MP - H*)- ' M'P' = A* + A

La série de Taylor donne :

(i) ' /’(x4-Ax)=f{x)-t- ax./'(x)4- j-glf* (*)+«].

t étant l'ensemble des termes, autres que f (x) dans lesquel? on a mis 4 X 1 en facteur commun. • - « s’annule avec ax.

Sur la ligure, MT étant la tangente à la courbe au point M; TI = ax . f (x) en sorte que l'équation (i) devient :

M'F = IP’ + TI + (x) 4- ].

d’où l’on-tire :

C’est là ^expression dé l’ordonnée M’T de la courbe comptée à partir de la tangente, «u-d«**u*si [f (*! 4- *] positif; au~ile»mui dans le Cas contraire

c devenant infiniment petit avec ax,- il en résulte que le signe de

■ ii*

f" (x) 4- t et, par suite dp j. ^ [/' , '(X)4-t] dépend de f "{*]', ce signe est

donc indépendant de ax: l’expression [f" (x) -t- t ] reste donc la

même , à droite et à gauche du point de tangence.

Par suite si f <x) est > 0, la courbe est au-dessus de sa tangente: et si f" (x) est < 0, la courbe est au-dessous de'sa tangente.

I)oiic :

Si l'on a :

/■(*) >eetr (x) > 0 ,

la courbe est siluée au-dessus de 1 axe des x et lui présente sa con- • vexité.

Si l'on a :

/»> «et rw<»,

la courbe est située au-dessus de l'axe des x et- lui présente sa concavité.

. Si l’on a :

f(x) < 0 et /"» > 0,

la courbe est- située au-dessous de l'axe des x et lui présente sa concavité.

Si l'on a :

f{*)<0eir(*t<0.

la courbe est située au-dessous de l'axe des x et lui présente sa convexité.

De cette discussion résulte ce fait : '

I ni: rourbe ut convexe ou concave vers F axe êtes x, suivant que f (x)

*• et f" (ar) sont dr même signe ou de signes contraires.

Points d’inflexion. Si la fonction f" (x) passe du positif {tu négatif ou inversement, alors la courbe qui se trouvait au-dessus de sa tangente passe au-dessous ou inversement. On dit dans ce cas qu’il y a inflexion au point de tangence. Pour ce point f'(x)=0.

lais points d inflexion ont donc poqr abscisses, les racines de l'équation

f" (x) es 0.

v TT

Vm~''

AïZ.

Point» maximum nu minimum .

Un point est <]it maximum , lorsque son ordonnée est plus grande que les ordonnée? des points infiniment voisins. Un point est dit minimum, lorsque son ordonnée est plus petite que les ordonnées des points infiniment voisins. On sait que pour ces points (' (x) =; 0, c est-è-dire I ' que la tangente en ces pointa est

parallèle à Taxe des x.

Sur la figure, M et M’ sont des point» minimum et N M un point ■ maximum.

La courbe est concave au point maximum et convexe aux points mi- * nimum.

Point» multiple». — §i deux branches d’une courbe se coupent en un point, ce point est double. S’il y a trois branches, ce point est triple.

De tels points sont ditd poinU multiple». ’