PF’ PF = A’F ■+• AF = AA

Donc : la courbe de section d’un cône droit, par un plan qui rencontre toutes les génératrices d’une même nappe, jouit de cette propriété que la somme des distances d’un de set points à deux points fixes situés dans le plan de la courbe, est constante et égale à la ligne qui joint ces deux points ■ et est terminée à la courbe.

Une telle courbe s’appelle Ellipse; et les deux poiuts fixes F et F' (lesquels sont situés à égale distance des extrémités de la droite AA' j sont dits les foyers de l'ellipse.

Les distances FP, F'P d’un même point de la courbe aux deux foyers sont appelées les rayons vecteurs de ce point.

Remarque. — On voit aisément que pour tout point situé hors de l’ellipse, la somme de se» distances aux deux foyers est plus grande que le grand axe et pour un point pris dans l’intérieur de la courbe, la somme de ses distances aux deux foyers est moindre que le grand axe.

Variétés de l’ellipse. — Si le plan MM', au lieu d'être oblique sur

l uxe 5Z, était perpendiculaire, la section serait un cercle, et si le plan MM' se rapprochait du sommet S, la section serait une courbe de plus en plus petite ; au sommet S la courbe se réduirait à un point.

Les variétés de l’ellipse sont donc un cercle et un point.

Ln ligne qui joint les foyers et Ut perpendiculaire élevée sur le milieu de cette ligne sont les deux axes de l'ellipse.

Par axe d'une courbe, on entend une ligne qui divise cette courbe en deux parties symétriques.

Soit FF' AA' la ligne'qui joint les foyers ; appelons 2a la distance AA’ et menons la perpendiculaire RB' sur le milieu O de FF'. Soit M un * point de la courbe, alors

(1) [' MF + MF = 2a.

1* Abaissons de M la perpendiculaire MP et prolongeons -la de

PM 1 = PM ; je dis que le point M' symétrique de M appartient à la courbe ; en effet, les obliques MF, M’F sont égales ainsi que les obli- A ques MF' et M'F', l’égalité (1) devient donc, par substitution,

Le point M' est donc sur la courbe ; donc la droite AA' est un axe de l’ellipse.

2* Abaissons de M la perpendiculaire MQ sur BB', et prolongeons-la deQM”=MQ; puis joignons M"F,M"F',M 'O et MO. Les triangles rectangles QMO, OM"G sont égaux ; donc MO=M"0 et angle M"OB=MOB; par suite, les triangles MOF, M' OF’ sont égaux comme ayant un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun; donc MF = M''F'. De même, les deux triangles M"OF et MOF' ont un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun; donc M''F — MF'; l’équation (1) devient donc, encore, par substitution,

MF + M'F’ = 2a.

Le point M” est donc sur la courbe et la droite BR' est un axe de cette courbe.

Nous désignerons par 2 b l’axe BB'.

Le point milieu de la ligne qui joint les foyers est le centre de l'ellipse.

Par centre d’une courbe on entend un point tel que toute corda qui passe par ce point y est divisée en deux parties égales.

Soit M un point de la courbe ; alors

[l) v ... MF 4- MF' = AA' ou 8a.

Joignons la ligne MO et prolongeons-la de M'O as MO, puis joignons M'F' et M'F ; puisque le point O est le milieu des lignes FF' et MM', il en résulte que la figure MFM'F' est un parallélogramme ; donc M'F' = MF et M’F=MF', en sorte que l'équation (1) devient, par substitution,

Le point M' appartient donc à la courbe, 'et la droite MM’ est une corde divisée en deux parties égales par le point O. Par suite , ce point

Mt le centre de l'ellipse.

l/s ligne qui Joint Ut foyer» et t la ligne la plut grande que l'on puiste mener par U centre de l’ellipte.

Soit une ligne quelconque MM' menée par le centre, joignons MF, MF' ,M'F, M'F' . Dans le trian- ' gle MFM', on a :