ÉTUDE DE LA (SIGNE DBOITE
L'équation générale du premier degré i deux variables' est :
Ay-b = 0,
Notis savfons déjà que celle équation ne peut représenter-qu’une ligne droite. Établissons directement ce principe en discutant cette équation : Si A = 0, l’équation dévient :
Bx-t-c = 0, d’où x=. — -g.
représeutè évidemment inrt» parallèle à Taxe des y, me-
fiée à ûrpv.rti stance compté»- suc l'axe des x, à partir de l'origine et égale
Si B =?0, l'équation générale devient : • *' . v
Ay+€ = 0, d’ou y = — — . .
y == — ^ représente évidemment nue parallèle à l'axe d,es x, menée à une distance comptée sup r axe des y à partir de l.’oiigine et égale
Si A =0'et C = 0, l’équation générale devient :
r. Bx 0, d’où x = t).
x = 0 représente l’aie des y.- Si B = 0 et ,Ç == O, l’équatioo générale devient :
■■ Ay-x^-O, d’où y* 0
‘ ÿ«= 0 représente t’axe dgs x.
Si C — 0, l’équation générale- dévient :
... Ay + II* — • 0, d’où y = — -5.x.
Il ’
• Ou plus simplement, y — ox, en représentant par a le rapport — .
Ghcrchdns ù construire le’ücu de i’écyiàtion y = ax, laquelle hiontre que dans ce lieu : le rapport Je r ordonnée d l'absciist tit constant, car
Pour x = 0, onayt 0, donc le lieu cherché passe par l'origine ü des coordonnées.
• ' ’ i •• ’ ’ Supposons que M et M’ sjoient
deux jioints de ce lieu, délc. ciliés en donnant à x des valeurs . parlicuHères 0P et OP'.
Le» coordonnées de points , ; étant MP et 0P; M P et OP’, on a :
-—g MP = a.QP, M'PiJ.#'.
1 4. • • . • . Et par suite : ‘ ,, , .
• MP MP' x. i '**
- -0P a,J OP*-» -'—p
Donc, si l’on joint OM et OM', on forme deux triangles MOP, M’OP' semblables, puisqu’ils ont un angle égal MPO = M'P’O compris entre cétés proportionnels. Donc les angles MOP, M'OP' sont égaux, et par suite les points 0, M et M’ sont en ligne droite. -, . •
Donc l'équation y — ax représente une ligne droite qui passe par l’originc.
Enfin, supposons qu’aucun des coefficients dé l’équation Ay + B* -H C = 0 ne soit nul. De cette équation on tire :
Et plus simplement, en posant
En comparant cette équation à l’équation y = ax, on Voit qtle ces deux équations ne diffèrent que par la constante' é. Donc, si l'on augmente les ordonnées des divers points de la droite y zp. ax dç Inconstante 6, on obtiendra les ordonnées- du lieù de l’équation y = ax -+- b. Le lieu des extrémités do ces nouvelles ordonnées, lequel est une parallèle à la droite y = ax, menée 4 une distance de l’origine comptée sur l’axe des y et égale.à b, est donc le lieu de l’équatibn y — ax + k.
Donc, alors qu'aucun des ■coefficients de l'équation •générale du 'prerflur degré à deux variables n’est nul, cette équation représente une ligne droite située d’une manière quelconque par, rapport aux axes. \
Réciproquement. — L'équation d'une ligne droite quelconque est du, . premier degré.
En effet, soit une droite j y ' AB; traçons sur le. plan .deux
! ><■'" axes quelconques yÔ, 0X dont
T' est ••
• . La droite AB sera èntiére-
• / *" ment déterntinéo lorsqu'on
- JT' J- , x connaîtra Tua do ses points
s' J ' ' ; ’ . ( le point B par exemple ), et
» • . . • l’angle BAX qu’elle fait avec
l'axe dés x. Appelons » cet
angle, et soit b la distance OB laquelle fixe la position du point B.
Prenons un point quelconque M sur la droite et cherchons la Relation qui existe entre les coordonnées x =» OP et y = MP da ce point.
Ôt
A cet effet , menons par l’origine la parallèle OK. i AB, dé» lors sar la figure, on a :
&H> = PK + MK, d’où . y = PK+b. ....... (tj
Le triangle OPK donne : . .
PK sin KOP , . PK. sin «
■ , ou bien — - =>-r-
OP . sin OKP * * * * „ '
Et par lutte : ' .
bir —
L'équation (1) devient donc ppr iubstitution :
■ x- ain ( 9 — *)'
. sin ce , •
^ — sin ( 9 — a ) ' *
Cette équation qui est celle de la droite AB eet du premier degré entre a: et y. , .
Remarque. — L'équation
sin l 8 — *
montre que si l'équation d'nne droite est raisp sous la forme y=tea - -4-fc, le coefficient a de x est une fonction de l’inclinaison « de la droite sur l’axe des x. Ce coefficient a, firend pour cette raison le nom de coefficient aiujulairede la droite. - .
Alors que les âxes sont rectangulaires ê — 90" et a tg st ; c'està-dire que datas ce cas : le coefficient de x dans l'équation y ax ■+ b, représente la tangente Irigonotnétrique de l'angle que la droite fait arec l’ale des x. ' 7 ’ • • ’
Le ooefficient b, qui représente l’ordonnée du point de rencontre de droite avec l’axe des y, est dit le cvefficitnt linéaire de la droite.
■ Les distances OA et OB comptées sur les axes et depuis l'origine jusqu'aux points de rencontre- A et B de la droite avec ces axes sont dite» : let coordonnées à l'origine if. la droit». .
La connaissance de ces coordonnées , détermine la position des deux points A. et B, et par suite, la droite AB se trouve entièrement déterminée. * • '
t* ' T ' IWtj'l , f. *
Expression de l'équation d'une droite en fonction de set coordonnées
, ' à l’origine.
Soit une droite AB dont les coordonnées à l’origine sont' OB et OA ; -appelons m et n ces quantités.
Soient MP et OP les coordonnées a:' et y d’ilnf point quelconque, de la droite.'
‘ : Le triangle AOB donne :
y ^ ni — J) n m
D’où
Telle est l'expression de l’équation d'une droite en fonction de ses coordonnées à l'origine. ’ . '
Remorque., — L’équation d’une droite étant donnée soit y — ace -h b cette équation ; les coordonnées à l'origine de cette droite sont l’abscisse et l'ordonnée de ses points de. rencontre avec l'axe des x et avec l'axç
des y dont le£ équations sdnt y = O'et ir 0. ’ •
Ces coordonnées ont donc pour valeurs':
, Le* viitcuss.de a et de b, tirées de ces deux érpration» et portées dans
l’équation y = ux -t- b de la droite, donnent l'équation :
trouvée ci-dessus. " , f . :'\ » -
Prôbuüsk. — L'équation d’tme droite étant donnée, rntruler l’angle ;'
qu’elle fait arec t'axe des x. ' ' * ’ " - *
Soit y ?= nx + b l'équation d’une droite.
En désignant par • l’angle inconnu que dette droite fait avec l'are de» x, et par é l’angle des axes, on a -: •
Slll (£-—«;
* De celle équation on lire ; <
a s in 8
^ “ — 1 -f- a . cos i
Telld.est Ja formule cherchée. • ' . • - . . '
Si les aies sont rectangulaires (1) devient tg a = a, résultat déji
connu.
Du calcul numérique de l' angle *.
La formule .. . •
„ • •« sin 9r *
"• < ‘g “ — i, a . cos i " .
n’est pas commode pour le calcul numérique de 1 angle « . < Reprenons la relation * <
sin ( 9 — *-]
On en tire :
Et par suite :
si n ( 9 — * ) — sin « 1 — ~ n
sin f9 — a ) -t- tin « 1 -V- ft
•lg (§-•>) l q
D’où
Cette formule permet de calculer l’angle a, au moyen des logarithmes.
Remarque sur la manière de complet' l' angle *. • *' ■
L’angle «- de la formule (1)- est l'angle formé par la direct ioa dec absci}se* positives avec celle ries deux directions de la droite donnée qui s’étend Au côté des ordonnées positives. ... .
Cet angle varie de 0° à 180°. . .
Trouver réquation d'une droite qui fume par un point donné (s’, ÿ j.
Ce prablème est évidemment indéterminé. • • ..
. L’équation delà droite cherchée doit être de la forme ï^w + L rt et ft sont ici- les inconnues de la question..
point x'y' devant étrcsur la droite, nous aurons : y' = ax' +'6-
Telle estla seule équation que donne l’énoncé , elle contient les deûx inconnues a et b, elle montre bien l’indétermination du problème. Cètte équation donne ‘ k • * »
bj=y‘ — ax' .
Et ert portant cette râleur dans l’équation y = ax + b cherchée- de droite, en trouve : -, ,«
Telle est l’équâtion demandée. Le coefficient angulaire a de la droite y est indéterminé. .
On pourrait de même avoir une équation ne contenant que b.
Trouver l'équation de la' droite qui patte par deux pointi donnée x'y' et x"y" .
D’après le problème précédent, la droite cherchée devant passer par le point x',y', son équation sera de la forme
Et puisque la droite doit contenir le second point a:'', y", on aura la relation :
'La valeur de a tirée de cette équation et portée dans l’équation (t) donne:
-■ Telle est l’équàtion de 4a droite cherchée.
Remarque. — Si l'on suppose l’un des points, si tac sur l’axe des x, ”{tr' on, y == 0") et le second situé sur l’axé des y [y' e= ip, x".= 0]:
l’équation obtenue ci-dessus devient + j=t. Équation déjàcohnue
Déterminer le point tl‘ intersection de deux droites donnée* par leurs
' ‘ ' équations* '• '
Soient y = ax + b, y = o’x- -4- b' les équations de deux droites. Les coordonnées de leur point de 'rencontre doivent satisfaire à la fois à’ces . deit* équations, car le point est -commun i chacune de ces -droites.
Donc, pour obtenir les coordonnées. X et Y. de ce point d’intersection, il faut déterminer les yaltîurs de x et de y communes aux deux équations y = ax 4- b, y = a'x -+- b, c'est-à-dire qu’il faut résoudre ces deux équations.
On trouve ainsi : ’ . <
b — b' y én' — ab'
pour les coordonnées du point cherché. .
Remarque. — Si les droites sont parallèles jour point de rencontre est à l’infini. Alors -X = oo , Y = x , cë qui exige que a =r a'.
L’équation a — a' est donc la condition de parallélisme de deux droites dont les équations sont :
y = ax-|-i, y =s u'i-hi 1 .
La condition de parallélisme de deux droites est' donc indépendante des coefficients linéaires do leurs' équations.
Calculer l'angle de deux droites données par leurs équations.
' ■ ' ' ■ , o' sin 8
* i . r. i a' COS 8'
La substitution de ces valeurs dans (1) donne après toutes réductions de calcul': , , 1 ■
tgU-,
1 4- ( a 4* «' ) cos 8 4- aJ'
Telle est la formule qui fera connaître l’angle cherché M. Si les axes sont rectangulaires, cette Formule devient :
tgM = r
aa
Condition de parallélisme de deux droites.
Si les deux droites sont parallèles, M — 0, Ig M = 0 et alors on trouve indépendamment de l’inclinaison des axes. ...
Condition de perpcndiéuiariti de droites .
Si les deux droites sont perpendiculaires M = '90“ , l(g M = x et 1 on
trouve lorsque les axes sont. obliques . . . , ,
1 + { a -f- a' ) cos fl 4- aa 0. ..
Et si les axes sont rectangulaires. .
1 + aa’ = 0.
Ce sont là les conditions de perpendicularité de deux droites, suivant que les axes sont obliques ou rectangulaires. •
Remarque. — L'équatioir d'ünc droite qui , passant par un point donné, serait perpendiculaire à une droite donnée y = ax-i- b, serait :
