BINÔME DE NEWTON
Le coefficienl du troisième ternie peut s’écrire sons la forme
PI (m — (n — I) pi(m-j-n — (m + n — <)
Le coefficient du 4* terme en a* de f (m + est
[m + n) (m -P n — I ) (pi + n — 2)
Celui du 4* terme, en a’ aussi, dans le produit de f(m) par^(n) est
PI (pi — <) (pi — 2) . Pin (pi — I) P (n — t) . n (n — iHo — î)
OU, ce qui revient au même,
PI (pi — 4) (ni — 2) . 3.PPI (m 4- P — *) . p (n — 4) (n — 2)
Si l’on fait les multiplications et réductions convenables dans ces deux quatrièmes termes, on arrive au môme résultat
pi»..pns +3 nin(m + n) — 3 (p!*+n*) — 6 fnn+2 (pi+n)
donc /•(m)/-(n),= 4+(m+p)^+^'"~*'"’ 1.+. . . z"^
Et l’on voit que le second membre se peut déduire de (3) en changeant m en m -I- n. Donc enfin f (m) f(^n)=z n). Si
l’on remplace n par n-4-p, on aura de môme f (m) f{n) f(p) = et ainsi de suite. Supposons que l’on répète cette opération pour un nombre a de fonctions semblables , et que de plus m = n — P = etc., on aura [/'(m)]* — f(ina).
a est essentiellement entier et positif, mais m est toujours quelconque : on peut faire »n = il viendra alors (fb) =
(1 -4- «y : car b est entier et positif. Extrayant la racine n des deux membres, f = (1 + 2);.
Nous avons d’ailleurs posé comme point de départ
f{m) ou = t + ^^ -+ « ') z* + cU.
b\n()me de newton. 75
Donc enfin
Supposons maintenant qne m soit négatif et égal à — n, on aura /■(m+n)=/(m) transformé en /-(-«) /(n) =/•(«-«) =.^(0)
or de la formule
/(m')=4 + »i'z+. . . +i’', on tire /(m0=< enfaisant m/ = 0. donc
/■(-*) ou /-(-n)—
Il est ainsi démontré que, quel que soit m, on sera en droit d’écrire
(t +z )"-4 + mz + + etc.
Il est cependant nécessaire de faire quelques restrictions provenant du mode de démonstration employé pour les deux exposants négatif ou fractionnaire. Cette démonstration repose sur l’essai de la multiplication de f {yi) par f {n), essai qui s’est effectué en considérant les premiers termes seulement. Il n’a plus été question du nombre de termes du développement et de l’ordre des puissances de z. Si m est l’exposant entier de la puissance , il y a m 4- 1 termes , el le dernier renferme z”. Mais, lorsque m devient négatif ou fractionnaire, les exposants des puissances de Z augmentent toujours de l’unité et n’atteindront par conséquent jamais m. Le nombre des termes deviendra infini, dans l’un comme dans l’autre cas.
La série formée par le développement n’aura donc de signification utile que lorsque les termes iront en diminuant, ou lorsque Z sera petit, et elle ne deviendra même d’un usage commode que lorsque z sera très-petit. Supposons qu’il en soit ainsi et voyons comment on pourra utiliser les premiers termes du développement, dans les cas qui se présentent le plus habituellement.
Lorsque z sera très-petit, scs puissances supérieures à la première deviendront négligeables, quelle que soit du reste la na-
turc de l’exposant tn, en sorte qu’on pourra se contenter de prendre
(t +î)'“ < + mz.
Ainsi (1,00008/ — 4,00056.
résultats formés à simple vue.
On formerait également d’une manière très-simple
On rencontre souvent une expression de la forme qu’il
est avantageux de transformer en un produit. On arrive très-simplement à ce résultat, en multipliant haut et bas par 1 qza, ce qui donne, en supposant a très-petit
A (4:^ a) 4 jp a
(4 ±a) (4 ipa) 4 —a*
Att+a) •
en négligeant n? au dénominateur.
La loi du développement du binôme conduit à ce même résultat en permettant une approximation plus grande, si elle est nécessaire. En effet
expression d’où l’on tire = A (4 + a), si a est suffisamment
petit.
73. Dévelop)iemenl m séries des sinus et cosinus en fonction de l’angle. — Nous aurons souvent besoin du développement en séries du sinus et du cosinus en fonction de l'angle. Pour en trouver la forme, il est nécessaire de faire voir d’abord que
(cosA-j-V^ — 4 sin A)'" = cos.mA -f- V* — 4 sin.mA.
Pour cela effectuons le produit de
cas. A + 4/-4 sin.A
par COS.B+ V - 1 sin.B , ce qui donne
cos. A cos.B-|-V^ — 4 (sin.A cos.B + sin.B cos.A) — sin.A sin.B — tos.(A+ B) + — I [sin. (A+B)]
Si A= B, alors ^
(cos.A 4- V — < sin.A)* a-cos.SA-j- V — I sin.îA.
11 est facile de voir que cette propriété continue à se vérifier pour lesautres puissances. En effet, faisons 2A= P et multiplions
cos.P-f- V — I sin. P par COS.C+ V — 1 sin.C.
Il viendra, comme plus haut
cos.(P+C)-f-v/~siu. (P+C)
puis en faisant A = C et rétablissant 2A au lieu de P
(co3.A-|- — I sin.A)»=i cos.3 A+ — I sin. 3 A.
Démontré pour le carré et le cube, on peut, en généralisant, écrire
(cos A+ y/ — < sin.A)' = cos.niA4- V^— 1 sin.mA.
Telle est la formule de Moivre, de laquelle nous allons déduire les séries que nous nous sommes proposé de trouver. Si nous développons la puissance wdu premier membre suivant la formule du binôme de Newton, il s'ensuivra que
jA+ V— 1 sin.m A = cos. A -t-m y/— 1 sin.A I
-sin.* A cos. A -y/' — 4 sin.*A cos. A +
H ^ '■ 2~3~4 sin. *A cos. A-|-etc.
Toute équation telle que celle-ci, renfermant des quantités réelles et des quantités imaginaires, ne peut exister qu’autant que les quantités réelles sont égales entre elles, et qu’il en est de même des quantités imaginaires.
Ainsi , pour que tn-t- n =p -i- q soit vrai , il faut que m = p etn=:g, puisque l’on en tiret» — p=(? — n) V— 4 ou en élevant au carré (m — p)* = — (q — »)*• Des carrés sont toujours positifs : cette équation dernière renfermera donc une absurdité toutes les fois que l’on n’aura pas m = p, n=q.
D’après ce principe, cos.mA doit égaler Ions les termes réels du second membre, et sin.»«A tous ceux qui sont affectés du signe V^T. Cela nous donne donc
cos.mA— cos. A ^ ‘ sid.*A cos. A +
— » 3 4 ^ ‘ sin.<A cos. A— etc.
sm.m A omsin.A cos. A^ 7-3-5 sm.*Acos. A+
: a sin.» A cos. A — etc
Nous pouvons ici remplacer sin. A par son équivalent cos.A, lang A. La raison qui nous conduit à cette transformation est que la somme des exposants du sinus et du cosinus étant la même pour tous les termes, tous ensuite contiendront cos. ""A qui pourra être mis en facteur commun.
cos.mA
" /, m(m — 1) mfm — 1)(m — 21 (m — 3)
=cos. A^t — - tang.sA -t TïTl lang.«A—
!»■ *.) f"» - S) „ng.6A-f etc.)
sin.mA=«cos. A lmt.ing.A Tôt ‘tang.*A-l-
.s A — etc.^
Or, n’ayant pas jusqu’ici assigné de valeur particulière à A, DUS pouvons faire wiAz:
mules, elles deviennent
nous pouvons faire wiA = x oum=T : substituant dans les for-
COS.X«a C09.
sm.xsa cos.
.= A fîu.,,A-îiHiil!lu....A +
Réduisons les facteurs des coeflicicnls de tous les termes au même dénominateur et nous aurons
f, l'i— A) taoK.* A ,
C03.X«=COS.aAM 2 ‘ — j;; 1-
I (i — A) (x — 2A) (x — 3A) tang.AA . \
3iB.x,c,.î A ( X (X- Aj (X- 2A} ^
X (x— A)(x— 2A) Çx— 3A) (x— *A) tang.SA \ 2.3.*.6 A* '"7
Ces deux formules doivent avoir lieu, quel que soit A; nous pouvons ainsi lui donner une valeur particulière , sans êter à x sa généralité ; supposons donc A=0 et voyons ce que devient le rapport de la tangente à l'arc.
On a vu, dans la trigonométrie rectiligne (37 ) que 1 et |^<1. Cette dernière inégalité peut, en remplaçant sinus par son équivalent cosinus X tangente, se mettre sous la forme arc> cosinus X tangente ou < — - — . Cela a lieu quelle
que soit la valeur de l’arc : au moment où il devient nul, le cosinus est égal à l’unité ; les deux limites se confondent, et pour que ce que nous venons de trouver ait encore lieu , il faut que
tang.O»
arc.O» —
Cela posé , les formules qui développent sinus et cosinus deviennent
X» . xS
s.o.x-x-5:5+j5^-etc.
et
'0”““*=’- Y+ixroxo
+ etc.
74. Nous plaçons ici une démonstration des mêmes formules par le calcul différentiel, afin que l’on puisse comparer les méthodes.
Remarquons que le développement d’un sinus ne peut contenir de terme indépendant de l’angle, puisque celui-ci étant nul, son sinus l’est aussi, et qu’il entre eu terme qui est l’unité dans
néVELOPCEMENT DES SINUS ET COSINUS.
le (léveloppeinenl du cosinus, par la raison que l’angle élant égal à zéro, le cosinus est runilé. Nous pourrons donc écrire
(I) sin.Π= Aj: + Bx + Cx + etc.,
(ï) cosiDU3x= I + A'x + B'x +C'x +cle.
différenciant ees deux équations, il vient
cos.or </x « aAx dx-^-bUx .</x + cCr (/x + filc,
— sin.x </x»oa'A'x rfx+A'B'x rfx+c'C'x dxq- etc.
et en divisant de part et d’autre par dx
(3) ros.x=oAx + 4Bx + cCx + clc.
,1-1 »i i ff i
(4) — sin.x=a'A'x 4- A'B'x + c'C'x + etc.
Nous pouvons égaler les valeurs de sinus x fournies par (1) el (A) de iiu'nic que celles de cosinus déduites de (2) et (3), ce qui donne
a h C af—t è#— I I
Ax + Bx 4- Cx + etc. — a'A'x — 6'B'x — c'C'x —clc.
1 4" A'x 4- B'x 4- C'x 4" etc. = oAx 4” 4Bx + cCx 4- etc.
Pour satisfaire à la condition d’égalité qu’indiquent ces équations, il faut exprimer que les coefficients et exposants de x dans les termes de mémo rang sont égaux entre eux. 11 faut donc, en nous occupant d’abord des exposants, que
a=a' — t, b — b' — i, c—c'— t, a — < = 0, i — 1 =a', c — 1=4', d’où fl = 1, 4=3, < = 5, a' = 2, 4'=4, c' — 6, clc.
Égalons actuellement les coefficients, nous aurons successivement
A = -a'A',B = — 4'B',C=-c'C',clc., t = «A, A'=4B, U'=cC, C'=dD, clc. d’où il suit que
, , ,, A 1 „ ^ 1.ni I *
DÉVELOPI'KMENT HRS SINUS RT COS1N1 B.
(•I Ohlin en subslitiiant dans (1) et (2)
5UI..Ï — .r —
JV
