IX

Ici y est une fonction de la variable indépendante X, car on peut toujours concevoir l’équation f ( x, y ) = O.Tésolue par rapport à x.

Si l’on avait :

on aurait : •

du = Ty?y + d i.- dl r (,)

Dans le cas de f[ x, y) = 0, u est constante et égale à zéro; alors du = 0 et l’équation (1) nous donne :

y- . rfy 4- dx = 0.

rfy dx

Et par suite :

dj ■ ■

' dy dx

35 df'

Rappelons ici que la notation représente la dérivée de f[x, y ) prise par rapport à x, en considérant y comme constante ; la notation ^ représente la dérivée de ({ x, y ), prise par rapport à y, en considérant* comme constante.

Les équations connues des sections coniques

a l y ! — b*x*-‘ra*b*—(}

dy 6**

dx a’ y

dy Px

donnent :

dx a*y.

dy P

dx y

En sorte que les équations des tangentes à ces courbes en un point x\ y' sont : •

y ÿ=s j-, ( x — ai ) pour l’ellipse.

y — y'— ÿç,[x — x') pour l’hyperboIe.

'y— y'== ( x — *' ) pour la parabole.

DIFFÉaEUTlELLES UES ORDRES JUPÉBUIUS DES FONCTIONS EXPLICITES D’UNE SEULE VARIABLE. . v

Soit une fonction de x, y =f (*)•

Que x soit ou ne soit pas la variable indépendante, on a .

dy — fix^dx. . . . • ( 1 ) ■ •

SI * est la variable indépendante, dx est une quantité numérique considérée comme cônstanle, et l’équation (1) montre que la différentielle dy Je la variable dépendante y étant le produit f’(x) dx, lequel est une fonction de x, est elle-même une certaine fonction de x. -•

Donc si x n'est pas la variable indépendante, dx est une fonction, puisque alors x est variable dépendante.

dy étant nne fonction, on pourra prendre la différentielle de dy; on la nomme la différentielle seconde de y, et on la désigne par d.dy ou plus simplement d*y. En prenant de même la différentielle de la fonction < Py , on a d.d , y ou d l y ( différentielle troisième ) ; et ainsi de suite.

On désigne par d*î/ les différentielles quatrième,..:., «r*** de

la variable y. • ...

Si x n’est pas la variable indépendante, on pourra prendre les différentielles successives de dx , lesquelles seront représentées par tPx, <f*x,...., d’x. ■: , '

Si x est la variable indépendante, dx étant constant, il en résulte que iPx = 0, d 3 x = 0 On sait en qffel que la différentielle d’uqe con-

stante est nulle.

Les dérivées successives d’une fonction f[x) se désignent par les notations f (x), f"[x),. ... f" (x).

DIFFÉRENTIELLES DES ORDRES Sl'PÉRIEl'RS d’iNE FONCTION EXPLICITE DE LA VARIABLE INDÉPENDANTE. 4

Soit la fonction y = f[x), x étant la variable, indépendante, on en tire :

dy = f (x)M. . , . . . ( 1 )

Et en différentiant successivement, il vient d’après le principe d (au) — - a.du, puisqu’jci dx est constant.

(?)..., d , yszf ll (x)dx.dxzzf"[x)dx*

(3) ... d}y=*f m (x\dx.dx*=f' n (x)dx l I '

* * /ii

(4) ... d i y=r(x)dr.dx 3 =f f ’(x)dx*

|d’oé : I

Les équations' ( I ),. (2), (3). (•) pourront donc s'écrire aimé :