DÉCIME

Proposons-nous de calculer l’aire de la surface «A. Va', comprise entre une courbe non définie AA', une droite fixe XY et les ordonnées Au , AV des points extrêmes A, A' de la courbe.

Partageons na' en un nombre pair de parties égales aux poinls b, r, il.... , soit « l’une de ces divisions; on devra prendre j. assez petit . de

telle sorte que, en élevant en b, r, il, etc., les ordonnées 4B, cC. etc

les arcs AB . BC, etc., de la courbe compris entre deux ordonnées consécutives puissent, dans la pratique, être considérés comme rectilignes.

Ceci posé , considérons l’aire a A rC composée de deux tranches consécutives; partageons ne ou 2a, en trois parties égales aux points m et 11 , alors : •

et le point b est le milieu de mtr, enfin élevons en m et en n les ordonnées mM et nN.

Les petits arcs AM MN CN. étant considérés comme rectilignes, la mesure du trapèze, donne :

aire am AM = (A, 4- Mm),

aire mn MN = ^ (Mm 4- Nn),

aire ne NC — ^ (Nn 4- AJ, en ajoutant ces trois équations, il vient :

aireaACc=:^ [A, 4- 2 ( Mm 4- Nn) 4- A,], ou bien, puisque le trapèze mn MN donne Mm 4- Nn = 2A, 2 : aire aA Ce = 5 ( A, 4- 4A., 4- A* ) (1).

En appliquant cette loi aux surfaces cC Ee et Ke AV, on a de même :

aire Ce Ee s (A s 4- 4A 4 4- AJ (2)

aire Ee AV = g (A s 4- 4A„ 4- A,) (3)

L’addition des équations (i), (2) et (3), donne finalement :

aire oA AV — ^ [ A, 4- A, 4- 4 ( A, 4- A 4 4- A„ ) 4- 2 ( A, 4- AJ].

Telle est la formule qui permettra de calculer l'aire a A AV.

Cette formule montre que, l’expression de l’aire d’une courbe non définie, s’obtient : en multipliant le tien de la division a, par la somme des ordonnées extrêmes, augmentée de quatre fois la somme des ordonnées de rang pair, et de deux fois la somme des ordonnées de rang impair.