CHAPITRE XIII

220. Nous avons, en exposant les premiers principes de la topographie, S 76, parlé de l’impossibilité qu’il y aurait d’appliquer à cette branche de la science descriptive la méthode dans laquelle on fait usage de deux plans de projection. Nous avons dit comment on pouvait supprimer l’un d’eux en indiquant, par des chiffres, sur l’autre, les distances des points principaux à ce dernier, (ie procédé, qui convient parfaitement lorsqu’il s’agit de décrire des corps ou des surfaces de formes peu compliquées, facilement définissables, manquerait le but qu’on veut atteindre, lorsqu’il s’agit de question de topographie proprement dite. Aussi avonsnous de suite indiqué quelles modifications on y apporte , lorsqu’il faut repré.senter, sur une surface plane, les ditl'érentes circonstances que présente le terrain. Les sections horizontales cotées, les lignes de plus grande pente dont on fait usage ne sont qu’une modification, ou plutôt qu’une application de la théorie que nous allons exposer dans ce chapitre.

C’est particulièrement dans les projets , dans les tracés de fortification, qu’on se sert avec fruit des plans cotés, et qu’on résout ainsi une grande quantité de problèmes dont la solution serait infiniment moins simple, si l’on ne savait se servir que des méthodes générales de la géométrie descriptive.

221. Les objets que l’on peut se proposer de décrire se rapportent nécessairement à l’nne des catégories suivantes :

Un point;

Une ligne droite ou courbe ;

Une surface plane ou courbe.

Un point est parfaitement déterminé par sa projection et sa cote.

La position d’une droite étant établie, par la condition qu’elle passe par deux points, il s’ensuit qu’il sutlit de connaître les projections et les cotes de deux de ses points.

Si la ligne est une ellipse, dont la projection doive être un cercle, la position de trois points et leurs cotes suiiisent.

Pour une courbe quelconque, plane ou à double courbure, les projections des points donnés doivent être d’autant plus multipliées, qu’on veut obtenir plus de précision. Quant aux cotes, il sullitd’en connaître trois, pour le cas où la courbe est plane.

Une surface est décrite par des sections horizontales équidistantes, qui donnent des droites parallèles lorsque la surface est plane, et des courbes pouvant affecter les formes les plus variées, lorsqu’on s’occupe de surfaces qui ne sont pas planes.

2'22. L’échelle de pente d’une droite ou d’un plan fournit le moyeu de connaître l'iucliuaisou de l'un ou l’autre sur le plan de projection.

Soit A'B^ {fig. 11, planche XX), la projection d’une droite que nous supposons rabattue sur le plan horizontal. Ce rabattement, procédé dont on ne fait pas usage dans la méthode des plans eotés, n’est Uguré ici que pour aider les esprits qui ne sont pas encore familiarisés avec celle branche de la géométrie.

üésiguons par oi el [i les cotes qui représeulenl les distances A.V et Ull' des points À cl U au plan horizonlal. La tangente de

l’inclinaison de la droite

Si l'on veut diviser A'B , de manière que les divisions soient les projections de points qui s’élèvent ou s’abaissent successivement les uns sur les autres de mètre en mètre, on cherche la ligne AU correspondant à une verticale CD qui soit un mètre : elle est fournie par la proportion

B- a ; AF. : : t- : ad d’où ad

Maintenant, pour diviser la ligne totale et même prolongée au besoin, en portions égales à AU, et faire en sorte que les points A' et B' occupent exactement, sur l’échelle, lu position qu’iudi-

liiO TOPOOtUPHIK.

quenl leurs cotes, on cherche, toujours à l’aide de la même proportion modiQéc, rintcrvallc horizontal qui doit séparer 1 un d'eux du noiubrc entier de mètres le plus voisin. La môme figure sutlil pour faire mieux comprendre, puisque l’on peut tout aussi bien supposer que CD représente une fraction quelconque du mètre. Dans ce cas, A Ü' indique la fraction correspondante de l’horizontale. (Voir l’exemple représenté par la /ijy. 12.)

En opérant de la même manière par rapport au second point donné, on a un moyen de vérilicalion.

La projection ainsi divisée est l’échelle de pente de la droite.

La suite des normales, qui aboûlisseut les unes aux autres sur les sections consécutives d’un plan topographique , sont autant d'échelles de pente partielles qui varient d’intensité si les courbes se rapprochent ou s’éloignent horizontalement. Lorsque l’échelle du dessin est assez grande, et quand l’inclinaison est assez faible pour le permettre , on divise l'une des parties qui correspondent à 1“, en 10, quelquefois même l’une de celles-ci en 10 encore, et l’on a les bases de hauteur exprimées en décimètres et en centimètres. Itien de plus facile maintenant que de trouver la cote d'un troisième point C d’une droite, lorsqu’on eu connait la projection, ou réciproquement, de trouver 1a projection du point qui aurait pour cote un nombre fixé d’avance.

Si d’abord la projection D', fig. 12, planche XX, est donnée, on a .VB' .AD';;? — a : DC, d'où la quantité à ajouter à la cote

du point inférieur, ou VB'

En second lieu , CD est connu, c’est A'D' que l'on cherche, donc il faut transformer la proportion en l’équation suivante:

(yS-a)