CHAPITRE II

CANEVAS TUPOURAPHIUUE.

S5. Reprenons la construction de la projection horizontale de tous les points du terrain. On peut les imaginer liés entre eux par des droites, de manière à former une suite de triangles, et l’on conçoit que, l’un de ces triangles étant donné, on pourra construire les autres de proche en proche.

Celte division complète du terrain en triangles nécessitant une trop grande quantité d'angles, et des cdtés trop petits parfois, la détermination de ces éléments deviendrait très-pénible et souvent

TOPOOnAPHIR.

iin|)iatifrtl)lc. se contente d’en concevoir un certain noinhre dont la tonne cl les dimensions soient favorables à leur calcul et à leur tracé, et au\ côtés desquels viennent se rattaclicr, par des ordonnées perpendiculaires à ces côtés , tous les points de détail qui n’ont pas servi de sommets. Ces triangles formés par des lignes fictives composent un canevas dont l’exécution doit être la "première opération d’une levée topographique, et qui est achevé lorsqu’on a inulti|dié les côtés de manière à pouvoir v rattacher tous les détails sans erreur .sensible au compas, ce qui dépend de l'éclielle.

Sü Le côté duquel on part, cl (lue l’on nomme la base, doit être i)ris d'une longueur convenable relativement à la grandeur des triangles que l’on veut construire, et doit être mesuré avec soin. Ou choisit pour cela, sur un terrain uni, une ligne des extrémités de laquelle on découvre un grand noinhre de points. On la mesure avec une chaîne tendue horizontalement, ou mieux avec des règles placées bout à hont, établies horizontalement à l’aide d’un niveau d’eau ou à pcrpendicule , et dont on connaît exactement la longueur. Si l’on n a pas de niveau, ou que l'inclinaison du terrain l’exige, on mesure la base inclinée et l'on calcule de combien elle ditl'ère de su iirojection.

Si AB, fin. 23, représente la base mesurée et .\C sa projection, avec laquelle elle fait un angle «, on a AC=ABcos.iou AB — AL = .\B (1 — cos.a)=2AB sin.^ta (S 2i). (Voir au lirre. V, on l'un Iraile de ki mesure des buses giodésiques. les ornniaiies alluches à celte dernière transformation.)

87. La base étant mesurée, on procède ù l’observation des angles; mais on voit ici que. la forme des triangles n'est pas une chose iudilTérenlc: car, s'il y a dans un triangle un angle très-aigu, tel que L, fiq. 24, une légère erreur sur la mesure de l’angle B produira une dill’éreuce (iC très-sensible sur le côté oppose AC. il suit de là que la forme équilatérale esl préférable à toute autre, car la meilleure intersection esl celle de deux lignes qui forment un angle droit, et l’un des angles d’un triangle ne peut satisfaire à cette condition qu’au détriment des deux autres.

88. Quanta la longueur des côtés, elle dépend de rélendue. du plan, de réchelle adoptée et de la précision de l’instrument avet^ lequel on mesure les angles. Cette dernière considération est très-importante, et mérite que nous nous y arrêtions quelques instants. Soit CC'=K, fi(i. 24, l’erreur produite sur le côté AC

CANBVAS.

TRIAKGLES.

par l’erreur angulaire P commise dans l’eslimalion de l’angle B, et désignons par K le cdté BC. Il est évident que E est fonction de ^ et de K.

Pour déterminer la relation qui existe entre ces trois quantités, abaissons CD perpendiculaire surBC' prolongé, et nous aurons CÛ := K tang. ^ -, mais CC' oblique par rapport à CD est plus

grand que cette ligne, donc E > K tang. ? ou K < Si E représente la limite des erreurs qui, eu égard à l’échelle, ne sont d’aucune influence sur la projection, on voit, par la seconde iné-

galité ci-dessus, que K doit toujours rester plus petit que

Si la nature des opérations exigeait que la dimension des côtés restât dans de certaines limites ; qu’ils fussent d’une longueur moyenne K donnée, on déterminerait ^ au moyen de la troisième inégalité : on saurait par là au-dessous de quelle quantité angulaire doit rester l'erreur et par suite, quel instrument on doit employer pour atteindre ce but.

Si enfin, la longueur moyenne K étant obligatoire, on n’avait pas le choix de l’instrument; si l’on n’en avait qu'un seul à sa disposition et dont on connût le degré de précision la première inégalité indiquerait que les côtés de triangles, par suite des circonstances particulières que nous supposons, seront affectés d’une erreur au moins égale à K lang.^. Ou saurait aussi quel degré de confiance on pourrait accorder au résultat, ou, si l’on veut encore, quelle échelle il faudrait employer pour que l’erreur E devint insensible.

89. Pour bien nous rendre compte de ce que nous représentons par E et pour sentir de quelle influence est l’échelle du plan, observons d’abord que la cinquième partie d’un millimètre pouvant être considérée comme la limite des longueurs appréciables sur le papier, nous devons faire en sorte que l’erreur E réduite à l’échelle

ne soit pas plus grande que ou 0'”,0002 ; c’est ce qui arrivera

lorsque nous aurons fait E = M représentant le dénominateur de la fraction dont le numérateur est l’unité, et qui exprime l’échelle. En effet, pour réduire l’erreur E ou ^^à cette échelle, nous devons multiplier par ce qui nous donne précisément

TOPOCRAPUiE.

, puisque M est fadeur commun aux deux termes de la fraction. Voyons quelles valeurs prendront E et K en raison des échelles. Supposons celle de ~ : alors

bOW ~ 5

et

Pour l'échelle de ~

tOOOO"

aouo

Si l’on opère à

5laDg.B

taag.B

long. B

S’il s’agissait de continuer une levée faite à une ancienne échelle, à celle de 6 lignes pour 100 toises qui correspond à

on aurait E = — 2“,880 et l’on conclurait encore le maxi-

mum correspondant de K. Supposons, pour fixer les idées, que l’instrument dont on doit faire usage ne donne les angles qu’à 26' prés, on aura :

a-88>K UDg.O«.45oa K<

Uug.0'25

log. 2.88 = 0447!)3î9 C* log. lang.25' == 4* 4050379

Ce logarithme, après avoir supprimé 10 à la caractéristique, correspond à 714*’. Telle est donc la plus grande dimension que puissent avoir les côtés pour que l’erreur angulaire ne produise pas d’effet sensible sur le tracé des projections des côtes.

Les considérations précédentes ont donné le maximum de longueur des côtés à employer dans la confection du canevas. Quant au minimum, il n'y en a pas d’autre que celui qui résulterait de l'augmeutalion du travail. Les opérations de la le\ée de détail pouvant conduire ensuite à employer des côtés égaux ou à peu prés à ceux qui résulteraient de la jonction des points les plus rapprochés du canevas, quoique ces côtés n'aient pas été employés dans la confection de celui-ci, il y a lieu d'assigner aux distances comprises éntre ces points les plus rapprochés un maximum égal à celui que comportera l’emploi de l’instniment qui sera employé à la levée de détail.

90. Les triangles étant disposés en vertu deces différentes cou-

CANEVAS. — ORIEÎTTATION. 99

sidératioos, et d’après tme reconnaissance préalable du terrain, on mesure les angles. Les instruments le plus en usage se divisent en deux classes ; les premiers sont la planchette et l’alidade, dont l’emploi combiné donne le moyen de tracer les angles immédiatement et sans en connaître la graduation ; on les nomme goniographes ; dans cette première classe on doit ranger encore le sextant graphique dont nous donnerons la description en parlant des instruments à réflexion. Dans la seconde catégorie sont rangés les goniomètres, c'est-à-dire les instruments qui expriment l'amplitude des angles : ce sont le graphomètre, la bou.ssoleet le sextant gradué; ne nous occupant ici que des opérations graphiques, nous ne devons employer que les instruments qui donnent les angles réduits à l’horizon.

On se transporte successivement aux sommets de chacun des triangles désignés et l’on y recueille tous les angles qui y aboutissent; ces angles construits immédiatement donnent le tracé complet du canevas. 11 ne faut pas oublier de déterminer en même temps autant de points que possible de ceux qui ne doivent pas servir de station, en dirigeant sur chacun d’eux des rayons de trois points au moins (afin qu’il y ait vérification), de manière qu’ensuite tous les détails se rattachent à des points assez rapprochés pour que les erreurs, s’il y en a, deviennent insensibles.

91. Nous avons dit qu’après avoir mesuré exacicmcnl la base, nous partions de ses extrémités pour construire le canevas des triangles: mais A B étant cette base représentée sur le papier et à l’échelle parafe, nous ne pourrons con.struirc, à l’aide d’un goniographe, sur cette ligne, un triangle afec semblable à ABC, qu’autant que nous ferons coïncider successivement a a\cc la verticale de A, fe avec celle de B, et que ab sera dans le plan vertical de AB. C'est en cela que consiste Vorientation du plan. H est nécessaire que a coïncide avec A, lorsque de ce point on veut tracer l’angle immédiatement. Sans cela, il suffit pourroricnlalion que ab soit parallèle au plan vertical de AB et que a et fe soient disposés semblablement à A et B. On dira donc qu’une levée est orientée lorsque la ligne qui unit les deux projections est parallèle au plan vertical passant par les deux points homologues du terrain, ces points étant d’ailleurs disposés de la même manière.

La première chose à faire, en arrivant aux sommets A,B,C, etc., sera d'orienter le plan. On pourrait aussi satisfaire à cette con-

lOÜ

TüPüüHAPUIE.

ditioD, quand bien même les points donnés seraient inaccessibles. Dans ce cas, on prendrait un point J, ^g. 25, à peu près dans la direction AB; on ferait placer un jalon J' sur l’alignement JB; on irait en J ët l’on verrait si J, J', A, sont en ligne droite : sinon on changerait J, puis par suite J', de position, et ainsi de guile jusqu’à ce que les quatre points fussent en ligne droite, après quoi l’on pourrait stationner en J ou en et orienter son papier. On parvient au même résultat à l'aide de l’alidade. Plus tard, après avoir décrit cet instrument et la planchette, nous verrons comment on s’y prend,

92. On est généralement dans l’usage d’orienter par rapport à la méridienne, et par conséquent de tracer cette ligne sur les levées topographiques. Nous allons indiquer plusieurs manières d’atteindre Ce but.

On peut tracer la méridienne au moyen des hauteurs correspondantes du soleil, et le problème se réduit à avoir l’angle que fait un côté du canevas avec la méridienne.

Soient AB un côté sur le terrain, et ab, fig. 26, sa projection provisoire : on orientera la feuille de papier suivant ces lignes; on élèvera sur le plan disposé horizontalement un style vertieal terminé pur une pla()ue de fer noircie, percée d’un petit trou à ■ son centre m et disposée de manière à recevoir à peu près perpendiculairement le rayon du midi : on projettera le centre m en m' au moyen d’un ûl à plomb ; du point m' comme centre, on décrira plusieurs circonférences no'n', po 'p', etc. ; on observera la marche du soleil un peu avant et un peu après midi ; on divisera en deux parties égales chacune des portions de circonférences interceptées par la courbe produite par le spectre solaire; les points milieux o,o',u', etc., et m', appartiendront à la méridienne. Si l’opération a été faite avec soin, ils seront exactement en ligne droite; sinon, il faudra prendre pour trace du méridien la droite qui passera le mieux possible par ces points.

Ceci est fondé sur ce que le soleil décrit sensiblement un parallèle à l’équateur, surtout pendant le temps que dure l’observation. Soit en effet m', fig. 27, le point de station, S, S', S ', S'*', les positions correspondantes du soleil avant et après midi. Les rayons Sp, S"p', S'n, S"'n>, feront des angles respectivement égaux avec le méridien : par conséquent les arcs no', n'o', seront égaux ainsi que po", p’o". Ce genre d’opposition est plus exact

CAflKVAS. — OniENTATIOX. 101

vers les solstices qu’à toute autre époque de l’année, parce qu’alors la variation en déclinaison est la plus petite.

93. S il était nécessaire, pour avoir plus de précision, de tenir compte deJa variation diurne du soleil, on opérerait ainsi qu’il suit ; soit R, fig. 28, le point de station, on s'oriente sur RP, dont la trace rp sur le papier doit servir de ligne de repère.

On observe, avec la lunette d’une alidade garnie d’nn verre noirci, le lever L et le coucher C du soleil le même jour, et l’on marque les projections de ces directions sur le papier.

Par la raison indiquée au paragraphe précédent, et abstraction faite de la déclinaison, le méridien devrait partager l’angle LRC en deu.x parties égales. Soit donc Rm la ligne qui satisfait à cette condition. Pour la durée d’un jour, la déclinaison ayant varié,

I angle que fait la vraie méridienne avec RC est plus petit nue celuiqu'elle fait avec RL. (Nous supposons que le soleil se dirige du solstice d clé a celui d’hiver, et, d’après la figure, que l'opération est postérieure à l’équinoxe d’automne.)

La ligne Rmest donc un peu trop orienlaîe ; mais, si l’on combine le coucher C avec le lever V du lendemain plus tardif que celui de la veille, la ligne Rm' qui partagera en deux parties égalés 1 angle CRL' sera, par une raison contraire, trop occidoii- ' taie. Donc, en prenant un direction moyenne RM, elle sera trèssensiblement la méridienne.

Celle seconde méthode n’est pas encore rigoureusement exacte, parce que la variation en déclinai.son n’est pas constante: mais î résulte est bien au-dessous des erreurs habituel-

les de la topographie. Son plus grand défaut vient de la diniciillé de son emploi : elle est en effet fondée sur l’observation du lover et du coucher ou autrement dit de l’astre au moment où il est à 1 horizon, moment qui ne peut être reconnu que lorsque l’on observe dans une Ile éloignée des côtes. Si l’on voulait rendre CÆlle méthode théorique réellement applicable, il faudrait la combiner avec la précédente en déterminant par celle-ci la branche P n , fig. 26, des ombres du style , relatives à la matinée suivante , et continuant à opérer comme sur la fig. 28.

La première méthode exposée, fondée sur l’hypolhèsc de la constance de la déclinaison solaire , pendant la durée de l’opération, nous semble du reste bien sullisante pour les usages de la topographie qui, en définitive, ii’a pas besoin, pour opérer, de connaître la direction o'u méridien.

Quand, par Tune ou l’autre méthode, on a obtenu la projection de la méridienne sur le papier, il faut mesurer l’angle qu’elle fait avec l’un des côtés du cadre; faire sur rp, fig. 29, un angle égal, et quand ensuite on aura tourné le plan de manière que celle nouvelle direction soit dans le plan vertical de IIP, alors le côté du cadre dont il vient d’être mention sera dirigé suivant le méridien du lieu.