dc. -i-dc

-j-etc. — etc.

Lorsque deux polynômes égaux contiennent les mêmes puissances d'une quantité, il est nécessaire que les eoetlicienls correspondants soient égaux entre eux, si cette quantité peut avoir des valeurs quelconques : en effet, prenons une équation de la forme

A ' -J- B 'y + C y -I- etc. = A "-1- B"y + C"J(« 4- de .

dans laquelle y seul est variable : quand j/ =: O, on a A' = A". Uelranchons ces deux quantités égales des deux membres et divisons le tout par y, il en résulte

B'-|-C'y-|-etc.»B''y-f-C'ty-j-etc.

ce qui exige encore que B' =• B". Il en est de même pourC/ etC", ainsi que pour tous les coellicientsqui suivent. Il eu résulte donc, en égalant les coelBcients de la première puissance de h, que

A 4- 3Cx* 4- 4- df •=• A 4- ABx* 4- ADx* 4“ 'Ir •

cl iBx4-4Dx*4-6FxS4-elc.= -(A«x4- ACx»4- AHri4-etc.

et, par la même raison

4B= — A»; 3C = AB; 4Ü=-AC; 5R== AD, de.

DKVELOPPEMF.NT DES SINl'S ET COSIXI S.

d'où enfin

,, -A» AB -V» -AC +A« Al) + M

Substituons ces expressions dans les séries qui représentent siu X et COS..C

,i,..x-Ax- 5^ .4-Hr,

cos.r*- I — ^ +

Pour déterminer A, divisons les deux membres de lu première formule pur x, ce qui donnera

tin.x

et comme elle doit être vraie, quelle que soit la valeur de x, elle doit être satisfaite encore lorsque x=0, et, dans ce cas, elle se

réduit à A. Nous avons trouvé, à la fin du paragraphe 7.1,

que (loue A = I et les formules se réduisent à

sin.x— x-^ + i.5“i.3.4.5.6.7"*‘‘’‘' ‘

• os.x— ~^ + îj4“4.3.i5.G

+ elr.

Ces deux séries ne donnent le développement rignuieux des sinus et cosinus en fonction de l’angle qu'autant qu'on prend tous les termes qui sont en nombre infini. Elles ne pourront évidemment être employées qu’autant qu’on pourra se borner à prendre un petit nombre de termes, ce qui n’aura lieu que lorsque l’angle sera très-petit.

76. Application des théorèmes de Taylor et de Maclaurin. — Héries diverses. — Le calcul différentiel, dont il a été donné un exemple direct au §74, donne les moyens d’arriver promptement aux développements de séries quelconques. Quoique ce genre de calcul soit étranger au plus grand nombre des personnes qui auront à chercher des renseignements dans cet ouvrage, nons;i!|(,i,s exposer succinctement la marche générale à suivre, ( eux (jui u'en pourront pas suivre les détails trouveront du moins l’indication

g4 DÉVF.LOPPEMF.NT DES SIXL’S ET COSINES.

(ifi séries autres que celles des sinus et cosinus, séries dont on peut avoir besoin , même alors qu’on n'en saurait pas découvri' la inarche soi-même.

Le calcul dilTérenlicl est riche des deux théorèmes de Taylci et de .Maclaurin ; le premier se résume dans la formule

dans laquelle y représente f (x), et i/', y' , j/"'.... sont les dérivées première, seconde , troisième ou les coeHicients diffé-

rentiels du 1" ordre, du 2* ordre.... de f (x).

Le théorème de Maclaurin, qui n'est qu’une conséquence de celui de Tajlor, se résume de môme par la formule

f «“AW+f r («H- O r (»)+ 7^ /""(»)+

f{o), f* (o), r' ('0 étant les valeurs particulières de la fonc-

tion considérée f{x), et de ses dérivées première, seconde, troisième lorsqu’on y introduit l’hypothèse x= o.

L’usage de ces deux théorèmes conduit rapidement aux principales séries en usage.

Développement du sinus. — Appliquons te théorème de Maelauriu

/•(x) = sin.x donne immédiatement par lu différentiation

P (x)=M r.on.x, p> (x)=^—sin.x, /■"' (x)—- cos x

L’hypothèse x=o conduit à

/•(«)— sin.o™ O, ^ (o) — I, f» (o) = », f"(o)= — I,

I,a substitution dans laformulede Maclaurin donne de suite

“ÏT3+t.î,3.4.8

Développement du cosinus. — On a successivement

/■,x) = cos.x, /•''X)— siii.x, P' (x)= — cosj:, ^"(x) = sin.x, pi't[x)^coi.x f{o)r^t,P[o), \p'{o)=-{, pn{o)^o, pm{o]^\

et ia substitution donne

OÉVi:LOI>PtXENTS EN SERIES. 8o

D^teloppemmt de la tangente, — L’application du même théorème de Maclaurin donne

/■ [x)=Ung.x, P'M

'isin.x

cos.*x'

8 co6,»x-|-6sin.»x cos.'x

L’hypothèse x.— o conduit à

qui, substitués, donnent

l,„gx=x+-3+— -H—

Dérploppnitml de V exponentielle e‘. — | Toutes les déiivées sont égales à la fonction cllc-ménic

L’hypothèse x = o donne alors

et l’application de la formule de Maclaurin donne

Déreloppement de l' exponentielle a”. — On a successivement

f (x) — a , P (x) = « log.B, P' (x) = o log.»o, P" {x)rc« log.»o. . . . ,

le logarithme de a étant pris dans la base e.

L’introduction de x = o dans ces diverses dérivées donne

/■(®)—L P (o) = log.o, P' (a)f=log.>o, P" (o).-=log.>a

et la substitution conduit de suite à

•*—t +x log.fl-l-^ +

Déreloppement du logarithme en fonction du nombre, — Le théorème de Maclaurin conduit à un résultat dans lequel les termes sont l’infini positif et l'infini négatif, ce qui ne fait rien

DEVËLOPPENENTS EN SEIlIBS.

connaître, ll faut remonter à l’emploi du théorème de Taylor, (loiil nous transcrivons de nouveau l’expression algébrique,

f (x+A)= f (x)+r (X) ;+ /» (X) + r" w rïâ

Au lieu d’y supposer a; =ro, ce qui conduirait au théorème de iMiiclaurin, posons x = 1, nous aurons

Le cas à traiter actuellement est celui de la fonction logarithmique népérienne ; cherchons-en les dérivées successives.

/•(x)= log.x, /-/(x)-!,/» (x,=-^, r' r""

L’introduction de l’hypothèse * = 1 donne à ceji dérivées les valeurs particulières

dont la substitution dans /"(l -1- h) donne

Le changement de signe de h donnerait

Le développement d’un logarithme pris dans la base a se déduira des précédents en multipliant par le module M, qui représente le logarithme de e pris sur cette base a.

log. (I±A)=. ±A — — ±— — ^

. XM

Vous soinnies arrivés à cette même formule par des considéralious dilférentes, au paragraphe 39, qui traite de la construclion des tables de logarithmes.

It/crloppement du binôme. — Pour bien faire comprendre l’ex- Irème facilité olferle dans certains cas par le théorème de Taylor, nous retrouverons en quelques mots la loi du développement du hinùme de Acwlon