MESURE D'UN ARC D'UN DEGRÉ

arc F G était dirigé obliquement par rapport au prolongement de l'arc EF ; maïs la connaissance de l’angle qu'il formait avec ce prolongement a permis d'en conclure la longueur F G'' de l'arc de méridienne partant du point F, et aboutissant au parallèle du point G : cet arc FG‘’, égal à F’ G’, a dù être ajouté à la somme des trois arcs AB. CD, EF, pour fournir Farc total A G’ de la méridienne du point À, compris entre ce point et le parallèle du point G. C’est cet arc À G’ qui a été trouvé égal à 538 078,39 pieds anglais. La latitude du point A était de 39° 56’ 49’; celle du point Gr, la même que celle du point G, était de 38° 27’ 34" : la différence de ces deux latitudes, c’est-à-dire l’angle des verticales des deux extrémités de l'arc À Gr”, était donc de 4° 28’ 45’’, ou 4°, #79 467. En divisant 538 078,39 par 4,479 467, on trouve 363774 pieds anglais pour la longueur de Farc d’un degré corres- | pondant à la région dans laquelle l'opération a été G-———@&" 64 effectuée. . ,

On comprendra sans peine que la mesure d’un arc de méridienne ne peut pas être pratiquée partout comme nous venons de le dire. On doit même être surpris qu’il ait été possible de trouver une localité convenable pour exécuter l'opération dont nous venons de parler, dans une aussi grande longueur. Lés inégalités "de la surface du sol, les cours d’eau, les forêts, sont autant d'obstacles qui contribuent ‘ à rendre une opération de ce genre impraticable sur la presque totalité de la surface de la terre. Aussi a-t-on dû avoir recours à un autre moyen, qui puisse être employé partout; nous allons expliquer en quoi il consiste. °

: $ 404. Imaginons que l’on veuille trouver la longueur d’un arc de méridienne partant du point À, fig. 462; et que l’on ait choisi,

dans le voisinage des lieux où l’on suppose ‘que cet arc doit passer, des points B, C, D... placés de manière à pouvoir être aperçus de loin. Ce seront, par exemple, des sommets d’édifices élevés tels que des clochers, ou des signaux artificiels installés sur le haut de certaines collines. Concevons en outre que les divers points À, B, C, D,...… soient joints les uns aux autres par

A] Fig. 161.

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des lignes droites, de manière à former un réseau de triangles, à travers lequel passe la méridienne du point A.

Si l'on connaissait tous les côtés et tous les angles de ces divers triangles, ainsi que l'angle formé par la méridienne À mn... avec le côté AB, on en conciurait facilement, soit par une construction géométrique, soit par un calcul trigonométrique, les longueurs des diverses portions Am,mn, np... de cette méridienne. En effet, dans le triangle A Bm, on connaîtrait le côté AB, et les deux angles adjacents B À m, À B m ; on en conclurait le côté A m qui forme la première portion de la méridienne, et en outre le côté B m et l’angle Bm A. Dans le triangle m Cn, on connaîtrait le côté Cm qui est la différence entre BC et Bm, et les deux angles adjacents m Cn, Cmn, le second de ces angles étant égal: à l'angle B m A déterminé. précédemment; en en cqnclurait le côté mn qui forme la deuxième portion de la méridienne, et en même temps le côté Cn et l’angle Cnm. De la même manière le triangle Dnp ferait connaître la troisième portion n p de la méridienne ; et en continuant ainsi on arri- , verait à déterminer les longueurs de toutes les parties de la méridienne du point A, comprises à l'intérieur des divers triangles du réseau. :

Ïl est aisé de voir qu’il n’est pas nécessaire de mesurer directement les trois tôtés et les trois angles de chacun des triangles qui composent le réseau, pour pouvoir opérer comme nous venons de le dire; il suffit de mesurer tous les angles, et un seul côté que l’on désigne spécialement sous le nom de base. Supposons, en effet, que A B soit le côté que l’on a mesuré. Le triangle AB C est entièrement connu, puisqu'on connaît un de ses côtés et ses trois angles ; on peut donc en conélure la longueur de chacun des deux autres côtés AC, BC. De même la connaissance des trois angles du triangle BCD, et du côté. B C qu'on vient de trouver, permet de déterminer la longueur de chacun des deux autres côtés BD, CD. Et ainsi, de proche en proche, on parviendra à connaître les longueurs de tous les côtés du réseau de triangles, tout aussi bien que si on les avait mesurés directement. Si, au lieu du côté A B, on avait mesuré un autre côté, pris n'importe où dans le réseau de triangles, on en déduirait d’une manière tout à fait analogue les longueurs de tous les autres côtés. On comprend de suite combien cette circonstance donne de facilité pour la détermination de la longueur d’un arc de méridienne : il serait presque toujours impossible de mesurer directement les longueurs des divers côtés du réseau de triangles ; tandis que, n'ayant à mesurer qu'un seul de ces côtés, on peut toujours disposer le réseau de telle manière que cette opération se