tO
cotang i C= col.J (ÎOO - c*)— cot. (400 — Jc')=.lang.ie' cos.l (a — i) = co3.i (B' — A /)= cos.l [ — (A' - B')] — cos.l ( A'— B')
COS.1 (a + 6)=cos. [200— i(A'+B')] = — COS.1 (A> + B')
Subslitaantdans la formule tang. i (A -|- B) = etc. , etsupprimant les accents
lang.Ko + 4) = Ung.Jc
coa.i(A — B) cos.î(A+B)
On trouverait de même
tang.|(a— 4)=lang.}c
sin }(A — B) sio.)(A-f B]
Telles sont les quatre formules connues sous le nom d’analogies de Neper.
69. TABLEAU DES FORXULES PROPRES A LA RBSOLDTION DES TRIANGLES SPHRRIQÜES.
Formules générales.
A.B.a.4 (4) ain.A sin.A = ain.B ain.a.
a.b.c.K (2) cos.a = cos.6 Xco9.c-f-ain.6 X'Sin.cX coa.A.
A.B.C.a (3).. . — cos A=»cos Bxcos.C — sin.Bxsin.CX coa.a. A.B.a.c (4) cot.osin.c=cos.cX cos.B-fsin.B Xcol.A.
Formules relatives aux triangles rectangles.
1 sin.aX sin B=sio.& i cot.n = cos.BX col.c
2 co9.a = co5.éX cos.î s cos.Bs=sin.C X cos.4
3 cas a—cot.Bx col.c 6 cot.Ax siii.c=col.B.
Formules gui résolvent tous les cas que présentent les triangles
sphériques.
iA....a. A. B 1
) sin.A Xsin.6=isin.B sin.a A... .a. b. B (
b.... a e. A ) co9.n=.cos c cotang.casnolang.y cns.A
cos y
n.6.e lang.lA= i/'sin.t(n+ A-.ç),
’ siii.J (j-[*4 + c)siD J(é-l-c — n)
Uiiig. Ax-lang.C .. - laDg.(6— ÿ)
lang.A lang.(C+y')
sin.y
cos. (C + v') Ung.BX ■
cos.y'
> taag.A cos.A.
Ung.aX^^-C
df A, B. C
— cos. A
cos.C
cos.y
colang.C=cotang.y cos a
I / cos.t fA4- B — C) cos ^ fA + C — B) coUng.ia= y cos.J (A+B+C) cos }(B+C-A)
Analogies de Neper.
A et B„..a.A.C
, , COS.4 la — b)
t.ng.l(A + B)=cotang.ï C
. « sin.i (a — 6)
ung.i (A-B)=col«Dg.àC^.„ î^^^^-jj
I, , , , , cos-i (A — B)
tang.l (a + 6)=tang.l c ^^;Ÿ(Â+B)
, ,, , aiiil{.A — B)
tang.i (a-6) = lang.lc -;j(X+B)
70. Il est une méthode de résolution des triangles sphériques qui n'exige pas comme la précédente l’emploi d’inconnues auxiliaires. Nous allons exposer succinctement cette méthodequi aura l’avantage de familiariser avec un genre de considérations qu'il est utile de connaître.
Les quatre analogies de Neper, jointes aux trois formules
sin.A sin.B .sin.C sin.a sId.A sin.c
lang.tA*- V/ sin.^ (n + A-c) sin-t (o + c-A) sin-i (a+A+c) sin.} (A-f-c— a)
cotang.Ja= \/ (A + B-U) cos.^^A + C-B) ' cos. { (A + B-f C) cOi. J tB+C — A)
permettent de résoudre tous les triangles sphériques.
Les quatre cas d’égalité précédemment indiqués, dans chacun desquels figurent trois éléments des triangles indiquent qu’un triangle n’est défini que lorsqu’un donne trois de ses six éléments.
TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQl E. 67
On verra plus loin que ces six Élénicnls peuvent <Hre combinés trois h trois de façon à donner 20 comluiiaisons différentes; mais la similitude des rôles joués par chaque côté et de ceux joués par chaque angle réduisent ces 20 cas à six essentiellement distincts.
Ces six cas se résument de la manière suivante :
4° a,i, c. 2°q6â 3° aie
3» ABC 4»ABa 6* A. B. a
Passons-les successivement en revue :
1“ Résolution du triangle dont les trois côtés sont connus. — Chacun des angles sera déterminé successivement par la formule
laiig.4A= iX* 6in t(a+i-c)ai»-f (n+c-ft)
' sm.J (a+ A + c) biD.i a)
Le signe -f- du radical conviendra seul, car chaque angle de> vant être < 200‘, la tangente de sa moitié devra être positive.
La valeur numérique de la tangente qu’on trouvera ainsi répondra à deux angles différant de 200*, mais dont un seul conviendra, puisque , A < 100».
2* Résolution du triangle dont on connaît deux côtés et l'angle opposé à l'un d’eicx.— Les données étant a h A, on trouvera d’abord B par la proportion des quatre sinus
. „ sin.A. sin.A
«in.B =• ^
sm.a
A la valeur de sinus B fournie par cette équation , répondront deux valeurs de B supplémentaires l’une de l’autre, convenables également toutes deux, quant à présent du moins.
Pour déterminer le troisième angle C, on se servira d’une des analogies deNéper,
cot. J c »tang.} (A+ B)
cos.j (o + A) cos.J (a — A)
dans laquelle on substituera, outre les données, successivement les deux valeurs trouvées pour B. Chacune d’elles donnera une valeur correspondante de col. î C ; mais observons que { C < 100* doit avoir une cotangente positive 11 pourra se faire que les substitutions des deux valeurs de B, conduisant pour cot. } C,
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68 TRIGONOMitTRIE SPHÉRIQUE.
soil àdeux valeurs positives, soit à une seule positive, soit à deux négatives, donnent lieu à deux solutions, à une seule ou à aucune.
Enfin, la dernière inconnue c sera déterminée par la formule
sin.C. sin.a
qui fournira autant de valeurs pour sin.c qu’on en aura trouvé pour C, c’est-à-dire. 2, 1 ou 0.
Chaque sinus ainsi trouvé répondra à deux angles supplémentaires satisfaisant également à 1a condition c <C 200*. Cependant un seul de ces angles contiendra un triangle. Pour s’en assurer, il faut retourner à l’analogie
Ung.} c=t«ng.t (a — *)
iin.l (A+B) sin.J (A —B)
ou à son analogue.
Cette formule fait voir que chaque valeur de B n’en donne qu'une seule de tang. J c et comme J c < 100», il n’y a lieu de prendre qu’un seul angle.
Quand rien n’aura pu faire connaître à l’avance la valeur approchée de c, il faudra agir comme nous venons de l’indiquer en dernier lieu, quoique l’application de la formule des quatre sinus soit plus simple que celle de l’analogie.
En résumé, le cas actuel pourra fournir deux solutions, une seule ou aucune.
3* Résolution ihi triangle dont deux cotés et l’angle compris sont donnés. — On connaît a, b, C. Les analogies de Neper feront connaître tang. ; (A -)- B) et tang. j (A — B), et par suite les deux angles j (A B) et l (A — B). Les tangentes répondent, à la vérité, à deux angles différant entre eux de 200», mais observons que chaque angle étant compris entre o et 200*
[O <1(A+B)<200». — tO0«<}(A-B)<t00*
ce qui précisera celles des valeurs convenables pour j (A -f- B) et UA-B).
La dernière inconnue c sera donnée par
sin.c =
8in.C«in.a
sin.A
La valeur de sin.c ainsi trouvée répondra à deux angles sup-
BINâMK DE NEWTON. 69
plémentaires paraissant convenir également, mais dont un seul pourtant appartiendra au triangle. Pour s’en assurer, il faudrait, comme dans le cas précédent, retourner à l’analogie de Neper
qui pour un seul système de valeurs de A et B, n’en donne qu’une de c.
En résumé, ce troisième cas ne donne lieu qu’à une seule solution.
Il nous resterait trois cas à examiner, ce sont ceux analogues aux trois que nous avons étudiés, dans lesquels les cètés remplacent les angles, et réciproquement.
La grande analogie des rôles joués par les côtés et par les angles fait que la marche à suivre serait identiquement la même. Aussi, sans les examiner en détail, nous indiquerons seulement les résultats auxquels conduiraient ces trois derniers cas.
Les trois angles connus — A, B, C. — Ne donne lieu qu’à Une solution.
5® Deux angles et le côté opposé à l’un d’eux — A, B, a. — Peut fournir deux solutions, une seule ou aucune.
6° Deux angles et le côté compris — A, B, c. — Ne donne qu’une solution.
Observons que les l"’, 3% 4* et 6* cas, qui ne donnent lieu qu’à une seule solution, sont précisément ceux d’égalité des triangles sphériques,, ce qui confirme l’existence de ces cas d’égalité. Quant au 2' et au 5", ils peuvent quelquefois donner naissance à l’égalité, ce qui a lieu lorsque les données sont telles qu’elles ne fournissent qu’une seule solution ; mais cette égalité n’existe pas nécessairement lorsque deux solutions sont possibles.
