I. Soit à calculer : f

Le radical devant être réel, x doit être moindre qute a, nous poserons donc :

D'où en différenliant :

x — a sut f .

dx = a cos d: .

L'expression proposée devient donc par substitution :

/ .T m d /» a" sin'“« a cos tdt ' C ■

— r — r ~~ / ■ . — =a". j sin * dp =:

V» 1 — x a J ay 1 — sin x p J

=u m . j' sin— ‘j sin p dp=-~ a”. J\ sin— 1 ?d cos p.

Et en appliquant le principe d’intégration par parties :

/ i nn a “ f ** n > rf T — — o”sin— ‘jicosf -t*o" ^ cosjdsin— ‘a —

— — a m sin— ‘î cos % -4- or j" cmp.[m — i) sin—Vcost d® =

= — fi-sin— ’f.cos® + {m—i)a”'.fcop , p sin— ’jd® =

= — a” sin— '« cos 4 (m — 1 )<rvj* (1 — sin’») sin®— J d» - % . * *

= — n” sin— '® cos ® 4- (m — l)a"; d®-r-(m— i) a” j'siD-p dt.

En faisant passer — > (ra — 1 ) a". /* sin 1 "? dp dans le premier membre; puis divisant par m de part et d’autre, il vient :

/ ' jrdx C ■ . «“ . , m — 1 C • . ,

- - oii a- jstn ’ m pdp= sm— *5Cosç+ — - a m . / sin— 8 <dt.

\/a 3 — xf J « m J 4 *

La question est donc ramenée à calculer : •

J sin— *® dp.

L’exposant. m a donc diminué de 3 unités. On ramènera de mfeme le calcul de Jstn—* p dp au calcul de J sin— ‘t dé, et ainsi de suite; on diminuera successivement de 2 unités l’exposant m. En sorte que si m est pair, on est en dernier lieu, conduit à calculer ^ dp = p; et si m est impair, on est ramené au calcul de

• • j'sin pdt — — cos p + C.

* ' /» /pm J/p *

L’intégration de û" 1 / sin'"ç d% ou I — ■ est donc chose ac*

quise. — - . ' • • •

Remarque. Les deux derniers cas auxquels on est conduit J' ‘h et Ç sin ç </» reviennent à faire les hypothèses ms=0 et » = i dans lexpreyto

Or:

'/*. — ' ■ 35 g - = n~ /sin' ,|, $dî

Pour m — 0; cette équation devient :

mais a; es a sin y, dent $=arc siir'^ et par suite

" : . ' . f — - • =arc sin - 4- C.

J V 'STZ7» «

Pour m = l, l’équation (I) devient :

/ ■ X ^ X ■ — = O / SHt t dx = — a COS t + C.

J yV-? J

• et puisque * = a sin a, on en déduit ’ • . . , • •

sin 9 = - et cos' ç = |/ i — = - V a -*-* •

Et par suite : „ .