CHAPITRE X

mVKLlBXBNT TOPOGBAPHIQUB BT FIGDBB DU TBRBAIR.

192. Nous avons dit précédemment que la description complète du terrain se composait de deux parties bien distinctes : la projection horizontale, la planimétrie ou la levée et la détermination des ordonnées verticales de tous les points , ou le figuré. L’objet du nivellement topographique est de soumettre à des règles géométriques ce figuré qui jadis s’exécutait d’une manière tout à fait arbitraire et tenant plus ou moins du dessin d’imitation.

C’est ainsi que, dans les cartes anciennes, et dans quelques-unes même d’une date plus récente, les mouvements du terrain étaient figurés par un rabattement sur le plan horizontal ou par une espèce de perspective qu'on appelait perspecticecapa/ière. Plus tard, on abandonna ce procédé, qui avait, entre autres inconvénients graves, celui de cacher une grande partie des détails du plan, et l’on exprima la projection horizontale des formes par le moyen de hachures qui indiquaient à peu près le sens des pentes, mais elles n’étaient astreintes à aucune loi, ni pour leur longueur, ni pour leur grosseur, ni même pour leur direction.

On se servait seulement comme auxiliaires des moyens qu’offrent les oppositions de l’ombre et de la lumière dans la nature, ainsi l’on supposait le terrain à représenter éclairé par un faisceau

de rayons lumineux parallèles faisant avec l’horizon un angle de 60‘, et venant du nord-ouest. Cotte convention fournissait des effets variés qui faisaient apprécier, Jusqu’à un certain point, les relations de hauteur entre les sommités les plus prononcées, et dans les caries minutes, le travail du la%is venait au secours des hachures tracées préalablement. A mesure que la topographie faisait des progrès, on cherchait à rectifler l’exécution de ces hachures et à les astreindre à certaines conventions. On a fini par les définir rigoureusement sous le nom de lignes de plus grande pente, et enfin par les combiner avec les courbes horizontales.

193. Si l’on prétendait calculer les cotes de tous les points ou obtenir directement tous les points de courbes extrêmement rapprochées , l’opération serait impraticable; on se contente d'un certain nombre qui servent à conclure les autres. Si donc on conçoit le terrain à représenter coupé par une série de plans horizontaux équidistants et assez rapprochés pour que, d'une tranche à l’autre, la ligne droite la plus courte que l’on puisse mener par un point donné, jusqu’aux deu.v sections, puisse être considérée comme se confondant avec la surface, il est facile de voir que l’on pourra conclure la hauteur verticale d’un point quelconque M l/ig. 174), de celles des deux tranches qui le comprennent, car si l'on rabat le triangle ABB’ formé par la ligne de plus grande pente AB', par sa projection AB et par l’équidistanoe RB' des plans coupants, le point M se rabattra en M' et sa cote serait évidemment celle du plan inférieur augmentée de MM' qui est égale

à l’équidistance BB' multipliée par ou par

Le problème sera donc ramené à obtenir sur le plan les projections des sections horizontales du terrain. Pour cela, on calculera sur deux bases, s’il est possible, les dilTércnces de niveau d’autant de points qu’on pourra, puis on ira de l’un à l’autre en nivelant les profils AB, Bü, etc. (^g. 175) , cl marquant sur l’axe du nivellement les points de passage des courbes dont on a assigne d’avance l’équidistance, on repartira de ces points cl l’on ira d'un profil AB à un autre AE en nivelant chaque courbe en particulier.

Celte méthode, excessivement longue et pénible, ne peut être employée que dans un espace de terrain très-resserré et pour des plans spéciaux destinés à reernoir des projets de travaux particuliers et levés à une trt^-grandc échelle. La topographie à petites échelles, les levées pùüUùres surtout, exigent des oioyeas

FIGOBÉ DU TERRAIN.

plus prompts. On se contente de déterminer, comme nous venons de le dire, avec toute l’exactitude possible, les cotes d’un grand nombre de points, particulièrement les plus importants sous le rapport de la forme. On prend aussi de temps en temps les pentes du terrain relativement à l’borizon , et l’on en conclut certains points de passage des courbes. On réunit tous les points qui ont même cote et l’on intercale entre deux points nivelés le nombre de tranches indiqué par leur différence de niveau. Les inflexions de ces courbes et leur degré de rapprochement entre les points déterminés rigoureusement se déduisent du figuré à vue du terrain. On conçoit donc combien il est important d’exercer son œil à juger avec précision les ondulations les moins sensibles. Nous allons détailler la marche à suivre dans le nivellement ainsi conçu.

191. La première chose à faire sera de dessiner sur la minute le relief du terrain, en s’aidant pour cela du figuré partiel que l'on a déjà fait autour de chaque station pendant la levée du plan. Pour bien encadrer et saisir chacun des mouvements, on le considérera sous différents aspects, en se transportant sur les points éle\ és ; on marquera avec soin l'origine, la fin et les changements des pentes ; ce premier travail fera reconnaître les parties du terrain uniformément inclinées et celles dont l’inclinaison augmente ou diminue. On devra relever avec la plus scrupuleuse attention les lignes de faîte ou départagé et les thalwegs ou lignes de réunion des eaux,

195. Ces deux sortes de lignes que nous allons définir sont, de toutes celles qui servent à figurer rapidement les formes d'une portion du globe, les seules que l’on puisse lever géométriquement, eu raison de leurs propriétés caractéristiques. Pour les premières, leur qualification indique assez que de toutes les directions partant d'un point, la ligue de partage est celle qui a le moins de pente, quand ou envisage le terrain de haut en bas, de telle sorte que les eaux pluviales qui tombent sur la surface du terrain sc séparent suivant cette ligne pour s’écouler à droite et à gauche. De là résulte encore qu’entre deux plans consécutifs elle est la plus longue de toutes les normales aux sections horizontales. De sa propriété caractéristique , on déduit la manière de la trouver. En effet, l’éclimètre étant placé en un point, on mesure l'inclinaison suivant plusieurs directions, et la plus petite indique la ligne de faite. Ce serait le contraire si l'on était

nu bas de la pente et que l’on dût la suivre en montant, car alors la ligne de pente serait la plus inclinée, toute autre direction ferait un plus petit angle avec l’horizon et serait comprise entre la . courbe horizontale et la ligne de faite. Marchant et mesurant sur cette ligne , jusqu’au moment où elle change de direction, une opération analogue en détermine le prolongement et ainsi de suite. Puisqu’elle est la plus longue de toutes les lignes du terrain qui, partant d’un même point, vont aboutir à la section horizontale placée au-dessous, il s’ensuit que sur elle se trouveront les points saillants des courbes, c’est-à-dire, qu’elle sera le lieu géométrique de leurs points de remboursement. Il en sera de même des thalwegs ; il est seulement à remarquer qu’ils seront ordinairement beaucoup plus faciles à trouver, parce qu'ils sont indiqués souvent par des rivières , des ruisseaux ou des fos- • sés dans lesquels se réunissent les eaux qui descendent des deux versants. Il faut observer encore ici que la déQnition d’un thalweg doit exprimer dans quel sens on le considère ; si en effet, on l’observe de haut en bas*, il est la ligne de plus grande pente : car, en visant à sa droite ou à sa gauche, la direction se rapproche de la courbe horizontale ; quand , au contraire , c’est de bas en haut qu’on l’envisage, il est la ligne de plus petite pente.

Si la surface est telle que l’inclinaison du terrain soit uniforme autour de la station, les normales qui vont rencontrer la courbe inférieure sont toutes de même longueur, et il n’existe pas de ligne de partage. C’est ce qui arriverait sur une demi-sphère (fig. 176), ou sur un cône droit {fig. 177) : les sections faites dans ces deux solides donneraient des cercles concentriques.

Si nous prenons un cône oblique (fig. 178), la ligne de partage SA sera d’autant plus évidente, que l’obliquité de son axe sur le plan horizontal sera plus grande, et les normales en seront aussi d’autant plus inégales de longueur. La flgure 178 suffît encore pour faire voir que le maximum de courbure correspond au maximum SA et au maximum SB de longueur des normales. Les propriétés que nous venons de signaler suffisent pour faire sentir de quelle importance sont ces lignes pour obtenir un tracé rationnel des courbes horizontales.

196. Lorsqu’on sera très-exercé au flguré du terrain pour lequel on emploiera les procédés et les signes dont nous parlerons à l’article du dessin topographique, on pourra faire simultanément les deux opérations du dessin à vue et de la recherche des

riCl'JU? DU TF.nRMN. 209

cotes de niveau. Jusque-là, il est bon de les séparer; on en retirera cetavanUige, qu’après la première opération, on saura, d’une manière très-précise, quels sont les points les plus importants à niveler, parce qu’ils caraclérisentdavantage les formes, et qu’ainsi l’on évitera un grand nombre de tâtonnements et des opérations inutiles.

197. Nous avons donné, SS 179 et 18t, la formule usitée pour le calcul des cotes, et nous avons parlé des tables que l'on y emploie : l’opération est peut-être plus simple encore au moyen d’une table de tangentes, calculée de 5 en 5 minutes pour les dix premiers grades, et de 25' en 25' pour les autres jusqu’à 40*. On n’a qu’une multiplication à faire. Du reste, pour les angles intermédiaires, on fait aussi une interpolation.

Si l’on connaît d’avance les cotes de certains points trigonométriques, on se transporte d’abord et successivement à chacun d’eux pour s’assurer qu’ils s'accordent ensemble , sinon on les rejette. Supposons qu’on n’en ait aucun, on se place à l’un des points de sa propre triangulation, auquel on attribue une cote arbitraire, 100, 0 ou tout autre nombre. On y observe les distances zénithales doubles de tous les autres points du canevas, de ceux du moins qui sont visibles. On emploie, pour cela, la méthode indiquée pour régler l’éclimètrc : on lit les deux verniers, et l’on en déduit les distances zénithales aussi parfaites que le comporte l’instrument et, par suite, les cotes de tous les points visés. On opère de même, à chacun des points principaux, pour avoir des vériQcations; puis ensuite, pour les points de détail, on se borne à observer les distances zénithales simples. On se transporte, supposons, au sommet d’un mouvement de terrain d’où l’on découvre plusieurs des points trigonométriques nivelés : on détermine sa position par des alignements, des angles pris sur des repères, etc. ; on prend les distances zénithales de tous les points déjà nivelés visibles et celles d’autres points que l’on juge être importants, et que l’on a déjà remarqués pendant le figuré à vue; enfin, on relève les angles de pente dans les différents sens où elle parait uniforme pendant une certaine longueur : tout à l’heure nous verrons dans quel but.

On parcourt de cette manière tout le terrain, en stationnant aux points caractéristiques. On détermine les sommets, plusieurs points des ravins, thalwegs, ruisseaux, etc., les confluents des cours d’eau, leur entrée dans la levée et leur sortie du cadre, les

points OÙ les pentes changent d’intensité, leurs origines supérieure et inférieure. On ne pourra ajouter une grande confiance qu’à ceux qui auront été obtenus par deux obscn alions au moins. Tous lesangles observés, la désignation des stations et des points auxquels on ne s’est pas transporté, les hauteurs d’instruments, enfin tous les éléments recueillis sur le terrain, seront insérés dans le registre indiqué S 184.

i9S. Quand les cotes sont calculées et rapportées, soit au niveau de la mer, soit au point le plus bas du terrain levé, on les inscrit sur la minute} puis, pour tracer les tranches, on part de l’un des points, de A {fig. 179) : en ce point, l’on a mesuré les angles de pente suivant AB,AC,AD : on multiplie les cotaugentes de ces angles ou les tangentes des distances zénithales qui en sont les compléments, par l’équidistance adoptée, et l’on obtient les distances horizontales des projections de courbes. Ceci est fondé sur les relations qui existent dans un triangle rectangle, entre les deux côtés de l’angle droit et la tangente de l’un des angles. M. le chef d’escadron Maissiat avait calculé des tables qui donnaient immédiatement ce résultat} on y entrait avec l’équidistance et l’angle. M. le capitaine Üuhousset, dans son application de la géométrie à la topographie, en a inséré un« semblable, modifiée en raison des nouvelles conventions établies pour figurer les accidents du terrain. Si nous supposons que l’équidistance relative à la fig. 179 soit 5 mètres, la tranche immédiatement au-dessous de A, dont nous prendrons 6.1 pour cote, sera 60. Les points de passage b,c,d de cette courbe sur AB, AC, AD s’obtiendront en portant sur chacune de ces directions et à partir de A les g des distances des courbes, correspondant aux inclinaisons respectives} puis, à partir de b,c,d, on portera ces distances horizontales bb',bU, cc', cC, dd',d'l), eic., jusqu’aux points où la pente change } et pour cela, on s’en rapportera au figuré à vue. Réunissant ensuite tous les points qui ont môme cote, on arrivera à une expression des courbes horizontales très-rapprochée de la vérité. Pour reproduire les aceidenls particuliers du terrain qui peuvent exister entre les profils AB, AC, AD, on infléchit les courbes d’après le figuré à vue.

199. Nous terminerons ce qui est relatif au nivellement topographique par quelques remarques sur l’exactitude qu’il comporte et sur les vérifications qui assurent cette exactitude.

On a facilement conclu des paragraphes précédents que le

Fif.i’m? nr terbain.

moyen le plus exact d’eflceluer un Divellemcnt est celui qui repose sur la détermination d’une suite de profils, ou sur celle des courbes de niveau suivies pas à pas. Ce moyen, applicable aux travaux du génie militaire ou h ceux qui se rapportent à des projets de construction, ne peut plus convenir, avons-nous dit, lorsqu’il s’agit de lever une carte de quelque étendue. Le nivellement topographique vient alors en aide à l’ingénieur, qui détermine un certain nombre de cotes et qui en conclut indirectement celles de tous les points du terrain levé, par le tracé des courbes. Si on se reporte en pensée à ce que nous avons expliqué relativement à cette dernière opération, on en conclura qu’un tel travail, basé mémo sur des cotes exactes , n’a pas une précision mathématique ; il ne faut raisonnablement lui demander que des indications approximatives. Pour arriver à ce résultat, les cotes doivent avoir été calculées am moyen d’obscnalions faites elles-mêmes très-exactement, par Informulé

d.N = Kcol.J+ 0,42. Y +

Quelque soin qu’on oit apporté dans les observations, elles seront toujours entachées de quelque erreur.

Pour un nivellement relatif à une levée régulière, le seul instrument à employer est l’éclimètrc. Théoriquement, il peut donner les angles avec une grande approximation j dans la pratique, les résultats seront entachés d’erreurs provenant de plusieurs causes plus ou moins inlluenlcs. Ces causes sont les suivantes :

1° Rotation de la lunette autour d’un point différant quelque peu du centre du limbe;

2» Non verticalité du limbe ;

3° Non parallélisme de l’axe optique et du plan du limbe ;

4» Correction incomplète de l’erreur de collimation ;

6» Imperfection de l’oeil et jeu de la lunette {Optique, — Applications) ;

6“ Lecture de l’angle.

Toutes ces causes combinées entachent les angles d’erreurs plus graves que celles qu’on se croirait, à première vue, en droit de ne pas tolérer.

Influence d’une erreur angulaire. Celte erreur n’a d’influence que sur le terme K cot<r = K tang.H, en désignant par H l’angle

ù l’horizon. Si, au lieu de ineltre H dans le calcul de ce terme, on y introduit l'angle affecté d'une petite erreur h, il deviendra, approximativcnicnl,

K taDg.U-|-KA

l’erreur sur la cote sera Kh.

Il sera donc avantageux de se servir de bases petites. Influence d'une erreur de base. La planimétrie, quelque bien faite qu’elle soit, ne donnera le càté K exactement que par hasard; il sera presque toujours augmenté ou diminué d’une petite erreur k, qui influera sur les deux termes de la différence de niveau ; voyons d'abord ce qui aura lieu pour le second. Au lieu K*

de 0,42 -jj-, on prendra involontairement

en négligeant A* excessivement petit. L'erreur sur la différence 2KA*

de niveau sera -jp, dont le rapport avec le terme lui-méme ik

sera y* >

k sera toujours assez petit par rapport à K, pour que l’erreur

résultant du produit du terme 0,42 facteur soit né-

gligeable, puisque nous savons que ce terme est lui-méme toujours très-petit.

il reste à examiner l’influence de k sur le terme principal de lu ditférenc.e de niveau K tang.H.

L’erreur qui en résulte est évidemment

k lang.11

qui sera d’autant plus petite qu’on observera de petits angles à l'horizon.

Influence des erreurs simultanées d’angle et de base. En négligeant la partie qui provient de l’effet des deux erreurs l’une sur l'autre, l’eireur totale sera

R=K/< + Alang.H.

Pour être petite (indépendamment des cas de compensation imprévue), cette erreur exige, outre l’exactitude des opérations, , qu’on observe i>rorhc de l’horizon et sur de petites bases.