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a-X. . rf!ÿ ,

j ’• dj J1 ' '• . ' (&'*

analtsr. 38

Et en portant les valeurs de x' — « et y’ C dans (i), on trouve :

(* + ~dh) d lï

Ax"

Telles sont les valeurs des coordonnées du centre et du rayon du cercle osculateur d’une courbe f[x, y ) = o, en un point x\ y' de cette courbe.

Propriété du cercle osculateur. . .

Le contact du cercle osculateur est du deuxième ordre, donc le cercle osculateur coupe la courbe ( page 295, Item. Il ).

L’équation (2) montre que les coordonnées a et C du centre satisfont

à l’équation (x — x' ) -f- ( y — y r ) =0 de la normale au point

x', y' de la courbe ; donc

Le centre du cercle osculateur en un point d’une courbe est sur la normale de ce point.

Les longueurs x 1 — a, y' — C représentent évidemment, les projections du rayon du cercle oscillateur sur les axes coordonnés; elles indiquent ainsi de quel côté du point de contact se trouve le -centre du cercle osculateur.

: L’équation < . " . "

montre .que y' — Cet ~y- t sont de signes contraires.

dV .

En discutant sur les signes des quantités' y' et- on ‘ voit que le

centre du cercle osculateur est 'toujours situé dans la concavité de la courbe. L’expression du rayon

montre quef si est nulle ou infinie, R est infini on nul. .

Si la dérivée seconde est nulle ou infinie, il y a inflexion , c’est-

à-dire qu'aux point* dinflcxionle rayon du rtrcU oiculateur eit nul ou

infini .

Le cèrcle de courbure et le cercle oscvlatcur en un même point d'une courbe tant identique.!. '

Ces deux cercles onl môme rayon, car tous deuxont pour expression