CHAPITRE III

niFFËRERTS MODES DE LEVES.

94. Un triangle, dans lequel on connaît d’avance un côté, peut être construit de trois manières ;

1“ En observant les angles adjacents au côté connu, ou mieux les trois, pour qu’il y ait vérification ;

2° En observant un angle et mesurant un côté ;

3» Enfin en mesurant les deux autres côtés.

Ces trois manières de procéder donnent naissance à trois méthodes distinctes :

1" Levées au goniomètre ou au goniographe seulement;

2” Levées dans lesquelles à l’emploi de cet instrument on ajoute celui de la chaîne;

3” Levées pour lesquelles on se sert de la chaîne seule.

Nous allons passer en revue ces trois méthodes, pilonner en même temps la description et indiquer l’usage des instruments, dont on se sert.

95. Planchette et alidade. Nous ne séparerons pas ces deux instruments, qui ne peuvent servir que simultanément, et nous n’entrerons pas dans de longs détails descriptifs de construction, persuadé qu’ils fatiguent le lecteur et lui apprennent beaucoup moins que la simple vue de l’inslrument.

Relativement à la planehcUe, nous nous bornerons à dire qu’elle se compose de trois parties distinctes : la table sur laquelle on colle le papier; le genou, dont le mécanisme permet démettre la table dans un plan horizontal, puis de la faire mouvoir dans ce plan ; enfin le trépied , qui est la réunion de trois pieds fixés par des charnières à une tige solide qui supporte le genou.

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(•LANINKTRIR. — ISSTIllMRNTS. J 03

Ot instrument n’est soumis à aucune vérification : il sera d’autant plus parfait qu’il réunira la légèreté à la solidité. Il ne faut pourtant pas balancer à sacrifier la première condition à la seconde, car les désorientations produites par le peu de stabilité de la planchette jettent dans de grands embarras et occasionnest parfois une perte de temps considérable.

Valiiladfl est un instrument au moyen duquel on trouve , .sur un plan, la trace d’un autre plan perpendiculaire au premier. Elle se compose d’une règle de cuivre AD(/ig. 80) de trois ou quatre décimètres de longueur, d'une lunette CD pouvant pivoter autour d’un axe E parallèle au plan de la règle, perpendiculaire à .sa longueur et qui lui est attachée par une lige EF.

La liinclle est composée d’un objectif D, d’un oculaire C avec son tirage, et d’un réticule rr' gprni anssi de son tirage j de telle sorte qu’on peut amener d’abord le réticule un peu en deçà du foyer de l'oculaire , puis tirer ou rentrer ensemble l'oculaire et le réticule jusqu’à ce que celui-ci soit précisément an foyer de l’objectif (Livre IV, S 280).

Pour opérer (ntactement avec l’alidade, il faut que la ligne tracée au crayon le long de la règle .sur le papier tendu sur la planchette .soit la trace du plan vertical passant par le rayon visuel déterminé par l’axe optique. 11 est donc nécessaire, avant d’en faire usage, de s’assurer ; 1» qne l’axe optique de la lunette est perpendiculaire à l’a,\e de rotation, pour pouvoir décrire, dans le mouvement qu’on lui imprime, un plan et non une surface conique ; 2» que ce plan (dit de collimation) passe par celui des deux côtés de la règle que l’on nomme ligne de foi. Ces différentes conditions exigent que l’aote de rotation soit parallèle an plan de la règle et perpendicnlairc à la ligne de foi.

Pour s’assurer qu’il en est ainsi, on vise un point éloigné V, fil). 31. On trace an crayon, sur le papier, la ligne déterminée par la règle AB ; on fait tourner la lunette de 200* autonr de son axe optique CD, après toutefois avoir démonté la vis qui la retenait; pui.s, dans celte nouvelle position, les extrémités E, E' de la douille traversée par l'axe de rotation ont pris la position l’une de l’autre : l’angle DOE vient en E'OD', et alors, si l’on ne trouve plus V è la croisée des fils, l'angle DOD' est le double de la correction qui se fait au moyen du réticule. Deux petites vis, placées à droite et à gauche, permettent, en serrant l’une et en desserrant l’-antrc, de lui donner un mouvement de translation do côté qui convient pour détruire l’erreur. On s’assure en mémo

loi

temps de la verticalité de l’un des fils, en examinant si, la lunette levée ou abaissée, l’objet V est toujours masqué par le fil, ou bien en le dirigeant sur l’arête d’un bâtiment. C’est encore au moyen du réticule , et en le tournant autour de l’axe optique, que l’on elTeclue cette seconde correction.

Si la construction de l’instrument le permet, ce qu’il y a de plus simple ù faire est de retourner, après la première ligne tracée, l’alidade bout pour bout, puis de ramener vers soi l’oculaire qui, dans ce mouvement, aurait été transporté à la place qu’occupait l’objectif : le reste de l’opération comme ci-dessus.

Pour mettre l’axe optique perpendiculaire à l’axe de rotation, il faudrait, lorsqu’après le retournement on ne trouve plus le point visé à la croisée des fils, faire marcher ce réticule de la moitié de la distance qui le sépare de l’image de l’objet. Cela exige un tâtonnement que l’on abrège beaucoup en opérant de la manière suivante. On vise le même objet dans les deux positions de retournement de la lunette, et on marque au crayon les deux positions de la ligne de foi ; on divise en parties égales l’angle formé par ces deux lignes et on place la ligne de foi sur la bissectrice. Il ne reste plus alors qu’à foire marcher le réticule jusqu’à ce qu’il rencontre l’image du point visé.

La condition d’existence du plan décrit par l’axe optique et la verticalité de ce plan peuvent encore se vérifier simultanément et d’une manière suffisamment exacte par l’inspection d’une arête verticale d’un bâtiment sur laquelle on suit la marche du réticule répondant au mouvement de rotation de la lunette. La verticalité du plan décrit est, en effet, une conséquence de l’horizontalité de la planchette. Cette horizontalité n’étant établie qu’approximativement, il n’y a donc pas lieu d’établir avec une rigueur mathématique l’exactitude de la verticalité du plan, verticalité qui, du reste, a une faible infiuence sur les angles horizontaux, autant du moins qu'on ne s’en écarte pas d’une manière notable, comme cela sera étudié plus tard lorsqu'il s’agira des instruments plus exacts de la géodésie.

Quant à ce que la ligne de foi soit située dans le plan vertical décrit par l’axe optique de la lunette, il faut, pour s’en assurer, avoir d’avance la projection sur la planchette d’une ligne du terrain, ce qui revient à connaître son azimuth ou l'angle qu’elle fait avec le méridien. Orienter par tout autre moyen que l’emploi de l’alidade : par exemple, avec le déclinatoire dont nous parlerons bientèt, ou en traçant une méridienne; pincer la ligne

PLANIMliTRIF.. — INSTHIIMKSTS. 105

de foi sur la projection donnée et voir si la croisée dos fils couvre le point situé à l’extrémité de la ligne, ou plutét viser ce point et s'assurer que la ligne de foi coïncide avec la projection, ou reconnaître de combien elle en difîère.

On conçoit, au surplus, que cette condition ne soit pas indispensable : et en effet, lorsqu’à chaque station on aura décliné la planchette en dirigeant la lunette sur un point du terrain, la ligne qui, sur le papier, est la projection de cette direction, formera toujours le même angle avec la trace du plan vertical passant par l’axe optique. Par conséquent, toutes les lignes tracées sur le papier seront respectivement inclinées entre elles, comme leurs homologues du terrain, fig. 33.

L’alidade que nous venons de décrire est la plus parfaite : on en construit de plus simples, composées d’une règle aux extrémités de laquelle s'élèvent, à angle droit, deux pinnules de la forme N, N', fig. 34.

Ce sont des plaques en cuivre évidées. Dans l’une, une fente très-étroite surmonte un vide rectangulaire divisé par un crin fixé sur le prolongement delà fente supérieure. L’autre pinnule présente les mêmes ouvertures placées différemment, c’est-à dire que la fente étroite est au-dessous du châssis partagé par le crin.

Quelle que soit la pinnule auprès de laquelle on place l’oeil, il faut qu'il regarde par la fente étroite ; c’est en quelque sorte l'oculaire, et le crin placé dans l’autre pinule détermine le plan vertical qtii passe par l’oeil et par l’objet visé, et dont la trace doit se confondre avec l'un des cêtésde la règle de l’alidade. Ce côté AB se désigne sous le nom de ligne de foi.

On fait aussi des alidades en bois, dans lesquelles la lunette est remplacée par un parallélipipMe percé d’un trou longitudinal. Une visière tient lieu d’oculaire et, à la place de l'objectif, se trouvent des fils croisés.

96. D'après ce que nous venons de dire sur la construction et le mouvement de la planchette et de l’alidade, rien n’est plus facile que de relever un angle au moyen de ces deux instruments.

On se met en station : on dispose la tablette horizontalement, parce que sans cela les traces que l’on obtiendrait sur son plan incliné ne mesureraient pas l’angle dièdre formé par les plans verticaux qui passent par le point de station et les deux objets visés.

On place la ligne de foi sur la projection a de la station A ; on

TOPOGRAPHIR.

la fait pivoter à l’entour, jusqu’à ce qu’elle couvre ab , puis on tourne la tablette jusqu’à ce qu’on aperçoive B à l’intersection des fils. Fixant alors le mouvement horizontal, la planchette sera orientée. On fera de nouveau pivoter la ligne de foi autour de a, jusqu’à ce que l’on aperçoive le .second point de mire C, et l'on tracera nr. On aura déterminé ainsi graphiquement l'angle formé par les deux directions AB et AC.

Il est très-essentiel de tracer ces lignes dans toute la longueur de la règle, ou du moins d'indiquer leurs amorces sur les marges en dehors du cadre, car ces lignes peuvent servir plus tard à orienter le plan, et celte opération ne serait faite qn’avec une approximation grossière, si elle n’était fondée que sur la coïncidence de la règle de l’alidade et d’une ligne trop courte.

Il n’est pas nécessaire que la projection a soit exactement sur la verticale de A; s’en écartàt-elIe d’un décimètre, il faudrait que l’on opérât à une bien grande échelle, pour que celte erreur fàl appréciable sur le plan.

97. Levées à la plancheite. Occupons-nous actuellement de la réstilution des triangles en n’emplojant que la planchette et l’alidade, et disons d’abord, une fois pour toutes, que nous désignons par de petites lettres les projections des points du terrain auxquels nous affectons les grandes lettres corre.spondantes.

On donne les deux points de repère R,r; P, p; on demande d’en déterminer un troisième. Il se présente ici quatre Cas distincts.

1° On peut stationner en R et P. Ces deux points sont visibles l’un de l’autre, et de chacun d’eux on voit X, point cherché. Dans celle hypothèse, on va stationner en R où l’on s’oriente sur P, puis on trace la projection de RX : on se transporte en P où l’on opère de la même manière. L’intersection des deux droites rx, px, ainsi obtenue, est évidemment la projection cherchée de X. Cette manière de procéder se désigne sous le nom de méthode d'intersection.

2“ On peut aborder en R et X, mais pas en P, et les points sont tonjonrs supposés visibles l’un de l’autre On stationne en R, flg. 35. On s’oriente sur P et rayonne sur X : on se transporte en X dont on fait coïncider la verticale avec un point x' de la direction tracée de R sur X et l’on se décline sur R ; on trace x'P et par p on mène px parallèle à x'P : le point x de rencontre de eétte droite avec rx'esl le point cherché. En effet, si l’on place x

PLVNIMliTRlB. — INSTRUMENTS. 107

dans la verticale de X et si l’on s’oriente toujours sur ItX, la ligne .T/) est dans le plan vertical de XP.

Cette méthode est celle de recoupemi’nt. A moins que l’échelle A laquelle on lève ne soit extrêmement grande, on peut abréger l’opération : car, si la verticale de X avait percé tout d'abord en X, on n'aurait eu qu’à mener P/), et la rencontre avec la trace de RX edt donné le point ; mais la verticale de X ne peut s’éloigner de celle de x que d’nne quantité toujours beaucoup plus petite que la demf-diagonale de la planchette, distance peu appréciable aux échelles que l’on emploie généralement. Ainsi donc, on se borne, arrivé en X, à s’orienter sur R et à faire pivoter l’alidade autour de;) jusqu’à ce que l’on aperçoive P. L’intersection de la droite que l’on trace alors avec la première donne x. Cette observation pourra s’appliquer dorénavant à tous les cas semblables.

3“ R et P sont supposés inaccessibles, mais on peut stationner en un point A de leur direction ; X dont on veut trouver la projection estaccessible, et de ce point sont visibles R, P et A, fig. 36.

On stationne en A en s’y orientant sur RP et cherchant le point a' où la verticale de A rencontre rp. De Au' on rayonne sur X, puis, s’y transportant, on s’oriente sur AX, après avoir fait en sorte que la Verticale de X perce le plan en on point de o'X. On trace les deux rayons passant par Rr et Pp. Le point d’intersection sera la projection x cherchée. Si l’on veut avoir aussi celle de A, on mène par x une parallèle ax, à o'X.

4“ On donne les deux repères Rr, Pp, inaccessibles, mais visibles de X, fig. 37, où l’on peut stationner. On cherche un quatrième point où l’on puisse se placer et duquel on voie les trois autres ; alors on construitsur 1a feuille un quadrilatère semblable à celui du terrain, et l’on en construit un égal sur rp. Pour cela, on .SC place en X dont on prend une projection provisoire et arbitraire, et l’on oriente la planchette à peu près, car on n’a pas encore de moyen de le faire exactement, ce qui n’est au surplos pas nécessaire. On vise R, P et le quatrième point Y, dont on trace les directions sur le papier. 11 est à remarquer que les deux premières ne passent pas par r et p ; on se transporte en Y , on se décline suivant x'j/' et l’on vise encore R et P de y' pris à une distance quelconque de x', puisque l’on n’cinploie pas la chaîne. Les points d’intersection déterminent deux sommets r* elp' d’un quadrilatère dont les deux autres angles sont x' et y', semblable à celui que forment sur le terrain R, P, X,Y et semblable par conséquent aussi à la projection cherchée. Pour construire en véri-

TOPOGRAPHIK.

table grandeur et position, on fait en r les angles prj-,pri/, égaux kp'r’x'f p'r'y', et l'on agit de la même manière à l’égard de p.

98. On peut tirer parti d’un point C (fig. 37 bis) dont la projection serait située liors de la marge : pour cela, avant d’aller sur le terrain, et au moyen de la feuille contiguë qui contient la projection de C, on trace de e vers le cadre et sous un angle quelconque une droite que l’on prolonge d’une quantité Ec=Ec'. Si ensuite, tandis que l’on s’occupe de la levée, on veut déterminer la position du point S où l’on se trouve, et que l’on sait déjà devoir être sur une direction AB, on se décline au moyen de celte ligne ; on place la ligne de foi de l’alidade sure', autour duquel on la fait pivoter jusqu’à ce que l’on aperçoive C dans la lunette, on trace cette droite jusqu’au cadre en D ; on prend EF = DE ; par F on mène une parallèle à c'D, et sa rencontre avec AB détermine la projection cherchée s ; en effet , le triangle EFc que l’on peut imaginer, sinon construire, est égal à EDc' ; ainsi la parallèle que l’on a menée passe bien par la projection c ; de plus, elle passe comme c'D par le point C du terrain , car c'G est sensiblement nul, comparativement à la distance à laquelle on se trouve de C : donc la droite «F sur le papier est la projection de son homologue SC sur le terrain, donc s est le point cherché.

Si l’on avait plusieurs points semblables, pas de ligne AB, mais un déclinatoire, s serait encore déterminé par l’intersection des différentes lignes construites. On opérerait également à l’aide de la boussole. Si enfin cE était trop grand pour pouvoir être reporté et contenu dans l’intérieur du cadre, on pourrait, au lieu de Ec', ne prendre que Ec" qui en serait la moitié, le tiers, le quart, etc., mais alors EF devrait être 2, 3, 4, etc., fois plus grand que Ed.

99. On peut se proposer de déterminer au moyen de 1a planchette la projection s d’un point S, fig. 38, connaissant celles de G,M,D, qui sont inaccessibles ou auxquels on ne veut pas se transporter. On mesure en S les angles GSM, MSD, et l’on fait en g et d deux angles agm, bdm, qui leur sont respectivement égaux. Par les milieux c, e, des droites gm, md, on élève des perpendiculaires ; en P et d on élève aussi des perpendiculaires à ga, bd. Les points de rencontre O et O' sont les centres de deux circonférences qui devront se couper en s : car, si l’on mène sg, sm, sd, les angles gsm, vnsd, seront égaux à agm, mbd, comme ayant pour mesure chacun la moitié des angles gm, md. (Lrgbndkk, litre II, propositions 18 eM9.)

PLANIMÉTHIB. — INSTKIMEXTS. 109

100. Les constructions graphiques à eiïectuer sur le terrain doivent toujours être simplitiées autant que possible. C'est dans ce but que nous indiquerons le moyen de tracer immédiatement à leurs places les angles agm, bdm. Pour obtenir le premier, on place g sur la verticale de S, on décline gm sur SM et on vise G en faisant pivoter la ligne de foi autour du point s. La construction de l’angle bdm s'obtient de la même manière, en déclinant dm sur SM et visant D.

11 restera encore à effectuer la construction géométrique qui, dans la pratique, fera presque toujours préférer un des deux procédés indiqués aux paragraphes 103 et 104.

101. Il pourrait arriver que les quatre points fussent situés sur la même circonférence, et alors le problème ne serait pas résolu, ou que les circonférences se coupassent sous un angle très-aigu. Dans ce dernier cas, il y aurait incertitude dans le choix précis de leur point d’intersection,- si l’on ne faisait attention que, dans uu cercle, un rayon abaissé sur le milieu d’une corde lui est perpendiculaire. Il résulte de cette observation que la ligne qui passe par les deux centres O et O' est perpendiculaire à la corde sm et que sK = Km. Si donc, après avoir réuni les centies trouvés, on mène par m la ligne Sm perpendiculairement à 00^ et si l’on prend sK = Km, le point * sera bien la projection cherchée. On peut aussi calculer les longueurs des rayons, au lieu d'employer la construction graphique, puisque l’angle goc est égal à « : or, dans le triangle rectangle goc, on a '

ffo — ce qui revient à R =• ^

102. On peut résoudre le même problème à l’aide d’une seule circonférence : mais cette solution, pour offrir plus d’exactitude, exige que M soit en deçà de la ligne GD par rapport à S, /ig. 39. Placé en S sur le terrain, on tourne la planchette de telle manière que, g étant dans la verticale de S, le càté gd du plan soit dans le plan vertical de Sü du terrain. Faisant ensuite pivoter l’alidade autour de g, on la dirige vers M et l’on trace la ligne ÿin'.l’angle in'gd est alors égal à MSD. On tourne de nouveau la planchette jusqu’à ce que la même droite dg prenne la direction SG ; d étant sur la verticale de S, on vise le point M comme précédemment, et i’on trace dm', de sorte que ydiii = GSM. Par les trois points g, m', d, on fait passer une circonférence ; parm etm'.

on mène une droite dont la rencontre avec la circonférence détermine la projection 8 de S où l’on est placé sur le terrain. En effet, les angles dgm', gdm, sont bien égaux aâ\ angles que forment entre eux les trois rayons visuels, et puisque d-sm, gnm, leur sont égaux comme inscrits dans les mêmes segments de cercle, il s’ensuit que « satisfait aux conditions du problème : de plus, il y satisfait seul, car pour tout autre point, s', par exemple, l’angle total gs'd est bien toujours le même et égal à GSD, mais chacune de ses parties diffère de l’angle partiel correspondant du terrain GSM ou USM : l’un augmente quand l’autre diminue.

On peut ajouter qu’en vertu de la solution précédente la projection du point cherché est l’une des intersections de deux circonférences construites sur G.M', DM', et que M' est l’autre : donc . évidemment, puisqu’un seul point doit résoudre le problème ,

8 est ce point.

Nous avons dit que cette méthode convenait dans le cas particulier où M est en deçà de DG par rapport à S r's’il en était autrement, les deux points m et m', situes tous deux du même cêté et conséquemment trop voisins l’un de l'autre, détermineraient d’une manière peu certaine la position de la droite m'mt.

11 existe une solution de ce problème basée sur la trigonométrie. Elle trouvera sa place lorsque nous nous occuperons de la géodésie, S 410.

103. Le même problème peut se résoudre par un tâtonnement / quelquefois assez prompt. Soient les projections sur le plan des trois points du terrain A, B, G, fig. 40. On veut déterminer S où l’on se trouve; on oriente à peu près la planchette; par A,B,C et leurs projections, on fait passer trois droites qui viennent se couper suivant un triangle a 3 y- Si le plan était bien orienté, les trois lignes se couperaient en un même points, projection de S.

Il faut donc faire un peu pivoter la planchette dans le sens convenable, pour que les trois rayons forment, par leurs nouvelles intersections, un triangle a'3Y plus petit que le premier. On continue à procéder de la sorte jusqu’à ce qu’on trouve une suite de triangles «. p.^, «„ p,, y„ renversés par rapport aux premiers.

Si les sommets homologues aa'a"... a,,a„ PP' P'.... P, Pi, y y' y"... Y,,Y„ sont sullisamracnt rapprochés, il sera facile de tracer d’une manière continue les trois courbes formées par ces sommets. Elles devront se rencontrer en un même point qui sera la projection cherchée, projection qui devra être vérifiée avant

PUNIMÉTRIE. — INSTRUMENTS.

(l’élre admise définitivement. Il est à remarquer que, dans les difîérenles positions, les angles a, a’, a', a"', formés par le» directions prises sur A et C, sont les mêmes : ils ont donc une mesure commune qui est la moitié de Tare passant par A et C et appartenant à une circonférence sur laquelle ils sont tous situés. Le même raisonnement s’applique à P, P', P'', P'", d'une part, et àif, t’, de l’autre. Donc le points, qui est i la fois

•") P"> t"'> appartient aux trois circonférences, c’est-à-dire est leur point d’intersection. Si l’on construisait ces circonférences, on rentrerait dans la première méthode que nous avons indiquée. C’est pour éviter cette construction que l’on opère par tâtonnement.

104. Il est enfin une dernière méthode, qui consiste à se servir d’un papier à calque. On l’applique sur la planchette ; on y marque le point s où le percerait la verticale du lieu. Par ce point, on trace sA, sO, «C; on fait ensuite tourner le papier transparent jusciu’à ce que les trois directions qui y sont tracées passent respectivement par c, b, e, puis alors on pique le point » sur la feuille. Ce procédé, quand il est employé avec soin, est tout aussi rigoureux cl beaucoup plus expéditif que les précédents. II est nécessaire cependant que les trois rayons ne forment pas entre eux des angles trop aigus.

105. Gi aphomêlre. Nous allons commencer la description des goniomètres parcelle du graphomètre. Cet instrument se compose d’un demi-cercle {fig. 41) gradué en 180 ou 200*, portant des pinnules aux extrémités de son diamètre et d'une alidade mobile autour de son centre et garnie aussi de deux pinnules. L'instrument roule sur un genou attaché à un pied. On place le limbe dans le plan des objets ; on ajuste les deux pinnules du diamètre sur l’objet de droite en supposant que les divisions soient marquées de gauche à droite : on vise l’objet de gauche avec l’alidade mobile, et l’angle compris est l’angle cherché.

Pour vérifier cet instrument, il faut voir si le zéro de l’alidade mobile coïncide parfaitement avec le zéro origine des graduations, lorsque les ûlsdesquatre pinnules sont dans le même plan vertical. Si celte condition n’a pas lieu, il faut ajouter à chaque angle ou en retrancher l’erreur de collimation, ün pourrait encore commencer par faire coïncider les deux zéros et voir si les fils sont bien dans le même plan vertical, mais la première mar-

che est préférable, puisque, s’il y a erreur, on en lit immédiatement l’expression.

Si l'alidade mobile pivotait autour d’un point qui ne fût pas le centre du limbe, celte imperfection serait la cause d’une erreur véritable de lecture. Elle serait nulle dans la circonstance particulière où l’axe de l’alidade mobile passerait par le centre, et la plus grande possible quand cet axe serait dans une direction perpendiculaire à la ligne passant par le centre et par le pivot ; la distance de ces deux points serait sensiblement égale au maximum d’erreur. Cette vériQcation se fait de la manière suivante. Après avoir visé directement l’objet de droite par l’alidade fixe {/ig, 41 bis), on amène l’alidade mobile sur le point de gauche, et l’on fait une lecture oa. On retourne l'instrument en pointant l’alidade fixe sur le point de gauche. L’alidade mobile marque toujours la lecture ü'»' = oa- on l’amène alors en «'«" sur le point de droite et on obtient une nouvelle lecture o'a" qui devra être supplémentaire de la première o'a', si le centre de rotation «' est en même temps le centre du cercle,

106. On désigne sous le nom de ternier un appareil qui sert à estimer les fractions des plus petites divisions d'un limbe ou d’une règle gradués. Il est donc curviligne on rectiligne : mais, l’explication étant la même pour l’un et l’autre, c’est du premier que nous allons parler, puisque tel est celui qui s’adapte au graphomètre. D’abord, nous dirons qu’un vernier, pour être d'un usage commode, doit être susceptible de deux mouvements, l’un prompt est imprimé par l’impulsion de la main à laquelle le frottement fait seul résistance ; l’autre, qui s’opère aussi insensiblement qu’on le veut, au moyen d’une vis de rappel dont le vernier porte l’écrou. Cette vis fait corps avec le limbe du moment qu’on a serré la vis de pression qui y fait adhérer la pince dans laquelle elle roule.

Le veruier, sur une courbe concentrique au limbe, est div isé en un nombre de parties plus grand d’une unité que celui des divisions renfermées dans le même espace sur le limbe. De là il résulte, en désignant par D et d les graduations du limbe ctdu vernier, puis le nombre des dernières par n, que nd = (n — 1) D :

d’où t/=îî— i i) = i) - et D — (/=£

c’est-à-dire que la différence entre D et d est d’autant moindre

PLANltléTRIE. — INSTRUMENTS. il."

que n est plus grand. Pour le graphomètre où D = 50' et tO, on a D — d= 5'. Si l’on avait pris n= 26', on aurait 2'i !)r=25 d et D — d=2' : si enfin le cercle gradué était d'un assez grand rayon pour comporter des divisions de 1' ou 25', on trouverait

— d= l’. D’après cela, et en raisonnant sur l’hypothèse de n= lü, on voit qu’une division du vernier a une amplitude égale aux ^ d’une division du limbe. Cela posé, supposons que les deux zéros coïncident, les deux divisions suivantes différeront de : celles qui vienneni après, de etc. Réciproquement, si ce sont les deux premières qui coïncident, le zéro du vernier aura dépassé l’autre de n : si c’est la septième du vernier qui coïncide, le zéro du vernier sera en avance sur celui du limbe de ^ de 50', c’està-dire de 35'.

Puisque nous avons eu occasion de parler du vernier, disons qu’il est aussi d’un grand secours dans le compas à verge. Cet instrument est formé d'une règle d’acier graduée à laquelle sont adaptées deux pointes maintenues par des coulisseaux. Généralement cependant, c’est à l’une des extrémités de la verge qu’est fixée l’une des pointes, tandis que l'autre est maintenue à volonté par une vis de pression. C’est à cette pointe mobile que s’adapte le vernier garni d’une vis de rappel.

Pour terminer ce que nous avons à dire du graphomètre, ajoutons que si les objets que l’on vise et le point de station sont à peu de chose près dans le même plan horizontal, la hauteur des ouvertures pratiquées dans les pinnules permetdc les voir, quoique le limbe soit placé horizontalement. Si la différence de niveau est un peu considérable, il faut établir le limbe dans le plan des objets, ce qui a l’inconvénient de ne pas donner exactement l’angle réduit à l’horizon. Il y aurait, dans ce cas, une correction à faire, mais on s’en dispense parce qu’elle ne saurait être appréciée, lorsque plus tard on trace l’angle sur le papier au moyen du rapporteur. Quelquefois d’ailleurs on obvie à cet inconvénient en substituant aux pinnules des lunettes plongeantes qui évitent encore la perte de temps causée par le tâtonnement au moyen duquel on arrive au pian des objets. Construit ainsi, le graphomètre doit porter un niveau qui assure l’horizontalité du plan du limbe.

Si, connaissant la projection d’une base, il s’agit, au moyen du graphomètre, de déterminer des points remarquables sans s’y transporter, on s’établit à l’une des extrémités de la base sur laquelle on dirige l’alidade fixe; on vise les points avec l'alidade mobile et l'on rapporte les angles sur le papier. On opère de

même à l’autre extrémité, et les iutersections donnent les projections cherchées. S’il faut lever en cheminant, on vise la station que l’on vient de quitter, avec l’alidade fixe, celle où l’on va se transporter ensuite avec l’alidade mobile, et l’on rapporte l’angle.

107. Déclinaloire et bouassole. Ces deux instruments étant fondés sur la propriété dont jouit une aiguille aimantée suspendue librement, de prendre une direction constante, nous allons dire quelques mots sur la manière d’aimanter une aiguille. Pour cela, il faut avoir deux barreaux fortement aimantés eux-mèmes. On dispose exactement l’aiguille dans la direction nord-sud et l’on pose les barreaux sur des points voisins de sou centre, savoir : le pôle sud de l’un du côté du pôle nord de l’aiguille, et le pôle nord du second vers le pôle sud de l’aiguille. On les incline de manière qu’ils fassent avec cette dernière des angles aigus symétriques ; puis, ou les conduit en appuyant assez fortement, chacun jusqu'à la pointe qui lui correspond. On les enlève, on les remet dans la première position , et l’on recommence. 11 n’y a aucun inconvénient à ce que l’aiguille soit fortement aimantée. Pour juger du degré d’aimentation et s’assurer qu’elle n’en acquiert plus, on lui fait enlever différents poids. 11 ne faut pas oublier, après chaque essai, de toucher de nouveau l’aiguille qui, dans cette opération , perd toujours une partie de sa vertu magnétique.

lOd. On sait que l’aiguille aimantée, lorsque rien ne l’empéche d’obéir à l'action magnétique, se dirige vers le nord, non pas exactement, mais en faisant avec le méridien un angle qui varie en raison du temps et des lieux, suivant une loi inconnue jusqu’à présent. Cet angle se nomme la déclinaison. Ses variations un peu considérables ne s’opèrent pas d’une manière brusque, en sorte que, lorsqu’on a réglé l’axe de l'aiguille, c’est-à-dire trouvé la direction du méridien magnétique, on peut le considérer cémme const mt pendant une campagne entière. L’aiguille, outre le mouvement graduel qui la porte vers l’ouest, éprouve chaque jour des oscillations à peu près régulières.

Ces oscillations n'ont pas une importance excessive en topographie, cependant elles sont sullisantes pour produire des erreurs appréciables. On sait, en effet, que, suivant les saisons et les lieux, les variations diurnes peuvent atteindre une limite de 20' sexagésimales.

Dans les environs de Paris, elles sont d’environ 15' = 0*,27' à

PLANniÉTRIB. — INSTRUMENTS. 115

28' centésimales du mois d’avril au mois de juillet, et de 15' ù 16 dans la saison opposée. Le minimum de la déclinaison a lieu vers huit heures du matin et huit heures du soir, le maximum vers trois heures du soir, tandis que la nuit elle est constante. C’est donc précisément aux époques des opérations que les variations existent, et elles peuvent donner au même angle deux valeurs dilTérant entre elles d'un quart de grade. Cette valeur est aussi la limite d’exactitude de la lecture faite sur une bou.ssole, mais il faut bien observer que les deux erreurs de lecture et de variation de déclinaison pouvant s’ajouter dans certains cas, l’exactitude de l’angle ne sera obtenue qu’à on demi-grade près. Il ne faut donc pas demander ù cet instrument, très-avantageux du reste sous d’autres rapports, une trop grande précision et vouloir, comme on a proposé de le faire, le rendre propre à remplacer les instruments de géodésie, en apportant à sa construction des modifications destinées à mieux préciser les lectures.

L’inclinaison de l’aiguille, d’environ 73* à Paris, actuellement, exige que cette aiguille soit suspendue par un point autre que son centre de gravité, pour rester horizontale, comme cela est nécessaire pour l’usage de la boussole.

109. Le déclinatoire n’est autre chose qu’une aiguille aimantée, renfermée dans une boite rectangulaire, dans le fond de laquelle se trouve un limbe tourné de manière que la ligne nordsud soit exactement parallèle au plus grand côté de la boite.

Le moyen le plus simple et le plus généralement en usage pour trouver la déclinaison de l’aiguille aimantée suppose que l’on connaisse Tazimuth d’un côté de triangle, c’est-à^ire l’angle qu’il fait avec le méridien. On trace la projection de ce côté sur le papier, on oriente la planchette suivant cette ligne, puis ayant fait coïncider l’une des deux grandes faces du déclinatoire avec la trace d’un méridien, le chiffre auquel correspond l’extrémité de l’aiguille est l’expression de la déclinaison. Ëlle est actuellement de 22‘,5 vers l’ouest. Une autre méthode plus longue et moins exacte consiste, lorsqu’on n’a pas la projection d’un côté, à déterminer une méridienne par l’une des méthodes connues.

Ces deux procédés ne présentent pas une grande exactitude, en raison du peu de longueur de l’aiguille et surtout en raison de la double hypothèse sur laquelle ils sont fondés, hypothèse qui suppose le côté de la boite parallèle au diamètre 0.200 et le plan vertical décrit par l’axe optique de l’alidade employée à

l’orienUition, parallèle à la ligne de foi, lesquels parallélismes ne peuvent se vérifier directement.

Réciproquement, lorsqu’on connaîtra la déclinaison, on pourra orienter, par rapport à la méridienne, une levée sur laquelle serait tracée la projection d'un côté, et non les méridiens , car en posant le déclinatoire sur la planchette, orientée par rapport à cc côté, et le tournant Jusqu'à ce que l’extrémité nord de l’aiguille soit dirigée vers le chiffre de déclinaison, le côté de la boite donnera la direction du méridien et, par suite, fera connaître l’azimuth du côté projeté d’avance. Ce moyen n’est qu’approximatif, en raison du peu de longueur de l’aiguille d’une part et du côté de la botte de l’autre.

On voit qu'en ajoutant le déclinatoire à la planchette, on peut abréger les opérations par la facilité qu’il donne pour orienter et pour commencer la levée à un point quelconque dont la projection n’est pas donnée, pourvu que, pour la déterminer d’abord, on aperçoive des points connus. En effet, pour déterminer un point de station, avec la planchette et l’alidade, il faut apercevoir trois points connus et exécuter des opérations assez longues. .S'il y avait possibilité de se décliner directement, la connaissance de deux points serait suffisante, et les opérations consisteraient seufement à les viser successivement. Le déclinatoire permettra cette orientation immédiate. Il suffira pour cela d’avoir opéré d’abord en un point connu, de s’y être décliné avec une alidade et d'avoir noté alors le chiffre marqué par l’aiguille du déclinatoire fixé invariablement à la planchette. Toutes les fois que l’aiguille indiquera ce chiffre, l’instrument sera placé parallèlement à sa première position, et la planchette sera orientée , si on ne s’est pas éloigné du premier point d’observation d’une manière notable, c’est-à-dire de plusieurs lieues. Le chiffre ainsi marqué par l’aiguille du déclinatoire pourra être quelconque, mais invariable pendant les opérations ; il dépendra, en effet, de la position arbitraire donnée à la boite du déclinatoire, lorsque celle-ci aura été fixée sur la planchette.

La construction du canevas topographique doit se faire avec la planchette et l’alidade dont l’emploi fournit des résultats trèsexacts. L’addition du déclinatoire ne convient qu’à la levée du détail exécutée le plus habituellement à la boussole. Peut-être le premier mode de procéder est-il préférable au second, en ce qu’on évite par là les erreurs que l’on peut commettre en rapportant les angles, et qu’en même temps il y a économie de temps.

l’LAXlMKTIllË. — liNSTKlMKMÿ,

110. La boussole est, comme le déclinatoire, composée d’une aiguille aimantée suspendue sur un pivot et renfermée dans une boite. A celle-ci est adapté un genou qui repose sur trois pieds. Au fond de la botte est un limbe divisé ordinairement en grades et demi-grades. Le long de Tun des côtés est appliquée une alidade à visière, ou mieux une lunette assujettie à la boussole par son milieu autour duquel elle a la faculté de pivoter. La ligne nord-sud ouO* — 200» du limbe est parallèle à l'axe optique de la lunette; le point nord marquant 0«. On comprend de suite que si, mettant d’abord l’extrémité N de l'aiguille en face de 0" du limbe, de manière que la lunette soit dans la direction du méridien magnétique, on fait tourner ensuite la boussole pour viser un point de mire, la pointe de l'aiguille parcourra un arc dont la graduation donnera celle de l’angle que fait le côté observé avec le méridien magnétique. En faisant la même opération sur un autre côté, étant d’ailleurs toujours placé à la même station, on aura également l’angle de ce côté avec le méridien magnétique, et des deux on pourra conclure celui que forment les rayons visuels.

On pourrait encore lever avec une boussole dans laquelle la lunetteel le diamètre 0—200* ne seraient pas parallèles et dont on ne connaîtrait pas la déclinaison.

11 n’en sera pas moins facile d’avoir l’angle entre deux objets A et B (fig. 42) ; en effet, on trouve qu’après avoir visé A, le méridien magnétique et le diamètre 0* — 200" font un angle de 30* par exemple. Pour diriger ensuite la lunette sur B, le mouvement borizontal que l'on imprime à la boussole fait décrire à chaque point du système, et par conséquent, au point D, un arc de même amplitude que celui qui mesure AOB, car le rayon CO perpendiculaire à Aü devient CO' quand la lunette est dirigée suivant BO.

Les angles AO'B,BCO' sont égaux, puisqu’ils sont comprisentre des droites respectivement perpendiculaires. O’ailleurs, dans le mouvement, tous les points du limbe gradué, et par conséquent le point N ou 0*, ont parcouru des arcs égaux à OB' : donc si, dans la seconde position, c’est le chiffre 65 qui correspond à l’extrémité de l’aiguille, la différence 35 des deux lectures indiquera l’angle compris entre les deux objets visés. Oe cette manière, les triangles qui composent le canevas seront bien coordonnés entre eux, quoique orientés d’une manière arbilraire, et pour en rapporter l’ensemble à l'orientation généralement adoptée, il suffira

TOPOGRAPBIB.

de connaître l'aEimuth de l’un des côtés. Cette erreur se corrigerait en rapportant les angles, si l’on connaissait d’avance l’azimuth d’un côté.

lit. Pour éviter d’avoir égard A la position d’un côté de triangle à droite ou à gauche d'un méridien, on est convenu de compter tous les angles à partir de ce méridien de 0‘ à 400‘ du nord pour y revenir en passant par l’ouest , le sud et l’est, do sorte qu’il sullit de lire la graduation qui correspond à la pointe nord de l’aiguille j on voit qu’en vertu de cette convention les graduations de la boussole doivent aller du nord vers l’est. La levée que l’on exécutera ainsi sera orientée par rapport au méridien magnétique, et il sullira, pour la rapporter au méridien vrai, de faire tourner le cadre d’une quantité égale à la déclinaison.

.112. Si cette déclinaison est connue dprfor», et que l’on veuille lever de suite suivant la véritable méridienne , on fera tourner tout le limbe au moyen d’un mouvement qui lui est propre, d’une valeur angulaire égale à cette déclinaison, c’est-à-dire qu’on placera le chiffre de22',6(si telle est la déclinaison] sous l’index qui marque l’extrémité du diamètre ^S parallèle à la lunette. L’instrument ainsi préparé, en visant un objet dans la direction du méridien, le chiffre qu’on lira à l’extrémité de l’aiguille sera zéro: si l’objet est situé dans la direction du méridien magnétique, l’aiguille, le diamètre NS et la lunette, seront parallèles, et de plus, les deux premiers coïncideront, ce sera donc 22«,6 qu’on lira, etc. Donc enfln, avec la boussole ainsi déclinée, on obtient immédiatement les angles que font les rayons visuels avec la méridienne du lieu.

Pour servir, la boussole a besoin d’être réglée ou déclinée. En effet, ce qui précède a supposé qu’on connaissait exactement la direction du méridien sur le papier, par rapport aux projections des points donnés, et que de plus, le diamètre marquant le chiffre de la déclinaison était parallèle au plan décrit par l’axe optique de 1a lunette qui sert de ligne de visée. Quand même la première condition serait satisfaite (cequi peut ne pas avoir lieu, par exemple quand on fait une levée isolée non basée sur des opérations géodésiques et qu’on n’a pas déterminé exactement la méridienne), on ne peut pas savoir si la seconde condition l’est également, autrement du moins qu’en faisant le règlement même de la boussole.

PLANIMÉTBIB . — INSTRUMENTS . 119

Voici ta sente manière d’opérer qui puisse conduire à des ré- ^uttats exacts; etle devra toujours précéder l’emploi d’une boussote.

On trace sur le papier une série de parallèles au méridien ou à toute autre direction ; on se transporte ensuite en un point donné de la triangulation, on vise une direction également donnée, et on lit sur la boussole un certain angle Mesurant au rapporteur l'angle formé sur le papier, par la direction employée et par la ligne la plus proche de la série des parallèles, on obtient un autre angle <■' différent de «. On fait alors tourner le limbe gradué dans la boite de la boussole jusqu’à ce que, la lunette < restant pointée dans la direction choisie, la lecture « se change en celle du canevas. Si les lignes parallèles de la feuille de projection sont bien des méridiens, et si le diamètre qui porte l'indication NS est bien parallèle au plan de l’axe optique, ou si les angles formés par ces quatre directions prises deux a deux sont égaux et de même sens, le chiffre de la déclinaison du lieu sera marqué par la ligne NS ; sinon cette ligne marquera un chiffre quelconque.

113. Théoriquement, le limbe doit être horizontal, et le plan décrit par l’axe optique doit être vertical ; pratiquement, on se contente de remplir ces conditions à simple vue ; les erreurs qui en résultent sont sans importance relativement à celles qui proviennent de l’instrumenl lui-même. La seule vérification importante à effectuer consiste à s’assurer que le point de suspension de l’aiguille est bien le centre du limbe gradué, ou plutôt que le dernier est la projection orthogonale du premier. En effet, supposons, fig. 43, que C soit le centre, du limbe et C' le point de suspension, l’aiguille, qui aurait dû être en Cÿ marquant une lecture Oÿ, sera en C'G donnant une lecture OG en erreur de gG, qui peut aller de Of à l’angle eorrespondant à l’arc dont le sinus serait CC’dans un cercle de rayon égal àceluidu limbe.

Il est donc essentiel de s’assurer que les points C et C se confondent.

Si l’on pouvait être certain que les deux extrémités de l’aiguilleet le point desuspension sont en ligne droite, il sufifirait de faire la lecture à l’extrémité sud et de voir si elle diffère deSOOi de la première lecture faite à l’extrémité nord. Cette vérification n'étant pas facile à faire, on opère de la manière suivante. On retourne la boite de la boussole et, ramenant vers soi l’oculaire de

TOPOüHAl'Hie.

la lunelle, on vise le point qui avait donné la lecture OG ; tous les points de la boussole ont alors décrit des angles de 200* autour du centre du limbe qu’on peut regarder comme fixe. Le O des graduations vient en O', G en G', et l’aiguille aimantée prenant la direction G G' parallèle à C'G donne une lecture 0'G'= 200* 4- OG'. Si l’instrument avait été centré, les deux lectures Og et O'g eussent différé de 200' ; si les deux lectures réellement faites ne donnent pas eette différence, l’instrument n’est pas bien centré.

Il serait possible, à la rigueur, d’opérer avec un instrument ainsi défectueux j il suffirait de prendre pour valeur vraie de l’angle la moyenne de la somme des deux lectures et de la diminuer de 100>; mais cela serait très-incommode. Il vaudrait mieux faire retoucher l’instrument par le constructeur, ou même le corriger soi-même par tAtonnement, en infléchissant le pivot qui porte l’aiguille.

Il est important d’effectuer cette vérification sur plusieurs directions; ou ne s’apercevrait pas, en effet, de l’erreur si la direction choisie était telle que C et G' fussent sur le méridien magnétique.

La vérification dont nous venons de nous occuper a besoin d’être faite de temps en temps pour le même instrument déjà vérifié, car le support de l’aiguille aimantée est une tige dont l’extrémité très-menue peut être facilement déplacée.

1 14. On veut avoir l’angle que forme avec le méridien, le rayon dirigé sur D, fig. 45. On tourne la lunette sur ce point ; dès lors le diamètre de départ, prenant une direction GD' parallèle à OD, ne passe pas par D, cl cependant c’est l’angle formé par ce diamètre et l’aiguille que donne la lecture. On commet ici une erreur « qui est l’angle formé par les droites GD, GD ', a' et a sont égaux corn-

ro

mealternes internes et le triangle rectangle GOD donnesin.a'=4-.

L’angle « ou a> est donc très-petit, puisque l’expression de son sinus est la très-petite fraction dont le numérateur est le rayon de la boussole et qui a pour dénominateur la distance à l’objet visé. Gctte erreur angulaire est d’autant plus grande qu’on est moins éloigné du point D, et cependant pour une distance de 50", la correction est moindre de 13', quantité bien au-dessous de l’erreur que l’on commet dans la lecture. 11 est donc inutile d’en tenir compte, mais il était nécessaire de l’apprécier.

l'LANIBÉTRIF,. — INSTRUMENTS. 121