I.AXJ

cl cela quel que soit ax; puisque ax est ici un infiniment petit principal, lequel est indéterminé et a pour limite zéro.

be contact de l’ordre n des deux courbes proposées est donc établi par les équations :

lesquelles reviennent aux suivantes :

f (*) = F (ar).

rw=F”(4

/•(*) = F -(jc).

Donc: pour yu« deux cou rie f aient en un point, un confact de tordre n, il faut que le» fonction» qui représentent leur» ordonnée* et le» n premières dérivée» de res fonctions deviennent égales lorsqu'on y remplace les coordonnées variables, par les coordonnées particulières du point où l’on veut établir le contact.

Remarque I. — Si deux courbes A'AjB'B se coupent en un point M et ont en ce point un contact de l’ordre n; il est évident qu’une troisième courbe MG passant par M ne pourra se trouver entre les deux courbes AA’ et Blf, sans avoir avec chacune d’elles un contact d’un ordre supérieur à n, car avec chacune d’elles la différence des ordonnées sera encore plus petite.

Remarque II. . — L’expression de la différence des ordonnées de. deux courbes y = f[x J, y = F (x) dans le voisinage d’un point, dont le con>tact est de l’ordre n :

KH =^y

montre que si le contact est d’ordre impair, " KH ne changera pas de signe avec a*: par sujte les deux courbes se toucheront sans se couper. C’est ce qui a lieu pour la ligne droite, excepté aux points d’inflexion.

Si au contraire le contact est d’un ordre pair,' KH change de signe avec ax et dans ce cas les deux courbes se coupent.

la tiifférenpe KH des ordonnées peut être considérée comme l’ordpnn ée de la première courbe comptée *à partir de la seconde courbe.

Lorsqu'une courbe y — F (x) a un contact de l'ordre n avec une -autre couebe y = f(. r) ; on dit que ces deux courbes ont une osculation de l'ordre n et la courbe y —l (x) prend le nom de courbe osculatrice.

Un contact tîc l'ordre n donne lieu i\ n + 1 équations.

Par suite si l'équation y =s F (a 1 ), contient «4-1 constantes indéterminées, on pourra déterminer ces constantes en exprimant que celte courbe, a un contact de l'ordre «, avec une courbe y — f (x) en un point x, y' de cette dernière courbe.

Les n -f- 1 équations qui serviront à déterminer les « 4- 1 constantes de la courbe y = F ^x) seront les suivantes :

FW =/■(*'). F , {«’)=r(*'i. F-(x') F ■‘{J)xxf(x-).

on les a obtenues ci-dessus.

Les courbes les plus simples que l'on puisse mettre en contact avec une courbe donnée, sont tes courbes dites paraboliqute, lesquelles sont renfermées dans l'équation générale :

y — K 4- Bx» 4- Cx* +- ..... +' K.**.

Droite osrulatt icè.

L’équation d’une droite est y s= ax 4 - 6, il n’y entre que deux constantes; une droite, ne peut donc avoir avec une courbe f(x, y) = o qu’un contact du premier ordre.

Pour établir ce coutact en uq point x', y’ de la courbe proposée, nous aurons les équations :

y' = dx‘ 4- b.

SF “ ai

rfy'

Le rajpport . étant tiré de l’équation de la courbe exprimera l é-

glilité des dérivées du premier ordre dé la courbé et de la droite. *

La substitution des valeurs de a et de b tirées des équations (1) et (2) dans l'équation y = ax 4 - b, donne pour l’équation de la droite osculatrice : '

. rf.*/

ds'

, rfy’ ,

Ladroite osculalrice en un point i',y’ d’une edurbe est donc la tangente en ce point ; car est tirée de l’équation f {r, y) = o de la courbe.

. ■ Cercle otru/uteur:

L’ équation générale du cercle est ( x — * )? 4- ( y — C J* = R*, il n’y entre (pie trois constantes «, c et R ; k v cercle ne peut doue avoir avec

une coorbe donnée f (x, y)~o en un point donné ÿ qu’on contact du second ordre.

L’équation du cercle et les deux équations qu’on obtient en la diffëremiant deux fois, donnent les trois équations :

[x — *) + (y — Ç) d ~2=zo.

Si dans ces trois équations, on exprime que tes coordonnées x, y sont celles du point particulier af, y' de la courbe, et que les dérivées première et deuxième sont tirées de l'équation f ( x, y ) = o de la

courbe ; on aura les trois équations :

(«r-.p-Hy’-cp-R*! (1)

.'+S + (»'-og,=° ;«

lesquelles expriment tes trois conditions nécessaires au contact' du secoud ordre entre le cercle et la courbe. Ces équation» feront donc connaître : les coordonnées a. et C du centre et le rayon R du cercle oscillateur. *

Les équations (2) et (3) feront connaître les coordonnées « et C du centre ; la substitution des valeurs de a et de C dans la première fera connaître le rayon R.

Avant de passer outre, rappelons encore que dans les équationg (2) et (3) les dérivées première et seconde sont tirées de l’équa-

tion f (x, y) — o de la courbe proposée.

Calcul du a, C et R. . • •

Les équations (2) et (3J donnent :

dy" 1 . dy' 1