OC

0 r— nr 2 cos * sin *,

cos’« 4 K

ou bien :

•— 2/ur — x*tg*

° — 2 h cos’*

et par suite : tg* = — ,

Si l’on porte cette valeur de tg* dans (1), il vient :

ANALYSE

Telle est l’équation de la c.ourl>e-enveloppe , de la trajectoire dans le vide.

Cette courbe-enveloppe, comme la trajectoire, est une parabole.

Itl . ÉQUATION DU PLAN OSCULATEUR D’UNB COURRE A DOUBLE COURBURE.

Par plan osculntcur d'une courbe à double courbure , en un point de cette courbe, on entend le plan-limite du plan qui passe par ce point et deux autres points voisins situés sur la courbe , lorsque les deux points tendent A se confondre avec le premier.

Proposons-nous de calculer l'équation du plan osculateur d’une courbe à double courbure, en un point dont les coordonnées sont % » y » ^ •

Si l'on donne à x', y, z' les accroissements Ai’, Ay', As' , on aura les coordonnées d’un second point, voisin du premier ; les coordonnées de ce second point seront :

x' 4 - ai', y' + a y', s’ +- Ay'.

Si, aux coordonnées de ce second point, on donne les accroissements ai’, Ay’, as’, on obtient les coordonnées du troisième point , voisin du second, les coordonnées de ce troisième point seront alors :

x’+Ai’-j-A (*'4 - ai’), y'4-Ay'4-A (y'4-Ay’), c'+Ai'-HA (z'4-Aî’),

ou, d'après la remarque faite sur la différence d’une somme (page 132) :

/ 4-ÎAx' 4- AV, y' -t- 2Ay' 4- A’y', ï' 4-2ai’ -t- aV.

Calculons l’équation du plan qui passe par les trois poinls

( ï* 4- Ai', y -t- Ay’, z' 4- Az’ ) et (x' 4- 2 ax' 4- AV, y' 4- 2Aÿ' 4- A*y\ 4- 2 a 2 ' 4 - a *2’).

Devant passer par le premier point r, y’, z, l’équation du plan cherché sera de la forme (page 37 i ).

Ici a et b sont inconnues , en exprimant que l'équation de ce plan est satisfaite par les coordonnées des deux autres points, nous aurons les deux équations :

4*' == a Ax' H- h A y',

lesquelles donnent pour n et 6,

.. — Az &V — Ay' aV , Âx’ aV — Ai’ aV

Ax' A*y' — Ay' a’x” Ax' A*y’ — Ay' a*x'’

La substitution de ces valeurs dans l'équation (1) donne :

(x — x') (Ay' aV — az'a V) + (y — !/*) (aï’ aV- ax’ a 2 *’) +■

+ (i — z') (ax' A’y’ — Ay* A ’x') = O.

Telle est l’équation du plan qui passe par trois points de courbe , si l’on passe aux limites de ax’, ai/ , az’, ce plan devient le plan oscnlateur, dont l’é(|uation est alors :

(x — x') (rfy' riV — (lz‘ tPy ) + [y — y'j (rfz' d'x' — rfx' rf’x”) 4 - -+■ (î — z,’) (rfx’ d'y’ — rfy' rf’x’) — o.

Si les coordonnées x’, y', s’ sont fonctions d’une variable indépendante t, l’équation du plan osculateur devient :

rfV

rf?

rfz' d‘y’ dt dt }

(é'x' rfx' rfV \

rf/ 1 rfl rft»/ '

/rfx* c/y </#/' d*«'v

rf/ ! — rft rf/»" / — 0

IV. CALCUL Df VOLUME D’UN COUPS TE RM I NÉ PAR DES SURFACES QUEL- CONQUES. — INTÉGRALE DOUBLE.

Considérons un volume terminé par une surface quelconque , partageons-Ie en éléments infiniment petits , par une série de plans perpendiculaires à l’un des trois axes coordonnés rectangulaires, l’axe des x par exemple. On peut considérer chaque élément de volume, compris entre deux plans consécutifs, comme étant le volume d’un cylindre droit, ayant pour base l’une des sections et pour hauteur la distance infiniment petite rfx qui sépare ces deux plans.

Supposons que l’ou puisse obtenir, en fonction de la variable x, l’expression de l’aire de la section faite ainsi dans le volume, par un plan quelconque perpendiculaire à l'axe des x; alors l'expression d'un des petits cylindres représentera la différentielle du volume proposé ; en sorte que, si l’on appelle F (x! la fonction qui représente l'aire d’une

section, la différentielle du volume sera donnée par l’expression :

F (*) dx.

Par suite, si l'on désigne par V la portion du volume du corps, comprise entre deux plans perpendiculaires à l'axe des x et ayant pour équations :

x — od, x = x" ,

on aura :

V = f F (x) dx.

Donc, pour avoir V, il suffira de connaître F (x).

Si l'on ne peut déterminer directement l'aire F (x), on en déterminera la valeur par une première intégration.

En effet, appelons s et z' les coordonnées comptées suivant l’axe des z et menées par le point le plus haut et par le point le plus bas de la surface dont l’aire inconnue a été désignée par F (x). L'équation de la surface qui termine le volume est de la forme :

elle montre que les ordonnées z et z' sont des fonctions de x et de y , car cette équation peut être résolue par rapport à z. Ces fonctions de x et de y peuvent être de nature différente.

Ceci posé , l'aire de la section F (x) correspondante à une certaine valeur de x, aura pour expression :

f (*—*') iy,

y étant considérée comme seule variable et x comme constante dans les fonctions x et z ' , puisqu’ici on considère une valeur particulière de x.

Si donc l’on intègre la fonction (x — z' ) dy entre les limites y' et y", le résultat de l’intégrale définie :

sera une fonction de x, nous l’avons appelée F (x) et x"

grale J F (x) dx nous donnera l’expression V du volume

alors l'intécherché.

Pour obtenir V, il faudra déterminer deux intégrales successives de fonctions d’une seule variable.

Ces deux intégrations successives s'expriment ainsi :

Application. — Calcul du volume de Cellipioide.

L’équation du volume de l'ellipsoïde rapporté à ses trois axes 'la , 26 et 2c, est :

— ï ri — I r — 1.

La section de ce volume , par un plan quelconque perpendiculaire à l’axe des x, et menée au point dont l’abscisse est x, a pour équation :

dans cette équation , il faut considérer x comme constante; cette équation montre que cette section est une ellipse dont les demi-axes , placés dans les directions de l’axe des y et de l’axe des s , sont :

donc , l’aire de cette section sera (d'après la formule A = xab trouvée page 308, pour l’aire totale de l’ellipse ) :

si, dans cette formule , on tait varier x, on obtiendra les aires de toutes les sections de l’ellipsoïde par des plaus parallèles à l'axe des x perpendiculaires à l'axe des x, et ayant pour abscisses les valeurs de x.

L’expression (1) que nous venons d'obtenir ici , sans intégration , est précisément la fonction F (xj dont nous avons parlé ci-dessus.

Par conséquent , le volume V de l’ellipsoïde compris entre les plans perpendiculaires à l’axe des x et ayant pour abscisses x* et x ', sera donné par l’expression :

= J rbc ( 1 — S) ds =

= T 6C / ( 1 “ t ) dx = T bc ( + £ “3 * )•

Si l’on fiait x' = — a, x" — t- a , un a lu volume entier (Je l’ellip-

soïde dont l’expression est - -r abc.

Si, a — 4 — c, l’ellipsoïde devient la sphère, et l’on trouve ^ t a 1

pour le volume de la sphère.

V. CALCUL DE l’aire II’ UNE SURFACE TERMINÉE PaK UNE COURUE NON