D'uDobiectifO
3* D'un réticule R dont le plan forme en quelque sorte l'écran sur lequel doit se produire l'image ;
S* D'un oculaire 0'.
Ces trois parties de la lunette correspondant à trois tubes susceptibles chacun d'un certain tirage.
fig. il.
Le tirage de l'oculaire a pour but de mettre le réticule & la distance de la vue distincte de l'observateur.
Le tirage du réticule a pour but de placer ce dernier au foyer conjugué de la mire. On s'aperçoit que cette image est au foyer, lorsqu'elle est bien nette et qu'en déplaçant l'œil on n'observe pas de paralltixe, c'est-à-dire que le réticule ne semble pas changer de place par rapport à l'image.
Les triangles semblables A B, a b donnent :
r désignant ici ta distance du réticule au centre de l'objectif, D la distance du centre de l'objectif à la mire, h la hauteur du réticule, H la hauteur interceptée de la mire.
comme dans le cas de la stadia. Mais ici r n'est pas constant, il varie avec D suivant la relation ^'
r "^ D ■" /^ f désignant la distance focale de la lentille objective.
Dans les lunettes employées en topographie, /» O'^SO à 0"40 et r en diffère au maximum de 0*"006 pour des distances de 20 à 700 mètres. Pour des distances de 100 mètres, la variation de r, par rapport à la distance focale, est donc très faible, mais il faut néanmoins en tenir compte, parce que r intervient comme multiplicateur.
Il existe trois moyens de remédier à la variabilité de r :
l'» Procédé de 3/. Liaçre (i).
Cette méthode consiste à se servir de la lunette astronomique comme de Tancienne stadia, en ayant soin de choisir la longueur d'étalonnage de telle sorte que toute correction soit négligeable. Cette méthode ne peut toutefois s'appliquer, comme nous le verrons, que pour une échelle assez petite.
Calculons d'abord le maximum de la correction à faire subir à la mesure d'une distance pour tenir compte de la variation de r.
Soit D la distance d'étalonnage qui a servi à déterminer le
r rapport -=—•
Soit D' la distance réelle à mesurer.
Au lieu de cette valeur, on obtient une valeur À donnée par
en appliquant le rapport constant -r- ^ 1& hauteur H'.
(*) Bulletin de l'Académie royale de Belgique, i^ s^rie, t. XX et XXt.
On peut imaginer que cette valeur À corresponde à une distance focale conjuguée représentée par p et donnée par :
En divisant membre à membre les équations (2) et (3), il vient :
d'où
ùi r
b' — A est la valeur de la correction à apporter à A pour avoir D'. Â cause de la faible difTérence des valeurs r, r' et p, nous pouvons sans inconvénient substituer Tune à Tautre dans Texpression de cette différence et nous écrirons par approximation :
Les équations (1) et (4) donnent :
d'où s- =» p --=7T —
r ^ DA
En substituant dans la valeur de la correction, il vient :
et nous pourrons écrire par approximation la valeur suivante de la correction, qui pourra être aisément calculée.
D — A Bs r — =r —
Dans cette expression, r diffère très peu de f^ soit donc de 0"40. Si Ton a eu soin de choisir la distance dMtalonnage D plus grande que toutes celles que. l'on aura à mesurer, la fraction
— =- — sera toujours plus petite que l'unité et la correction sera
toujours plus petite que r. Si nous prenons r = 0"*40, l'erreur sera donc toujours inférieure à 0">40, ce qui indique dans quel cas on pourra employer cet instrument et ce qui fait, connaître aussi l'échelle du plan.
On pourra, en effet, négliger la correction pour toute échelle pour laquelle la longueur de 0'"40 est négligeable sur le terrain. La longueur négligeable sur le terrain étant représentée par
, nous poserons = 0«40, pour déterminer
oOOO oiKJU
l'échelle — à partir de laquelle nous pourrons nous passer de m
correction et employer la lunette astronomique; comme si
c'était une stadia sans lentilles.
En tirant la valeur de m, on obtient m » 3200 ; donc pour
toute échelle inférieure à la correction ainsi calculée
est négligeable. ■ " ^
G^est notamment le cas des cartes topographiques. Mais pour les études de chemins de fer, on travaille généralement à des échelles plus grandes et l'emploi de la lunette astronomique n'est plus applicable sans corrections.
La réduction des distances à l'horizon se fait de la manière suivante : soit l'appareil installé au pied d'une pente (Qg. 12). On vise, sur une mire verticale, une hauteur ab «= H interceptée par les fils extrêmes du réticule. Soit a Tinclinaison de Taxe optique.
En supposant la mire disposée en c d perpendiculairement
à l'axe optique, la distance oblique ô7 est donnée oe = cdXj
On peut, par approximation, poser cd'= âbcoa x = H eos a.
etôf — i-Hc(M*«.
Oq peut ge servir de tables donnant la projection horizontale des multiples de 10 mètres, de degré en degrâ.
Fig. 13.
2* Procédé de Reiehenbach.
La méthode de Reiehenbach, ingénieur bavarois, mort en 18i26, a été employée dès 18iO k 1850 dans l'étude des chemins de fer bavarois et elle est encore souvent appliquée en Allemagne, telle que Reiehenbach l'a conçue.
Reicheobach fait l'élimination de r entre les équations :
et D-4 H
On obtient ainsi :
D^-in + r.
On voit que la valeur de D se compose de deux termes ; Pun est proportionnel à H» l'autre est la distance focale f.
La distance mesurée à partir du foyer principal antérieur de Tobjectif est donc proportionnelle à H.
La distance D est mesurée à partir de l'objectif^ ce qui est incommode ; on la ramène à Taxe de Tappareil, en ajoutant une constante que le constructeur peut rendre égale à 0,5 f.
La distance E comptée à partir de Taxe de Tappareil est ainsi :
h c et c' représentant deux constantes .
On peut déterminer ces constantes en opérant sur deux distances connues.
On peut ensuite graduer une mire de manière à y lire directement la distance E^ mais cette mire ne peut servir qu'à la mesure des distances et non au nivellement qui doit s'opérer simultanément. Il est préférable d'employer une mire
ordinaire et une lunette dans laquelle le constructeur a choisi
f pour -j- un multiple de 100.
f Soit, par exemple, y- •» 100.
On aura :
D'où E ■»**'~ ■=■ H «•»*»•»*'"• -f- c'.
Le calcul des distances est ainsi beaucoup simplifié, car on n'a plus qu'une constante à ajouter à l'indication de la mire.
La réduction à l'horizon peut se faire de deux manières.
i" En tenant la mire verticalement (flg. 13). Soit ab ■ ed = H'. On a par approicimation H' «- H coa tx.
rig. )3.
La distance oblique Oe = 100 II cos x -f t'.
Sa projection /" = E' = 100 H cos* a -\- c' cot a, mais c'
étant au maximum égal à O">60, et l'angle a étant compris dans
des limites peu étendues, on peut prendre c' pour sa projection
et écrire simplement :
E' = -iOO H eoi* a + c', de sorte que le coefficient de réduction à l'horizon n'aCTecte que le premier terme.
2> En Allemagne, on opère généralement en inclinant la mire perpendiculairement à Taxe optique (flg. 14). La mire porte pour cela une petite règle à pinulcs, fixée à la hauteur de 1"50, qui permet de viser vers l'appareil.
On aura pour la dislance oblique Oe == E =■ 100 H + c'. La projection horizontale E' doit être mesurée jusqu'au pied de la mire ; elle se compose de deux parties 0^ et gh.
Og = E cos a.
ac = V est la hauteur de pointage du fil axial. gh = V si» *.
D'où E' = E cos a "t- V un %.
Fig. 1 1.
3* Procédé de Porro.
Porro, odlcier piémontais, puis professeur à Milan, a imaginé de modifier la lunette astronomique de manière & supprimer Tadditioa de toute constante et à rendre directement proportionnelles à H les distances mesurées à partir de l'axs de l'apparcit.
Nous avons vu ci-dessus que dans une lunette aslronomique (flg. 15), il existe un point idéal F, à partir duquel les distances sont proportionnelles à H; c'est le foyer antérieur de l'objectif.
Fig. is.
Porro appelle un tel point le centre aiiallafiijue du systèma. Ce point jouit de la propriété suivante :'
Pour une image de hauteur donnée h, la hauteur de mire H est vue de ce point aoua un angle u constant. Cet angle est dit : angle diaatimométrique.
Porro est parvenu, en 1823, ft déplacer ce point de manière & le ramener dans l'axe vertical de Tapparei! par l'intercalation d'une seconde lentille du c6té de l'objectif .Cette lentille est dite anallatique et l'on donne également ce nom à la lunette de Porro (fig. 16).
Soit en I l'objectif proprement dit et en II ta lentille anallatique. Celte lentille est placée de telle sorte que son foyer principal F, soit situé entrs la lentille I et le foyer principal F, de celle-ci.
Les rayons passant au point F, donneront naissance, par rapport & la lentille I, à un foyer conjugué virtuel, situé en C.
Le point C est le centre anallatique du système.
Pour démontrer cette proposition, il suSlt de prouver que ce point jouit de la propriété ci-dessus; c'est-à-dire que pour une image de hauteur h donnée, l'objet H est ru du point C sous un angle u constant.
Dans le triangle ABC, en désignant la base A B par x et la hauteur C G par !/• on a :
î,sl|.(i).
Soit a la distance des lentilles I et H.
. Soit f, et /', les distances focales de ces f'8- « lentilles.
Les triangles semblables  B F, et E D F, donnent :
d'où s ■= —; —.
D'après la propriété des foyers conjugués virtuels, on a :
i ±JL
" — ff y " fi
En remplaçant dans (l), il vient :
expression qui montre que co est une quantité constante.
H La distance G H est donc exprimée par — — .
Remarquons que cette valeur est absolument indépendante du tirage du réticule, en effet, ce tirage s'effectue dans la région de la lunette où les rayons sont parallèles à Taxe. Ce tirage ne cesse pas toutefois d'être nécessaire, car Timage se formera plus ou moins loin^ suivant la distance à laquelle se trouve l'objet H.
La valeur 2 t^ -- dépend de a, de h et des distances focales.
Le constructeur peut disposer de ces éléments pour donner à
2 tg-^ la valeur la plus convenable.
On fait généralement 2 /fif — == —jr.
Le constructeur doit, de plus, avoir égard à la valeur de y pour placer le centre anallatique dans Taxe de rappareil;i/
égale alors environ -jr-.
Posons !/•=» — et reportons -nous à l'équation :
i il
t^ étant positif^ le premier membre doit être positif.
r est donc > — ou > —
f, est donc > ^-ou > t/,
conditions que le constructeur pourra remplir, mais qui l'obligeront à n^eniployer que des lentilles à distance focale limitée.
C'est pourquoi certains constructeurs allemands rejettent la méthode de Porro pour prôner celle de Reichenbach. Cependant la méthode de Porro n*exige l'addition d'aucune constante; elle est par cela même beaucoup plus simple et plus pratique que la méthode allemande.
Si la construction de la lunette a présenté quelque compli^ cation, l'opérateur n'a plus à s'en préoccuper et il se sert de la lunette anallatique comme de l'ancienne stadia, en appliquant pour la mesure des distances une formule des plus simples.
Les appareils primitifs de Porro qui ont été Tobjet de rapports très élogieux de la part de l'Académie des Sciences de Paris et d'une Commission nommée par le Gouvernement fran^is (i), étaient très soignés au point de vue de la construction,mais ils étaient très délicats et leur prix élevé (4,<XK) fp.) les rendait peu pratiques.
La lunette anallatique de Porro était à peu près oubliée, lorsque M. Moinot, ingénieur à la Compagnie de Paris-Lyon- Méditerranée, fit construire, en 1856, un appareil fondé sur le môme principe, mais beaucoup moins délicat, moins coûteux, tout en permettant une approximation suffisante pour les études de chemins de fer.
(*) Y. Annala dcê Ponu 9t Ckaufêéa, Tomo IV. i853.
L'appareil construit par M. Hoinot sous le nom de tachéo^ mètre permet, d'ailleurs, comme l'appareil primitif de Porro« outre la mesure des distances, celle des angles et celle des différences de niveau ; son emploi a conduit à une nouvelle méthode d*études de chemins de fer, dont la règle à calculs est devenue Taccessoire obligé. Cette méthode est connue sous le nom de tachéométrie ou ietachymétrleei n'est pas moins exacte que l'ancienne méthode par profils en long et en travers, qui exigeait de nombreux chaînages. Par sa rapidité plus grande et par la réduction de personnel qu*elle permet, la nouvelle méthode a certainement contribué pour sa part au grand développement des chemins de fer et notamment des chemins de fer de montagnes. Depuis sa première application faite en 1856 par M. Moinot sur la ligne de Nice à Gènes, elle a été successivement employée dans la plupart des pays de l'Europe, sauf, peut-être, dans l'Allemagne du Nord. C'est alors, qu'en présence du succès du tachéomètrey on s'est souvenu, dans ce dernier pays, de la méthode de Reichenbach qui y était à peu près délaissée et que l'on y a construit, sous le nom de tachymètresj des appareils plus ou moins analogues au tachéomètre, mais sans lunette anallatique.
Nous avons vu précédemment que le constructeur dispose de
divers éléments pour faire 2 fjr - «= — -.
Dès lors D » 200 H.
En se servant d'une mire parlante (i), graduée en demicentimètres, on lira donc directement la distance sur cette mire. Il suffit d'ailleurs que la mire porte des divisions de un centimètre, pourvu que sa graduation soit en' dêmT-cëntimètres.
Ainsi le chiffre 1 inscrit sur la mire correspond à 100 demi-
es On appelle mire parlanu une mire sur laquelle l'operateur lit' directement les graduations à Taide de la lunette de l'appareil.
centimètres, le chiffre 2 à 200 demi-centimètres et ainsi de suite.
On amène généralement le fU inférieur du réticule sur la division 1, le fil supérieur tombe alors sur une division quelconque, soit la division 110. La hauteur H est donc é{[ale à 110— 100 = 10 demi-cendmètres et la dislance supposée horizontale sera de 10 mètres.
La diiTérence entre les deux graduations marquées par les lils extrêmes du réticule porte, en tachéométrie, le nom de nombre générateur et se désigne par la lettre g.
Si Ton fait usage du fil axial et d'un des fils extrêmes,
h sera réduit de moitié, de même que 2 tg — qui estpropor-
tionnel à h. Le coefficient sera donc doublé ; il suffira
de doubler le nombre générateur g^en conservant le coefficient
Pour réduire à l'horizon, on opère toujours avec la mire tenue verticalement et Ton détermine Tangle zénithal V de Taxe optique (fig. 17). En admettant que cd est la projection
de a6, la distance oblique oe «■ H siw V = gr sin V et sa projection 0/'= 5f stn-V(i).
II est plus avantageux de considérer Tangle zénithal V que l'angle de pente a, parce que, pour ce dernier, il faut tenir compte du signe, suivant que la pente est au-dessus ou au-dessous de rhorizon, tandis que l'angle zénithal est toujours positif.
— H b> H fin *V
(M La formule exacte sérail o/= Uin *\ — «/w*— -) au lieu de . Dans
le cas le plus défavorable, on peut démontrer que cette dernière formule ne donne
pas une erreur de plus de de la valeur de of.
La valeur g sin »V se détermine soit au moyen de tables, soit au moyen de la règle à calculs, sans laquelle la méthode tachéométrique ne saurait présenter le caractère de rapidité qu'elle doit posséder.
Fig. 47.
Si la lunette devait recevoir une trop grande . inclinaison pour viser la division 1, on pourrait sans inconvénient viser la division 2 ou 3.
Voyons quelles sont les limites d'approximation de celte méthode.
La lecture de g peut donner lieu à une erreur maximum de 7» de centimètre à 100 mètres de distance. En terrain horizontal, il en résultera une erreur de 0"'50 sur la distance;, transportée h l'échelle de i/aooo, cette erreur sera de '/^ de millimètre sur le papier. A 200 mètres de distance, l'erreur serait de 7i millimètre.
Pour des distances réduites à l'horizon, l'erreur serait moindre.
Pour les études de chemins de fer, il n'est pas nécessaire d'obtenir une plus grande exactitude.
L'erreur est toutefois plus grande, si l'on se sert du fil. axial et d'un des extrêmes, parce qu'en doublant le nombre' généi^a-^ teur, on double aussi l'erreur.
— sali est très important que la mire soit tenue bien verticalement, elle est généralement munie pour cela d'un fil à plomb. Une faible inclinaison de la mire en avant ou en arrière, donne lieu à une erreur qui croit rapidement avec Tobliquité de Taxe optique, avec le nombre générateur et avec la hauteur de pointage du fll axial (i).
La lunette anallatique doit présenter un moyen de rectification pour le cas où la mesure des distances ne satisferait plus exactement à Texpression D =r-. SSOO H.
La constante 200 dépend de la distance a des deux lentilles ; c'est pourquoi la lentille anallatique se trouve placée à Tintérieur de la lunette dans un tube spécial susceptible d*un petit mouvement en avant ou en arrière.
Pour vérifier la lunette, on mesure soigneusement une longueur de 200 mètres en terrain horizontal et Ton vérifie à la lunette,si pour cette distance on obtient exactement g^ 200. Sinon Ton déplace le tube anallatique jusqu'à ce qu'on ait cette valeur. On peut, à vrai dire, déplacer ainsi le centre anallatique qui ne sera plus exactement dans Taxe de l'appareil; mais Tamplitude du déplacement ne dépassant en aucun cas 2 à 3 centimètres, il est sans influence sur la mesure des distances dans les limites d*approximation de la méthode.
Le réticule est gravé sur une lentille faisant partie de l'oculaire ; ce genre de construction est de beaucoup préférable aux réticulés en fils d'araignée qui se déchirent facilement et sont soumis à l'influence de l'humidité, ce qui altère la valeur de
