A. — TRACÉ DES ANGLES

Les appareils dont on se sert pour tracer sur le terrain des angles donnés, sont les équerres. On distingue les équerres h pinules, à miroirs et à prismes.

Equerre à pinulea. — L'équerre & pinules se composait autrefois de deux règles à angle droit, munies de pinules en leurs extrémités. C'était Véquerre allemande ou équerre- : cercle. Elle se fixait au moyen ' d'une douille sur un b&ton. Cette équerre ne pouvait servir qu'au tracé des angles droits. En remplaçant les équerres par des pointes et en disposant convenablement l'intersectioti des règles, on pouvait tracer des angles de 30, 45, 60, 75, 90 et 120» à l'aide de cet appareil (Gg. 20).

Il suffit pour cela que ab » — -■

Cet appareil volumineux est tombé en désuétude et it est remplacé aujourd'hui par Véquerre pomme de canne ou équerre d^arpenleur, qui se compose d'un prisme octogonal creux dont les faces opposées portent des pinules, de manière à donner des a&gles de 90 et de 45*.

Cet appareil est plus portatif, mais moins exact que le précédent, en raison même de ses dimensions plus petites. Il se fixe sur un bâton ferré.

Pour véri&er cet appareil, on s'assure d'abord que les axes des pinules opposées sont dans un même plan vertical ; on opère ensuite comme pour mener une perpendiculaire à un alignement AB par un point pris sur cet alignement (flg. 31). Les pinules oc étant dans la direction AB,on vise par les pinules db et Ton fait placer un jalon en D ; on retourne ensuite l'é- Fif. 31. querre de 90°, de manière

à viser par les pinules ac après avoir placé les pinules bd dans la direction AB.

Si l'on n'aperçoit pas de nouveau le jalon D, cela démontre quel'équerre n'est pas esacte. On fera planter un jalon D'à la même distance de la droite AB que le jalon D, la perpendiculaire tombera au milieu de la ligne DD'. On voit donc qu'il est possible de tracer exactement une perpendiculaire k l'aide d'une fau!>sti équerre.

Dans le lever des détails, on peut d'ailleurs se servir d'une fausse équerre, en ayant soin de maintenir toujours l'équerre dans le même sens.

Les détails sont ainsi rapportés par un système de coordon^

nées obliques. Il sufQt de connaître l'angle de la fausse équerre pour rapporter sur le papier.

; L'équerre à pinules a l'inconvénient d'exiger deux visées successives pour tracer un angle. C'est une cause d'erreur, parce que l'âqucrre doit rester lîxe. Il n'est pas toujours possible de fixer l'équerre après la première visée ; dans ce cas, l'opérateur doit posséder l'habitude de l'instrument pour ne pas déplacer celui-ci, en déplaçant le corps pour faire la seconde visée.

Equerre à miroirs. — Cet appareil a été inventé au commencement de ce siècle par l'ingénieur Lipkens, de Maestricht. Il se compose de deux miroirs faisant entre eux un certain angle; ces miroirs sont fl.<cés dans ' une boite triangulaire ouverte par devant. Chacun d'eux est surmonté d'une fenêtre.

Son emploi repose sur la proposition suivante :

Dans un système de deux muoirs (Qg. 22) faiiant entre eux un angle a, Vangle P du rayon incident AB et du rayon doublement réflê- Fig. 93. chi CB est double de

Vangle des miroirs.

L'angle des normales aux miroirs est égal à x. Dans le triangle DEK, l'angle a. = e — e'.

Dans le triangle DBE, l'angle p = 2c — 2e'. Donc l'angle ^ = 2a.

Si a =s 45", l'angle p sera droit.

Si a = 22 '/,% l'angle p sera de 45".

Si i — 90-, l'angle p sera de 180-.

G'est-à-dire que le point B se irouvfira sur l'alignement despoiiUs AC, en négligeant toutefois l'écartement des miroirs (flg.23).

Pour mener une perpendiculaire à un alignement BG (fig. 20), on se placera en B etl'on visera directement le jalon G par les fenêtres supérieures aux miroirs.

Le jalon A sera sur la perpendiculaire AB à l'alignement BG, lorsque l'image doublement réfléchie du jalon A apparaîtra dans le miroir E dans le prolongement du jalon Fig. 23. Q^ yjgg directement.

II est plus facile de viser par l'ouverture antérieure de la boite et par une seule des deux fenêtres. Cela ne change d'ailleurs rien aux propriétés de l'apparei I (fig. 2i).

L'équerre se tient à la main, ainsi qu'un fil à plomb qui F>g. ii.

détermine sur le terrain l'emplacement approximatif du pied de la perpendiculaire.

Pour vérifier cette équerre,on opère comme pour l'équerre à pinules; en se proposant de mener une perpendiculaire en un point d'un alignement donné j on fait placer un jalon sur la perpendiculaire, en visant successivement chacune des extrémités de l'alignement.

Pour les équerres donnant d'autres angles, on mesure du même côté d'un alignement une somme d'angles égale à 480". Les équerres à miroirs sont souvent rectifiables, c'est-à-dire que l'un des miroirs peut être déplacé autour d'une charnière au moyen d'une vis.

L'avantage de cet appareil est son petit volume et la rapidité

qu'il permet d'obtenir. Malgré l'iadécision qui provient de l'absence de pied, cet appareil donne des résultats suESsamment exacts pour le lever des détails.

Son inconvénient est que les miroirs se ternissent & la longue. Cest pour y remédier que H. Bauemfeind, directeur de l'École polytechnique de Munich, a imaginé l'équerre à prismes.

Equene à pmrne* (i). — Cette équerre est fondée sur le principe delà réflexion totale.

L'angle limite du crown glati et de l'air étant 41*48', tout rayon tombant sur le plan de séparation- du crown glass et de l'air, sous un angle plus grand que 41'48', subit la réflexion totale h l'intérieur du crown glass.

On se sert de prismes triangulaires, rectangulaires et isocèles.

Ces prism.'s jouissent des trois propriétés suivantes :

!■ L'angle et incidence x tVun rayon qui éprouve à Vinlérieur du prisme la reflexion totale, e^t égala son angle d'émergence.

(J'appelle angle d'émergence, l'angle du rayon émergent avec la normale à la face d'émergence.)

Le rayon incident S (llg.

25) pénétrant dans le prisme

sous un angle d'incidence oc

fait avec la normale un

Fig. 33. angle de réfraction ^ et

t de M. Baairn/eld, par k. Hàïets ) Rsiue

tombe sur la face bypotbénuse sous un angle f > 45°. It subira donc la réOexion totale et tombera sur la face B C du prisme. Il est facile de démontrer qu'il y tombe soue un angle d'incidence ^ auquel correspond un angle de réfrectitHi-Ki-^ dernier est précisément ce que nous avons appelé l'angle d'émergence.

2° Le rayon qui émerge, après une réflexion totale, fait avec le rayon incident un angle égal à 90 ± 2 et.

Si nous traçons (flg. 23) la bissectrice de l'angle que fait le rayon incident avec le rayon émergent, il est facile de démontrer que cette bissectrice est normale à la face bypotbénuse. L'angle de ces deux rayons est donc égal à 90 4- 2 a.

On aurait 90 — 2 a pour les rayons incidents tombant à droite de la normale k la face B C (ûg. 26); mais un petit nombre seulement deces rayons subira la réflexion totale, parce que l'angle f<e- 28. y sera < 45». Or pour

qu'il y ait réflexion totale, cet angle doit rester > 41* 48'.

3° Le rayon qui émerge après deux réflexion» totale» ett perpendiculaire au rayon incident.

Il est facile de démontrer qu'après deux réflexions totalei l'angle d'émergence égale «. Dans le triangle del (flg. 27), l'angle i = 90 — a et l'angle extérieur e — 90— « + «-.90.

En vertu de cette dernière propriété, il est possible de sa servir d'un prisme triangulaire rectangle et isocèle pour tracer

une perpendiculaire à un alignement D E ; il suffit pour cela de se placer sur cet alignement et de viser au-dessus du prisme lé jalon D (iIr. 25).

Le jalon F sera sur la perpendiculaire FG à l'alignement DE, lorsque son image doublement rélléchie apparaîtra dans le prisme, dans le prolongement du jalon D vis6 directement.

L'image doublement réfléchie doit toujours être cherchée vers le sommet de t'angle B ; on la distingue t'ig. 37. des images simplement ré4

fléchies en ce qu'elle est moins claire et en ce qu'elle ne change pas de place lorsqu'on fait tourner le prisme. Remarquons, en effet, que la dernière propriété est entièrement indépendante de l'angle d'incidence.

A l'aide de deux prismes semblables, -disposés de telle sorte que leurs faces hypothénuses soient à angle droit, on peut de même se placer sur un alignement déterminé par deux jalons P Q (fig. 28).

On sera sur eet alignement, lorsqu'on verra dans ies ûenx prismes les images superposées P^ Qj des jalons P et Q; erï effet, on aura d*une part entre les rayons incident et émergent un angle » 90 -f 2 a et d*autre part un angle 90 — 2 a.. La somme de ces angles égale ISO**.

Les prismes sont montés dans une petite botte trapézoïdale qui se tient à la main de la môme manière que Téquerre à miroirs.

L*usage de Téquerre à prisgies est d*ailleurs absolument semblable à celui de Féquerre à miroirs.

Pour vérifier Téquerre à prismes, le meilleur système consiste à planter deux jalons A et B et à rechercher le sommet de Tangle droit obtenu, en visant directement A et Tiikiage doublement réfléchie de B; on retourne ensuite le prisme en restant à la même place; en visant directement B, on doit voir simultanément Timage doublement réfléchie de A. En adoptant le même mode de vérification que pour les équerres à pinules ou à miroir, on pourrait, dans certaines positions, obtenir la vérification avec des prismes qui ne seraient pas rigoureusement isocèles (i).

Usage des équerres. — Les équerres sont principalement employées pour tracer des coordonnées sur le terrain, soit dans le but de lever un plan par cette méthode, soit plus souvent dans le but de lever des détails. Elles peuvent servir de plus à résoudre divers problèmes :

1" Prolonger un alignement au delà d'^un obutacle. On résout ce problème, en contournant Fobstacle par une ligne polygonale à angles droits.

2* Déterminer la longueur d'u?i alignement dont une extrémité est inaccessible. Ce problème revient à tracer dans la

(•) Wochentchrlft des OExterreichischen Ingénieur und Architektenvereim, 4882. p. i69.

partie accessible da terrain des constructions géométriques â*où l'on puisse déduire la longueur de l'alignement.

Soit par exemple h mesurer la largeur AB d'une rivière sans passer sur l'autre bord (dg. 29).

Fig. 29.

Une première solution consiste h mener AC perpendiculaire à AB, A diviser A C au point D dans un certain rapport, puis à mener G E perpendiculaire à A G, on détermine sur cette perpendiculaire le point E par la condition que ce point se trouve sur l'alignement de B et D. En mesurant G E, on en déduit la longueur A B par suite de la similitude des triangles A B D et G D E.

Une deuxième solution consiste i mener la perpendiculaire AG, puis h chercher sur cette perpendiculaire un point G d'où le point B soit vu sous un angle de 45".

Une troisième solution consiste h tracer la perpendiculaire AC, puis à faire un angle droit au point G en visant d'une part le point B et en faisant placer un jalon D sur le prolongement

de AB. On a AB -» ^ AI).

Cette méthode est très expéditive, lorsqu'on emploie requerra h miroirs ou Jt prismes.

9° Mesurer une distance inaccessible. On construit en terrain accessible un alignement parallèle et égal à celui qu'il s'agit de mesurer.

4** Mener une perpendiculaire à une direction inaccessible. On construit une parallèle à cette direction sur laquelle on mène la perpendiculaire.

On peut aussi se servir des équerres pour tracer des angles dans un plan vertical. Il faut pour cela coucher Téquerre horizontalement.

En traçant un angle de 45'» dans le plan vertical, on pôut mesurer la hauteur d'un édifice ; en traçant de même un angle de 90«, on peut mener une horizontale et faire un nivellement,