I. Construire la courbe dont l’équation est
Cette équation donne successivement :
. / zl.
2y dy — ( Sa:’ — 4x* ) <ir,
dy 3x* — 4x* 3x — ix 2 ,, , ,
HT ~~¥y - 2v/x(l-^“' (X) ’
d*y Sx 2 — 12x 4-
L’observation de l’équation de la courbe
y = ± x \/x (1 — x) établit que: -■ "•
1* La courbe est symétrique par rapport à l’axe des x ( à cause du signe ± placé devant le second membre) ;
2° La courbe passe par l'origine; (
3° Pour des valeurs négatives de x , y est constamment imaginaire ; donc à gauche de l’axe des y, il n'y a aucun point de la courbe ;
4° Pour des valeurs de x O 1 . y est réel; au delà de x = 1 , y ne cesse d'être imaginaire; donc si sur l'axe des x on prend OA ac 1, il n’y a aucun point de la courbe au delà de la parallèle qq menée à ('axe des y.
Quelle eit la forme de la courbe à i origine?
Pour x = o, devient - ; prenons donc les dérivées du numérateur
dx o r
et du dénominateur, nous aurons :
Lim ~ = Lim dx
rtE
pour a: = 0 l-ini i ( v 2r . —
donc la courbe csl tangente à' l'axe des æ.
Donc puisqu'il y a 2 branches de courbes à l’origine , l'origine est nu point de rebrouitement
Remarque sur un moyen simple de déterminer la tangente d’une courbe dy
à l'origine , sam employer
L’équation de la tangente À l’origine est de la forme : y = ax.
on en tire, pour la valeur de son coefficient angulaire a,
A l’origine : x = 0, y — 0 ; et par suite :
o - Lini -.
or à l'origine : l'élément de la courbe se confond avec l’élément rectiligne de la tangente ; donc le coefficient angulaire de la tangente à l'o-
rigine a pour expression Lim -, celle limite étant tirée de l'équation de
la courbe.
Au lieu de chercher directement Lim -, on pourra, suivant l'équation
et si cela est plus facile, déterminer Lim Lim , etc., pour en dé-
duire Lim L.
dy
Ainsi dans la courbe qui nous occupe , il nous a fallu prendre
puis les dérivées-du noininateur'el du dénominateur de cette expression; tandis que, en appliquant la remarque que nous venons de faire, sur l'équation de la courbe ;
on a tout de suite
ANALYSE
et pour x = 0,
\fl V
Lim i 5 - = 0, d’où Lim’ -= 0.
La tangente à l’origine se confond donc arec l’axe des x. Quelle eit la forme de la courbe au point A ?
Dans :
d ± i Ix
• 21 /*; 1 — .r)’ faisons x — 1 (abscisse de A),’ il vient :
dx ~ 0 ~
Donc la parallèle qq', menée à l’axe des y, est tangente à la courbe. Hecherche des point* maximums ou minimums.
l’our ces points = 0, il faut donc que l'on ait :
(3-4 *)^. ft 2 V/x(l-“ ’
d’où
3 — ix = 0,
La valeur x = 0, nous apprend que la courbe est tangente à l'origine.
La substitution de ^ à la place de x, dans donne :
", iN /5
Donc les jioitiLs ayant pour coordonnées t' ’
tt>
sont des points maximums.
Htrhereht des pninls'd'iiiflcxinn.
' . fi^tl
Pour res points -^.5-= 0, il finit ilouc que l’on ait :
et en résolvant :
ftr» — llr + a (| 2 V/ x ( I — x )
H.c’ — lir + 3 = 0
La première valeur * ^ ^ ■’* étant > 1, doit être rejetée; donc pour • 3
l'abscisse «= - ^ — - laquelle est positive et moindre que 1-, il y a
point d’inflexion. ,
La courbe a donc' la forme indiquée sur la figure.
Aire de la courbe. — . D’après le principe </ A = yd.r, l'aire de la courbe sera donnée par l’intégrale
= fydx.
et, puisque la courbe est comprise entre les abscisses 0 et I , il en résulte que l’aire totale sera donnée par le double de l'intégrale définie :
vt-1 .
