NOTIONS GÉNÉRALES

77. La topographie étaul la description d’une portion de la surface de la terre, doit se coinpo.ser de problèmes graphiques dont la géométrie descriptive donne la solution au moyen de deux projections. C’est ainsi, à quelques modifications près, que l’on procède en topographie. On sait qu’en général, pour décrire un corps, on projette ses dilTérents points et arêtes sur un plan vertical et sur un plan horizontal, puis qu’cnsuite, si l’on veut reproduire ce corps ou en construire un semblable, on emploie les ordonnées déterminées par ces projections, ou des lignes qui leur sont proportionnelles. Telle est la méthode usitée pour la construction des plans en relief. Sur le polygone formé par la projection horizontale et à chacun de ses points principaux, on élève des verticales égales en hauteur aux distances respeetives des projections verticales de ces points à la ligne de terre, et l’on réunit ensuite tous les sommets de ces ordonnées par une matière solide. Nous n’entendons parler ici que des reliefs d’une petite étendue, tels que ceux en piètre qui sont employ és pour modèles. Ceux en grand, qui autrefois étaient construits en carton, le sont aujourd’hui en bois. Les procédés très-ingénieux que l’on emploie sont des opérations pratiques étrangères à notre sujet.

Quand on ne construit pas de relief, quand on s’en tient aux plans, on veut qu’ils parlent clairement aux yeux, pour que ceux-ci puissent instantanément .saisir l’ensemble du terrain et de toutes ses formes. Les deux projections, dans ce cas, ne conviennent pas. Pour parer à cet ineonvénient, on est conduit à supprimer la projection verticale, en indiquant par des chiffres inscrits sur le plan les hauteurs relatives des points jirincipaux. Ce moyen, déjà préférable aux deux projections, ne répond pas

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encore d’une manière assez satisfaisante au but que l’on veut atteindre, puisque la réunion de ces cotes ne ferait pas saisir au premier coup d’œil les accidents divers du terrain. Le seul moyen est d’imaginer tracé sur la terre un système de lignes dont les inflexions projetées horizontalement indiquent celles du sol.

r.ctte manière de procéder appartient à une théorie particulière, très eu usage pour le tracé des p’ans de fortification. Nous lui consacrerons plus loin un chapitre spécial.

Toute surface peut être engendrée de plu,sicurs manières : ainsi, un cène peut l’ètre par une génératrice passant par le sommet et s’appuyant constamment sur la courbe qui lui sert de base, ou par celte courbe s’élevant et décroissant sans cesse, jusqu'à ce qu’arrivée au sommet elle se réduise à un point. Üans cette dernière hypothèse, on peut n’avoir égard qu’à celles de ces courbes qui sont à égales distances, et qui peuvent être considérées comme des sections du cène par des plans équidistants. Une demi-sphère sera engendrée par un quart de cercle, s’appuyant sur une circonférence, et passant par son pèle, ou par cette circonférence s’élevant parallèlement à elle-même et décroissant de rayon jusqu’à ce que, réduite à un point, elle se confonde avec ce pèle. De là naît l’idée des deux moyens adoptés pour rendre 1rs formes du terrain, et dont l’un emploie les lignes de plus grande pente et l'autre les courbes horizontales. Parmi tous les systèmes que l'on pourrait imaginer, ces deux offrent une assez grande simplicité.

78. La ligne de plus grande pente est caractérisée par les propriétés suivantes :

U> De toutes les lignes partant du même point et tracées sur le terrain, c’est elle qui fait le plus grand angle avec l’horizon : ceci résulte de sa définition ;

2° Elle est perpendiculaire aux intersections de la surface par les plans horizontaux passant par ses extrémités j

3" Sa projection est perpendiculaire à celles des intersections et par conséquent est la plus courte distance entre ces lignes.

Pour le démontrer, soit AB, fiy. 17, une ligne de plus grande pente terminée aux courbes que produisent les sections faites par deux plans horizontaux . P est la projection de A sur le plan inférieur et PB celle de AB. Prenons sur la tangente, à l’élément de la courbe passant par B, deux points M et N voisins et également distants de B, puis joignons M et N avec P. En comparant les

TUPOr.RAPIIlF..

triangles AMP, ANP et APB, on voit qu’ils sont tous trois rectangles en P, et ont un côté commun AP. Les deux premiers

donnent tnng. AMP = tang. ANP = ^ ; le troisième fournit \P

tang. .\1!P= Les numérateurs étant les mêmes, il faut,

puisque l’angle AHP est plus grand que les autres, que le dénominateur PB s< it plus petit que les dénominateurs MP, NP, et qu'ainsi PB étant la plus courte dislanee du point P à la ligne MN, lui soit perpendieulaire. Delà résulte que les triangles reetangles MPB, ^ PB,sont égaux : car PB est commun, et MB, >B, sont égaux par construction ; donc MP=M*. De même les triangles rectangles AMP, ANP, sont égaux, et par suite leurs hypothénuses AM et AN sont égales. 11 s’ensuit que les triangles AMB, ANB, sont égaux, puisqu’ils ont un côté l onimun et les autres égaux ; donc les angles homologues et par conséquent ceux en B sont égaux: donc enfin ces derniers sont droits. Ces lignes sont des obliques également écartées de AB qui, par suite, est perpendiculaire à .MN : donc enfin les dilTérentes propriétés énoncées se trouvent démontrées.

Dette démonstration a supposé implicitement que le terrain renremie entièrement les lignes AB, AM, AN, c'est-à-dire qu'il est plan. Dette hypothèse est toujours réalisée, si l’on opère sur deux courbes MN, M'N', assez rapprochées pour que la surface du terrain se confonde avec celle du plan tangent.

De que nous avons dit plus haut s’appliquera donc à chaque élément de la ligne de plus grande pente, de sorte que, partant normalement à la première courbe, elle arrivera normalement à la seconde, en s’infléchissant par degrés insensibles, de manière à être toujours perpendieulaire aux courbes que l’on pourrait imaginer entre les deux principales, en les faisant participer à la fois aux formes de celles-ci.

Lors donc que les courbes ne seront pas parallèles, c’est-à-dire droites ou circulaires concentriques, les projections des lignes de plus grande pente no seront pas rectilignes.

Si l’on employait des lignes de plus grande pente continues depuis le sommet jusqu’en bas, elles seraient le plus généralement des courbes à double courbure, tandis que les sections horizontales sont des courbes planes. De plus, si l’on était paiAciiu à déterminer sur le terrain un assez grand nombic de ces lignes de plus grande ponte ou normales, on ne .serait encore pas dispensé de tiacer des courbes horizontales, quand on