COMPLÉMENT DE GÉOMÉTRIE

ÉTüDK DES SECTION» CONIQUES.

Un plan ne peut couper un cône droit que de trots manières : 1* il rencontre toutes les génératrices d’une même nappe; 2* il est parallèle à l'une des génératrices; 3° il rencontre les génératrices des deux nappes du cène.

Section obtenue par un plan qui rencontrt toute* te* génératrice* d'une mime nappe. — Ellipse. ■

Soit. SZ l’axe d’un cône droit et soit M un plan qui coupe toutes les génératrices <ftme même nappe, la nappe inférieure. Par l’axe SZ faisons passer un plan perpendiculaire au plan M. Ce plan perpendiculaire coupe la surface du cène suivant les deux génératrices SX, 8Y; en sorte que l’angle générateur du cône est l'angle XSZ. Soit MMT la trace du plan de section sur le plan XSY.

Ceci posé, dans le triangle ASA' décrivons le cercle inscrit de centre O, pu» le cercle exinscrit de centre O’ ; les points de tangence de ces cercles avec le côté AA' sont F et F. On a vu dans les éléments de géométrie que AK =r A'F' (*)

O Sur U figure on a s

s* «a’a+a’k+sk ^AT+A'F+sK^w'r-ffr-fsE,

SA'=AA'-t AK’+SK’=AF’ +AF +Slt=2AF -î-FF'-j-SK.

Or - SA=SA’ : doue A’F* = AF.

ANALYSE. 1

Si l’on fait toerner l’angle générateur XSZ autour de SZ, l'aréte SX décrit le cône, et les demi-circonférences de centres O et O’ engendrent des sphères tangentes au cône suivant les cercles parallèles KK’ et hk'.

Ces sphères sont aussi tangentes en F et en F’ au plan de section MM’, car les rayons OF, O'F' sont perpendiculaires à ce plan. - •• •

Soit P un point quelconque de la courbe d'intersection du plan ■ MM' et du cône ; joignons PF, PF', puis menons la génératrice -SP de ce point P ; les droites PF, PF'.PV, PV'-sont des tangentes aux sphères de centres O, O'; et puisque les tangentes 'issues d’un même point et menées à une mèiùe sphère sont égalés, on a :

Mais