SÉRIES DE TAYLOR ET DE MAC-LUR1S

Série de Taylor.

Soit à déterminer le développement f[x + h) que présente la fonction f{x), lorsqu'on donne à la variable x un accroissement Arbitraire h.

En représentant par H le rapport inconnu de l’accroissement de la fonction f(x),À l'accroissement A de r, on a

H est ici une fonction de x et de h, laquelle devient f (x) lorsque h devient- oui.

• L’équation (1) donne :

Ici x et h sont toutes deux variables,’ et comme elles ne sont liées entre elles par aucune relation, on peut les assujettir à telle conditionque l’ou voudra.

Supposons donc qu'on les fasse varier de telle sorte que leur somme reste constante et soit a cette somme constante, alors x-t- h — a, h =z a — z et l’équation (2) devient :

. Dans cette nouvelle équation H est une fonction d’z.

L’équation (3)‘donnc en prenant les dérivées successives d’après- le principe .

•. *) — d f de

lx djc dv " dx' ' ,

' 0 = r (x) + H' (a — -ait — H. . .* (4) . \

0 =/*"(*) Té- H'"{« — x) — SH".

Afin d'éliminer H, H', Vt', H ** dans ces équations^- je multiplie

respectivement le* équations (3), (4% (5), (%), ($), par 1, a — x, ,

gjj •»’ j , et en ajoutant les nouvelles équations obtenues

par ces multiplications, il vient après réduction :

n*)=f(x)+ Mrw+^ÿrixi + r» (xj +!.».*’

Et puisque n = x h, a — x =* h, il vien{ finalement :

. /(i4-*)=/ii)+*.f'M+ £2 r w + r f 3 r ; À + ;‘-r- . .

Telle est la série de Taylor* ... • ,

Cette série donne le développement <le /'( x-f A ) d'ajwès les puissances entières et ascendantes de l'accroissement h.

Pour une fonction entière de x, f (*) r A„x"‘ 4 - A, x"!~[ 4- on

obtient aisément le aéVelôppemeirf • •

f(x+h)=f[x)+ h.r w + ~ rwi +

par la formyle du binôme.

Série de Mac-Laurin. — Dans la série de Taylor, .si J'on change. A en ir et réciproquement, on a .. ^ . .

Et en faisant A = 0, il vient : - - . . . , •

Telle est la série de Mac-Laurin.

Cette série donne le développement d'une fonction, d'après tes puissances ascendantes et entières de la variable xr. • '

Forme particulière 'tous laypelte on peu / développer une [motion.

Soit une fonction d’-r, f(x)\ quel que soit x, ou a l'identité : *

Ut en développant le second membre d’apçès la série de Taylor, il vient' :

t . n Série. tU Taj-lor à- deux variables.

Si dans la fonction f[x, y ) on considère tf abord r cqmmc seule variable pn donnant à x un accroissement h, on qura d’apiès la série de Taylor : " , : • ■ • '

(!)-• f(x+h, y)~f [x,'j] 4- A. /' (a-, y) -+- MA*,

M étant l'ensemble des termes dans lesquels on peut mettre A* en facteur commun. • ' ' < ,

Dahs l'équation- (lj considérons y comme seule variable, alors en donnant à y Paccroissement k , qous aurons- :

(2)... f(x+k, y +*) = f{x, y+h) +h. f'\x, y 4 *) 4 -MA î .

La série de Taylor appliquée aux fonctions f{x, y+k) et h.f^' [x, y+k )

dans lesquelles y est considérée comme seule variable donne les développements : ' . ' •

, W- ffc, y+k) = f(x, y) 4; k. f (.r, y) P k\

(4)... A. y (x, y+k )=ïh. f-J (x, y ) 4- AA. (x, y) 4-

L addition dos équations (2), J3) et (4) donne après réduction : f[ * .+-M V + * ) = f[ *. ÿ ) 4- A. fj (x, y ) 4- M'A’