X:&in 4 rt- Y cos

y sin ô ’

qui servent à passer d’un système d'axes obliques à un système d’axes rectangulaires.-

Si l<;s premiers âxes sont eux-mêmes rectangulaires. 0 => 90“,- et l'on obtient pour les formules cherchées :• ■

* • ’• p x = Xcos« — Y sin k, .

y = X sin « -j- Y cos.«. •• •

Remarque. — *■ I.es formules de transformation que- nous venons de trouver sonl toutes des fonctions du premier degré des anciennes et des

nouvelles coordonnées. • ; ,

céSÉRAUTÉS. ' * . ...

. , Classification des lignes. mi .

Une ligne est dite algébrique ou transcendante , suivant que son équation est elle-même algébrique ou transcendante. . '

Les lignes algébriques sont naturellement classées d’après le degré de leur équation en coordonnées rectilignes. Ainsi, .une ligne est dite du i", du degré suivant tjuq son équation est du l* 1 , du 2°, v ...

degré. ’ ,

Le degré d'une équation d'une ligne, ne change pas alors qu'on rapporte celte ligne à de nourtaux ares.

hn effet, soit ({ x, y ) = U I équation d'une ligne rapportée à de certains axes ; si je rapporte cette ligne à de nouveaux axes, je remplacerai dans f ( x, y ) = 0, x et y par des fonctions des nouvelles coordonnées, lesquelles fonctions seront du premier degré. Donc, après cette substitution, le degré de f( x, y ) = 0 n'a pu être augmenté. Je dis qu'il ne saurait être diminué, car en passant réciproquement des nouveaux pxes.aux anciens, le degré de réquation viendrait^ être augmenté. Ce qui ne peut être. , '

Donc, le degré de l’équation d’une ligne reste le njéme après (a transformation des coordonnée^. ..

Hemartfue. — I. équation générale d'un certain degré, comprend les lignes dont l’ordre est indiqué par a degré et toutes celles d'-un ordri inférieur.

Ainsi l’équation du 2” degré ‘ ' ” . *

„ (y — ax — 6) ( y’ — a! x — 6'")=4t r

se trouve vérifiée par y — : ax,— &=0 et y — a'x — b' 3=0 , elie représente donc les deux lignes du premier degré par les équations

u > — *ax — 6 = 0, y- — a'x — 6' = 0.

' Du caractère auquel on reconnaît qu'un point est sur une courbé dont l’équation est donnée.

y ) =* 0, i’éqoation d’une courbe ef soient rr et 6 les coordonnées d’un point; l’équation f[i r, y} = 0 représentant la relation qui existe entre les coordonnées d'un quelconque des points de lacourbe, il en résulte. que si le point [a, b) est sur la courbé, les coordonnées a et 6 de ce point devront satisfaire à l’équation f ( x, y ) = 0 ; donc suivant que la relation * . •

sera ou ne sera pas satisfaite, le point dont les coordonnées sont a et 6 sera ou ne sera pas sur la courbe .

Détermination des coordonnées du point commun à deux combes données par leurs équations.

Soient-: •

les éqira-ions de (feux courbes.

Appelons a et 6 les coordonnées d’un point commun h ces deux courbes ; alors nous aurons :

f{a,b)=0 et F { *, 6 ) = 0..

fl

Donc les coordonnées des points communs à leurs courbes sont lits valeurs de x et de y, obtenues en résolvant les équations de ces coarbes.

Une ligne-du degré m ne peut être rencontrée par une ligne droite en plut de m points.

Kii effet, prenons pour axe des r In droite dont il s'agit. L'équation de l’axe des x est évidemment y = 0, si donc je remplace dans l’équation proposée- ( supposée du degré m), y pour 0', l'équation F (x) = 0 à laquelle j’arriverai, aura pour racines réelles, les abscisses? des points d’intersection de la courbe et de ta droite. Or cette équation F (x) «t 0 est au plus du degré m, elle a dpnc au plus m racines réelles.

Donc, la droite ne pourra rencontrer la courbe en plus de m points. Remarque I. — Il pourrait se faire qup la substitution y —-O donnât lieu à l’identité 0=0. Cela tiendrait à cq que dans l'équation f(jt,y)xa 0 de la courbe, on pourrait mettre y en facteur commun, eu sorte que, après ia mise de y eir facteur commun, ou aura : v

La fonction « (x, y ) étant du degré m — i-. . ...... •

L’équatiou

donnerait donc lieu aux équations . •

. C'est-à-dire que i’éqûation proposée /( «, y ) ,= 0 représenterait dans ce caè l’axe des x et une courbe dd degré m — 1< > . ■ . *

Remarque II. — It* résulte de ce principe que les ligne* du premier degré ne peuvent être rencontrée* -par ufte droite qu’en un seul point. Donc, les ligna du.premier degré sont des lignes droites.

Distance de deux points en coordonnées rectilignes.

. . . • ’ •* , • ùjf'vayl j

• H - Soient x’, y’.et x.", ÿ" -les coor-

'* •' données de deux points M' et . M ", rapportés â deux axes quel-

’ f‘ •• •> l f a ° nt, >Bk “M-, • !>

Après avoir effectue les .constructions indiquées sur la figure,

. '•* le triangle M'M" dontie :