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</ s ÿ= ~-.Ar 3 .
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Et afin que ces équations ne représentent pas des identités, il faudra y considérer les rapports ^ comme des notations.
DIFFÉRENTIELLE* DES ORDRES SUPER tEURS D ISK FONCTION BXPLICfTE D U*K ' FONCTION’ , DONT LA VARIABLE N’EST PAS INDÉPENDANT!!.
Soit la fonction i/xs:f(jrj, z n'étant pas la variable indépendante. I.e théorème des fonctions de fonctions donne : *■ ■ ; ' " -•
, JB ^ • J >
ki dy est une fonction. ^ .
L’équation (1) dtwu« en différentiant successivement, d'après le prin-
cipe if(ti, v) = ^ du 4- de et en adoptant lés notation* indiquées et employées ci-déssua i . ■ s . f
tPystf" fclé&it-f' V * . .(*) -/«•'*
dhj=f"[x)dx 3 -t-S/ - " [jr).//r . dSr+f {x).tPx±^ =f u {x).dx l -\~$('\^d*d?x±f\ (x}<Px. . . (3)-.
Alors que x.n.’est pas lh variablé indépendante/ Ig thédrème des fonctions de fonctions donne rfy'= [' (x).<ir, en sorte que Je rapport ^ représente encore la dérivée f (x) ; mais les équations (St et (3, montrent ' j’y '* ' * , ; ' ■
que les rapports dx 3 ne fe P regentenl P* s Je» dérivées seconde et troisième; /'*(*),/'"(*). ’ *•'* 1 ‘
ANALYSE. |i
Néanmoins nous conviendrons, par extension de la notation différentielle, de représenter les dérivées f" (x), f" r [x), par les notations
(Pu (Py
dx s ’ dx*’ en s0rle que lM é 9 uation8 t 1 )» (2),'<3), dans lesquelles x
u’est pas la variable indépendante, s'écriront ainsi :
dy= d £dr. ■ .
^ = -à dx7 + d £ <t ' T -
dp-
Nous le rappelons encore, il faut bien, dans ces équations, ne cpnsidht d'n
dérer les expressions £ ,... . que comme des notations,.
Exemples de différentiations successives,
l. Déterminer les différentielles successives de la fonction
y = jc".
Supposons que x soit variable indépendante, alors, cKaprésJea principes du" = mu m -‘du et dau =» adu , on a successivement , puisque ici dx est une constante :
dy =r mx“— ‘.dx “
(f J y = m ( 1 ) x m ~ t dx' ’•
' d*i/ — m ( ni — t")( m — 2 ) r*— *dx*
d"y » m (m— 1 ) {mi-2}.:. (rt — n+ j )x-— dx". î
Supposons que x soit variable dépendante , alors dx. est ûtie fonction, et. d’après les principes du" et
df (u, v, te. -* ) = d Jdu + ÿdt- + d J dw
On a successivement : /
• * ' >• . dy ~ *tx"*— 'dx. ’’ ’ ' -
d*U = m (<n — - 1 ). x"— ’dx* -+- m.x m ~'d i x. ... dhj = m (m — ») (m — $ ) x^-'dr* -t- 2. m [m — 1 ) x— Vx.d'x -+- -+* m ( m — 1. jr°-*dx(Pr 4- mx" - 'd*.r. =
= m { m — 1) [m — 2) x"*-*dx? f. 3. m(m — 1) x~- 2 dx d*x +- mx"- , d J x.
•fl. Déterminer les différentielles successives de la. fonction
Cette fonction rentre cjqns la précédente, car — = x~“.
111. Déterminer les différentielles successives de la fonction ;
tr
- ‘ xx *
Si x est variable indépendante , les principes da *» a log adr et
dau = adu donnent successivement :
dy —a log a. dx.
d*y = log a. dx. da = a ( log « )* dx*.
<Py = ( « X log a ) ’dr 1 . da =» a* ( lpg a ) *d.r*
d" y = a ( log a) n <Lr \
Si x est variable dépendante-, alors les principes d«“ = o- log adu et
df [u, et.. ) = $-’. du 4- ÿ. d» 4- ... donnent successivement :
' ' ‘ d* dv
dy — a log a. dx.
d’ÿ = o X (log a( t dx l 4 - a' r log adV.
d’y =.tf r (k)g b) W* 4- 2a X (lèg a) *dx d»x 4- a X (log a}*dxd'x 4-'
• ‘4- a x leg b . d’x. r
= a 1 (Log a\ s dr 1 + ’da' (Log -a) ’d.rd'x 4-« J logad’-r.
IV. Déterminer les différentielles successives de la fonction :
■> ■ • »/ = sin tu.
Supposons d'abord x variable indépendante, alors les principes d sin ù — cos udu, d cos « = — sin udu et dau — adu donnent successivement : • •
dy =. cos nx d(tue) = ». cos nx. dx.
d’yxz — n sin'nXiInx Âr = -i. n ! s m nxdx 3 . (Py z= -r n* cos nx dnx. dx 3 = — n 3 cos nx dx 3 d'n = + «* sin «x dnxdx 3 = -K » 1 sin nx dx*.
Si x est variable dépendante, on applique les principes d sia h = cos udu , </ cos « = - sin «du et d/ (u, e) =* d« + ... et lon a 8UC . cessivement : 3 • . . v . * , »
dÿ =5 cos nx d(nx J = n. eos nsr dx. •
d ! ÿ = — ■ n. sin nx dnx. dx + n: cos nx- d J x = — n ! . jin nx dx 1 + 4- n. cosnx d 3 x.- *
d*j/ = n» cos nx dnx. dx 3 — 2 n*. sin nx dx d 3 x n sin nx dnx d 3 x+ + n. cos rtx. (^x. .
c= — . n 3 . cos nx dx 3 . — 3 n 3 . sin nx dx d*x. -H n. cos nx d 3 x. .
V . Déterminer les différentielles successives de la fonction :
y = Lof ! r -
Supposons d’abord x variable indépendante ; l’application des principes dlog d = — . Ldg e, et duu"‘ = amu‘ H ~‘du donne :
. “?/ — • Log « = x~‘. Log-e. dx :
• d 3 i/ = •—' 1 , jr-J. L,og t dx 3 = — ‘ t— -* dx 1 • . . ’ * / •**.
d*y ~ L 2: Lo 8 x dx- 3 =r + Sxj'Wy. dx 3 •.
d 1 ;/ = — - t. 2. 3.’ *-*. Log td.f* ~ — — 3 . 1 -°(>f d.r‘
* . ar
rfy*" 4 * 1 4- 1 ; 2. 3, . . {2*v Lo g C t=
= + 1.2.3. 2n Loge .
dj^ 2 = — 1.2. 3... (2 n 4- 1) x-*"-’ Ug e dx 2 "* 2 =*
Si x est variable dépendante, l’application des principes r d Log « =
— . Log e, dan* — amu'"~' d» et df [u, v) = — . du + donne succes-
«ventent :
