ri.ü

.os.n.r = I - + 5^- ^^3^ + elr.

7â. Après avoir indiqué la méthode précédente, pour donner une idée des ressources qu'oITre le calcul différenlicl, nous donnons encore une démonstration par celle des coelficients indéterminés, comme exemple d’un procédé usité en beaucoup de circonslances, et que nous a\ons déjà employé dans la construction des tables de loparilhines.

Pour développer sinus x, observons, d’abord comme plus haut, qu’il ne doit pas y avoir dans la série de terme indépendant de l’arc, puisque le sinus devient nul en même temps que l’arc Dans le cosinus, au contraire, le premier terme est l’unité , puisque x=0 donne cosin.= 1. De plus, le développement du sinus ne doit contenir que des puissances impaires de x, et celui du cosinus que des puissances paires, par la raison (|ue, pour des arcs égaux et de signes contraires, les sinus sont aussi égaux et désignés contraires et les cosinus égaux et de uièuie signe.

Les développements seront donc de la forme

(I) sin.x=^ ,tx Ej-S .^clf . (î) ros.x«=1 + bx* -f

Ils formeraient, réunis, la série complète

I Ax-|- Bx« -f Cx»-f- Ox< 4- Exî -f- plr.

Un cliercliani les valeurs des coellicienls A, B, G, etc., leurs signes seront en même temps déterminés , et nous serons assurés (|ue toutes les puissances de x entreront dans les deux développements, si nous ne trou\ons aucun de ces coelUcienls égal à zéro.

Prenons les deux formules

sin. (x-f A) = sin x ciM.A-f-siii.A cosin.x. ros. (x-|- A)=i:os.x cos. A — siii.x sin. A

Cl substituons les valeurs de sin.x et cos.x fournies par les formules (I) cl (2), ainsi que celles de sin./i et cos./i, que donneni les mêmes formules, en y mettant h au lieu de x ; il vient alors

(.3) sin. (x-fA)=(Ax-|-Cr5 4- Exi-f-olc ) (t

(A/t + KW + clc.) (I -} lU «4- lu < 4 fil-.)

(4) ••os.(x + /i) = (l + + (l4-BA<4-D*M-''‘«-) —

(Ax K'** ) ( A/l + CA* + EA* +

.Si dans (IJ et (-2) on rcmplaee x par x+ h, on trouve

(b) sin.(x+A)=- A (x + A) + C (x4-A)*+E (x+A)»+ etc.

(li) cnsdx+A)=1+ll(x + A)* + U(x + A)**t-F(x+A)6+elc.

Les équations (.^) et (5) fournissent deux expressions différentes de la même quantité sin. (x -j- /i) ; nous pouvons donc égaler entre eux les seconds membres et en faire autant de (4) et (6) : il vient alors en développant les différentes puissances du binôme x-i-ô et ordonnant par rapport à h

Ax 4“ A A 4“ de. , , is .

. . . Ax 4- A A4-dc.