VI. I’üobi.kmk. —,On donne l'équation

1 du d , u

x dx dxf ' '

rfll *

dans laquelle ^ et représentent par notation , les dérivées première et seconde d’iinc certaine fonction u prises par rajipqrt à x.

. .r est donnée par l'équation • •

6 est ici la variable indépendante. — On demande d'exprimer' l'équation (1) cp fonction de u-et de t.

* du

Quoique x soit variable dépendante, le rapport^- représente encore la dérivée première (page 103); quant à la 'dérivée seconde représentée par. ^ elle a pour valeur : ....

dx d 7 v. dx — du. d J x. * ,

• dx dx 1

En sorte que l’équation (1) devient par substitution ' ■>

' 1 d/l d-\i. dx — du. iPj .

x dx . . . dx J . . v

HO

ou ce qui revient au même, en ."y introduisant les rapports —, *(- ,

d.t d*x d3 ’ dâ*' :

du d’u dj- ((« dV

1 d3 d^ ’ df dT d?"

u +• -. -j— + ir dj;

ir

djT»

Je 3

L'équation .r»= 43. ou* = 23* donne en la dilfércntiant deux fois -afin d’avoir iLr et d’x, et puisque 3 est variable indépendante :•

x dx = 2 d8. d’où : = 2 -

(jij* (j jçi

x d’x 4- dx* = 0. d’où : J- 3 + = 0, et par substitution :

cPx

dô r

(Poe

La substitution des valeurs de x, j- et -, 3 'dans|2) donne :

du

’ d’u 1 du. . 1

+ . rtjn^o. .

d’où finalement :

du d*u •

-jT~ “4“ 3 -rr# 3= 0.

Telle est l’expression cherchéê. —