NOTIONS GÉNÉRALES

voudrait avoir les cotes de certains points déterminés. Il faudrait d’abord qu’une de ces Iij?nes de plus grande pente AB, A'B , ftg. 18, fût cotée dans toute sa longueur, et, si M est le point dont on voudrait connaître la hauteur au-dessus du plan de repère, il serait nécessaire de faire passer par ce point une courbe horizontale ME jusqu’à la ligne A'B’, et CD serait la cote de M.

Le svstème des courbes n’offre pas le même inconvénient : tous les points appartenant à chacune d’elles auront même cote, et, si l’onadople un écartement constant entre tous les plans coupants, les courbes n’auront pas besoin d’ètre cotées. De plus, leur rapprochement ou écartement en projection annoncera que la pente e.st plus ou moins rapide. Supposons qu’un plan vert'cal coupe cet ensemble de courbes, on construira facilement le profil résultant de cette intersection, en marquant au-dessus de la ligne de terre MN, 19, les traces de tous les plans horizontaux équidistants, et y projetant les points des courbes correspondantes. Le profil du terrain sera la ligne qui unira ces points. Si l'équidistance est assez petite pour que l’on puisse considérer les éléments du profil comme des lignes droites, on aura une suite de petits triangles rectangles dans lesquels les côtés verticaux de l’angle droit seront tous égaux, les hypothénuses représenteront les lignes du terrain, les côtés horizontaux en seront les projec- , fions, et dans lesquels la pente du terrain, étant proportionnelle au rapport des deux côtés de l’angle droit, sera en raison inverse de la base, pui.sque la hauteur est constante.

Si l’on a besoin de connaître la cote d’un point M, fig. 20, placé entre deux courbes auxquelles appartiennent A et B, on . l'obtiendra au moyen des deux triangles semblables ABC, AMN. La quantité MN ainsi obtenue sera ajoutée à la cote du point A ou de la courbe inférieure.

Plus lard (chap. 11, S 202). en nous occupant de la manière de figurer le terrain, nous verrons comment on a combiné ces deux systèmes ; ce que nous venons d’exposer suffit en ce moment pour donner une première idée de ces méthodes.

79. Le problème de la topographie se compose, comme nous venons de le voir, de deux parties distinctes ; 1» la projection de tous les points de la surface constitue ce que l’on nomme la /arec du jilan ; 2“ la connaissance des ordonnées de tous ces points. C'est ce qui se désigne sous le nom de /lyuré du lenain.

Le plan de repère que l’on choisit pour y ctahlir la projection

TOrOGHAPIllE.

orthogonale est le plan tangent à la surface de la sphère an point milieu de la portion que l’on veut décrire. 11 faut entendre par surface de la terre celle des eaux de la mer prise entre leurs plus grande et plus petite élévations.

iXous avons dit que nous projetions tous les points de la surface à représenter sur le plan horizontal ; ainsi BTB', fin. 21, étant cette surface, elle se projettera en ATA', et la calotte sphérique sera représentée sur le plan de projection par la surface du cercle dont AT= AT' est le rayon: c’est-à-dire que la projection altérera tes dimensions de la surface projetée. C’est d’ailleurs ce qui arrive toujours lorsque ta projection et la surface ne sont pas parallèles.

80. D’un autre côté, la surface de la sphère n’étant pas développable ne pourra jamais être représentée .sur un plan d’une manière exacte. Il faut donc, voir jusqu’à quel point, dans laprali(|ue, on peut prendre la projection pour la surface projetée :ce qui fixera la limite des levées topographiques. En d’autres termes, ce que nous cherchons, c’est dans quelles limites le plan tangent en un point du globe peut, sans erreur sensible, être considéré comme se confondant avec la surface. Soit O le centre du globe, , T le point de tangence : la différence entre, TA et SB, ou entre la tangente et le sinus, sera plus grande que celle qui existe entre l’arc et la tangente. Si nous supposons l’arc BTB' égal à le logarithme de la tangente de sa moitié BT ou 0'.50' sera 7,8960988, et celui du sinus correspondant 7.89.6085Û. Les deux nombres auxquels appartiennent ces logarithmes sont 0,00786414 et 0,00788.490, dont la différence est 24 cent millionièmes du ravon pris pour unité. Pour ramener cette différence au rayon du globe, qui asix millions de mètres environ, il faut multiplier 24 par ce qui donne 1^^= 1"',44. La différence entre la double tangente A.\' et le double sinus .sera ainsi 2“', 88, et par conséquent celle, de l’arc à la tangente sera plus petite que ce nombre. Il s’ensuit qu’en prenant le cercle dont AT est le rayon, pour la projection de la calotte sphérique dont la corde est BB’ et qui a t' ou 10 myriamètres de diamètre, on ne commet pas une erreur de 3‘" sur la dimension totale. Cette quantité est bien au-dessous des erreurs inévitables dans les opérations de la levée d’un terrain d’une aussi vaste étendue. L'arc B'FB' étant de 1* ou 100000 mètres représente en effet 20 lieues moyennes, et la surface correspondante est de ,414,

ÉCII1Î1.I.KS.

81. Lu projcclion que nous nous proposons de conslruire sera une lifrure semblable à celle qui sérail projetée sur le plan tangent à la surface de la sphère. Mlle sera le résultat de la rencontre de tous les rayons qui aboutissent aux points remarquables du terrain, par un plan an' parallèle à A.\', on tangent à une sphère coneentrique à la terre. Le rapport entre ÜT et Ot, qui sera aussi celui des côtés homologues sur le globe et sur la projection uo', sera réchellc du plan. Il est évident que l’on pourra obtenir une inlinité de projections semblables, mais différentes de dimensions, en faisant varier la longueur de Ot.

Si l’on mesure un côté du terrain, et son homologue sur le papier, avec lu même unité de mesure, on trouve deux nombres dont le rapport fournit une fraction qui indique l'échelle du plan. Toutes les fois qu’il est possible, de la réduire à n’avoir que l’unité pour numérateur, on le fait pour la simplifier. Si, par exemple, ^ est celle fraction réduite, on en conclura qu’un côté du plan est la centième partie de son homologue sur le terrain, et l'on dira que le plan est au centième ou à réchelle de fjj. La surface du plan sera tOOOO fois moindre que celle qu’elle représente.

82. i'ar extension, on a donné le nom d’échelles aux ligures géométriques qui font connaître les longueurs des lignes du terrain au ino>en de leurs homologues sur le plan ou léciproqueincnt. Il ne sera peut-être pas inutile de donner les moyens de conslruire réchelle graphique d’une carte , quel que soit le rapport que l'on assigne entre la levée et le terrain, et quelle que soit aussi l’unité de mesure employée.

Nous prendrons de suite un exemple numérique pour que la méthode paraisse plus claire. Supposons que l’uni é de mesure .soit le mètre, et que l’échelle proposée soit Il serait trop inexact de chercher la longueur du mètre sur la carte, et de la porter tO fois, 100 fois , etc. , de suite , pour avoir les dizaines, centaines, etc., de mètres.

Cherchons donc directement les longueurs qui représentent ces groupes. Du rapport nous concluons que 1“ sur le papier équivaut à 2000™ sur le terrain, et qu’ainsi, 0”,00t vaut 2™j 0”,005 vaut lO™ et 0“',05 vaut 100 mètres.

Telles sont donc les dimensions des dizaines et centaines de mètres.

Traçons onze lignes parallèles, horizontales et équidistantes (Icurécarlcment est arbitraire, pourvu qu’il soit uniforme). Por-

lüiii lü lois 0",005 de A en K, liy. 22, puis 0,U5 autant de. fois vers B que nous voulons que récliclle contienne de centaines. l'J levons par les points A, E, B, et toutes les centaines, des perpendiculaires jusqu’à la ivneonlre de Cl) : unissons entin par des transversales les dizaines de lu li^ne supérieure à celles de la ligue

inférieure, les 2", etc., 9' du haut, avec les 2% 3’ lO'du

bas. L'échelle alors est terminée. Les transversales eomplètenl une suite de triangles rectangles semblables, dans lesquels le.s cùtés homologues horizontaux représentent 1, 2, 3, etc., mètres, comme il est facile de s’en assurer au mojeu d’une proportion. On pourra donc évaluer une longueur prise sur la carte avec le compas : car, supposons qu’elle excède un peu la centaine de mètres, un posera l’une des ])ointcs du compas sur la verticale 100, puis on la fera glisser dessus jusqu’à ce que l’autre tombe sur une division exacte en h, par exemple : alors on aura hk= lOO- + 20 + 5=1 125-.

On .se sert plus habituelleinent, pour les dessins topographiques, d'échelles simples représentées par la seule ligne CÜ de la ligure 22. Les positions des points ne sont presque toujours déterminées sur la projection qu'avec une certaine approximation représentant la limite des longueurs appréciables à l'œil (voir au Js 89). Il n'y a donc pas lieu de chercher à connaître le.s longueurs de la planimétrie avec une approximation plus grande que celle limite, et l’a'il y parvient immédiatement quand, aidé d’un compas, on cherche à apprécier la partie supplémentaire donnée j)ar une fraction des plus petites divisions placées à l’ex- Irème gauche de la ligne CÜ.

On peut réduire facilement toutes les échelles anciennes à la forme d’une fraction ayant ruuilé pour numérateur. Celle deCassini est de 1 ligne pour 100 toises ; en réduisant 100 t. on trouve 86400 lignes, et l’on peut l’écrire sous la forme jjtjj.

S’il s’agissait de 6 lignes pourcent toises, ce serait ou—

Si l'échelle était de 1 pouce pour 100 toises, ou écrirait

83. La différence d’échelles des plans les a fait classer en topographie, corographie et géographie.

Le.s cartes topographiques construites à de grandes échelles donnent beaucoup de détails. Les caries géographiques sont celles qui indiquent seulement les points principaux de la surface du globe. Les cartes corographiques forment l’intermédiaire entre les deux genres précédents.

CAXKVAS. THIASCL’:».

Une ancienne loculiun les classe encore c:i caries à grand point et à petit point, suivant quelles renferment beaucoup ou peu do détails.

A cette classiQealion il faut ajouter les cartes hydrographiques ou marines qui représentent des portions de la mer et des ciMos avec des sondes indiquant la profondeur des eaux. ^

84. Les échelles décimales sont les seules usitées maintenant. On peut, sans prétendre le faire d’une, manière absolue, les ranger ainsi qu’il suit :

ïâb ou ^ pour les levées de places fortes , villes, roules, canaux, forlilications de campagne et, en général, pour tous les plans spéciaux ;

~ principalement pour réduire et réunir les matériaux levés à la précédente échelle, ou pour tracer des projets;

pour les levées de la topographie complète d’un pays de médiocre étendue, des campements, des marches des armées, et pour servir de base aux reliefs construits pour l’étude du terrain ;

pour les levées de très-grande surface, les reconnaissances levées de champ de bataille et pour les réductions de la précédente;

Cette échelle est employée dans les travaux de la nouvelle carte de France, pour y ajouter, aux réductions du cadastre, les détails modifiés ou omis et pour y figurer le relief du terrain.

Celle-ci est adoptée pour lagravure de la carte de France.

Le 200000*, le 500000% le millionième et le deux millionième sont affectés aux cartes corographiques et géographiques.