QUIL

leur forme réelle.

C’est pour obtenir une carte qui soit exempte de ce défaut, qu’on a imaginé le système de projection stéréographique. Dans ce svstème, au lieu d’abaisser d’un point quelconque A de l'hémisphère,

fig. 169, une perpendiculaire sur le plan du méridien M M, qui lui sert de limite, on joint ce point A à l’extrémité O du diamètre de la sphère qui est perpendiculaire au méridien MM; et on prend le point.a où Ja ligne AO perce le plan MM, pour la représentation du point À sur ce plan. D’après | cela,’ la figure B appartenant à la M Surface de l’hémisphère, se trouve représentée sur la carte par la figure b, dont le contour n’est autre que l'intersection du plan MM "et de la surface conique ayant pour .. Sommet le point O et pour base le Fig. 169. contour de B. Les lignes telles que À a, qui joignent les points de l’hémisphère aux points correspondants de la carte, sont: d'autant plus obliques par rapport au plan de la carte, qu’elles partent de points plus rapprochés des bords de l'hémisphère : il en résulte que le raccourci qui existait vers les bords de la carte, dans la projection orthographique, né se présente plus ici, et c’est ce qu’on voulait obtenir.

. La projection stéréographique jouit de deux . propriétés i importantes, que nous énoncerons sans les démontrer. La première consiste en .ce que tout cercle de la sphère, que ce soit un méridien, un parallèle, ou bien un autre cercle platé d’une manière quelconque, est représenté sur la carte par un cercle. La seconde consiste en ce que l'angle formé par deux lignes qui se coupent sur la sphère, est égal à celui que forment les lignes qui les représentent sur la carte (on sait qu’on appelle angle de deux lignes courbes, l'angle compris entre les tangentes à ces lignes courbes menées par le point où elles se coupent).

La première propriété permet de tracer très-facilement le canevas de la carte, puisque. ce canewas, formé de la représentation d’un certain nombre de parallèles et de méridiens, ne se compose que d'arcs de cercle.

La seconde propriété en entraine une autre de la plus grande importance : c’est que toute figure de petites dimensions sur l'hémisphère est représentée par une figure semblable sur la carte. Cela résulte de ce que, cette figure de la sphère pouvant être regardée comme plane à cause de sa petitesse, tous les triangles dans lesquels on peut la décomposer sont représentés sur la carte par

des triangles qui ont les mêmes angles que les premiers, et qui par conséquent leur sont semblables ; l’ensemble de ces triangles, sur la sphère, forme donc une figure semblable à celle que forment les triangles correspondants sur la carte. Ainsi, la projection stéréographique ne déforme pas les figures très-petites placées n'importe où sur l’hémisphère ; toutes les dimensions d’une pareille figure sont réduites dans un même rapport. Mais ce rapport, suivant lequel la réduction se fait, varie avec la position que la figure occupe sur l'hémisphère. Au bord de la carte, il n’v a pas du tout de réduction, puisque les parties du méridien qui limite l'hémisphère conservent évidemment leurs grandeurs sur la carte. Au centre, au contraire, les dimensions sont toutes réduites de : moitié; car la ligne cd, fig. 169, est évidemment la moilié de la ligne CD. “ |

On voit, sur la figure 470, quelle est la disposition dù canevas

AT ja

d'une mappemonde, construite d'après la système de projection stéréographique. Les méridiens et les parallèles y sont tous représentés par des.arcs de cercle, qui se rencontrent partout à angle droit, comme sur la sphère, d’après la seconde des propriétés énoncées ci-dessus.

$ #43. — Dans la construction des cartes particulières, destinées à ne représenter qu’une portion de la surface de la terre, telle que l'Europe ou l’un des États qui la composent, on cherche bien autant que possible à conserver les formes telles qu’elles existent sur la terre ; mais on cherche surtout à ne pas altérer les rapports d’étendue superficielle entre les diverses parties de la contrée qu’on veut figurer. Voici en quoi consiste le système qui satisfait le mieux à

ces deux conditions, et qui a été en conséquence adopté pour la construction de la grande carte de France, que le ministre de la guerre a publiée il y a quelques années.

Soit MN, fig. 171, la portion de la surface dé la terre que l'on veut représenter sur la carte, et que nous supposerons déjà figurée sur un globe. On commence par choisir un méridien B AC et un parallèle D AE qui la traversent en passant à peu près par son milieu. Le. méridien moyen BAC est représenté sur la carte par une ligne droite bac, fig. 172. Pour avoir la représentation du pa-

Fig. 171. Fig. 172.

rallèle moyen, que l’on veut faire passer par le point a, on mèëne en ‘ À une tangente AO au méridien moyen; on prend la portion de cette tangente comprise entre le point A et le point O où elle coupe l’axe PQ du globe, et on la porte en ao sur la ligne droite bac, à partir du point a; enfin, du point o comme centre, on décrit l'arc de cercle da e, qui figure le parallèle moyen sur la carte. Pour avoir les ‘autres parallèles, on porte sur la ligne b ac des distances af, ag, ah, ai... égales respectivement aux longueurs AF, AG, AH, AI... des arcs du méridien moyen, compris entre le point A et lés divers parallèles ; puis, du point o comme centre, on décrit des arcs de cercle passant par les points f, g, hk, 2... Il ne reste plus qu’à figurer les méridiens situés de part et d'autre du méridien moyen. À cet effet, on porte sur les cercles qui représentent les parallèles, et à partir de la ligne droite bac, qui correspond au méridien moyen,

des arcs aa’, aa’, ff", ff", gg", gg"... hh, hh”',... respectivement égaux en longueur aux arcs AA, A Ass FE, EF". GG, G G".... HH', HH”',... compris sur le globe entre le méridien moyen et les autres méridiens : on trace ensuite, par les points ainsi obtenus, des lignes courbes g'fa' hi, g'f PAT it, qui représentent les méridiens G’ F’ AH, G"F"A"H"T"....

Dans ce système de développement d'une portion plus ou moins grande de la surface de la terre, l'étendue superficielle des diverses parties n’est nullement altérée; c’est-à-dire que des contrées de même surface sur la terre occupent également des surfaces égales sur la carte. Pour nous en rendre compte, il nous suffira de comparer un quelconque des compartiments formés par le canevas de la carte, au compartiment correspondant, pris sur le globe terrestre qui nous a servi à expliquer-sa construction. Nous supposerons, ce qui est toujours permis, qué les méridiens et les parallèles qui composent le canevas, sont extrêmement rapprochés les uns des autres; en sorte. que. les compartiments qu’ils déterminent sont d'une très-petite étendue. par exemple, sur le globe, la portion de surface F' G’ F/’G/' ; les méridiens et les parallèles se coupant partout à angle droit sur le globe, cette portion de surface peut être regardée comme ‘un rectangle dont F’F”° est la base et. F’ G” la hauteur. Ce: rectangle est représenté sur la carte par la ie f g'f' g'', qui n’est pas elle-même un rectangle, parce que les méridiens et les parallèles, sur la carte, ne se coupent généralement pas à angle droit ; mais cette figure f g' f' g”’ peut être regardée comme un parallélogramme, qui a pour base ff! égal à F'F”, et pour hauteur la distance des deux côtés f f",g'g", distance dui est mesurée par fg égal à FG, et par conséquent égal à F’G’. On voit'donc que le petit rectangle F’ G' F’’ G’’, et le petit parallélogramme f' g’ f”' g'', sont égaux en surface comme ayant même base et même hauteur ; d’ou il résulte que la ‘carte représente les diverses parties de la contrée M N, en conservant à chacune d’elles la même étendue superfieielle que sur le globe, c’est-àdire avec des étendues superficielles proportionnelles à celles ve ces diverses parties sur la surface de la terre.

À cette propriété, le système de développement dont il s pot en joint une autre ; c’est de ne pas déformer beaucoup 4a portion de la surface de la terre qu’elle représente. On s’en fera une idée en jetant les yeux sur une carte de France, construite dans ce système, fig. 473. On voit que l'angle formé par un méridien et un parallèle, à leur point de rencontre, est partout peu différent d’un angle droit ; cet angle est exactement droit pour tous les points de rencontre si-

tués sur le méridien moyen bac, ou sur le parallèle moyen dae.. Les divers compartiments du canevas ayant, d’après cela, à trèspeu près, la même forme que sur la sphère, il en est de même des

figures, quelles qu’elles soient, qui sont tracées dans ces compartiments. Il est bien clair que la déformation, qui a lieu principalement vers les angles de la carte, serait. de plus èn plus sensible, à mesure que cette carte représenterait une étendue de pays de plus en plus grande.

8 144. — Les cartes marines, dont les navigateurs se servent pour leurs voyages, sont construites d'une manière toute différente ; voici en quoi consiste le principe de leur constroction. Imaginons que la surface entière d’un globe, qui représente la terre, soit divisée en un grand nombre de fuseaux de même largeur, par des

iméridiens équidistants les uns des autres, fig. 174; et qu'on ait

CEE ; circonscrit un cylindre à ce A 8 C globe, tout du long de l’équateur EE. Les génératrices de ce cylindre, correspondant aux divers points À, B, C,...

de l’équateur, seront les tangentes A’ À A’’, B’ BB’, C' CC/’,... aux méridiens qui \\\NN passent par ces points. Con- INMæ cevons que l’on détache le TM demi-fuseau P AB de la sur.

face du globe, et qu'on le redresse pour l’appliquer sur la partie correspondante AB A’ B’ du cylindre circonscrit. La largeur du fuseau allant en diminuant progressivement de l'équateur au pôle, il ne pourra pas couvrir la bande cylindrique À B A’B/ d'un bord à l’autre, à moins qu'on ne l’élargisse d’une quantité convenable en chaque point de sa longueur. Mais en l’élargissant ainsi, on altérera la forme de la portion du fuseau comprise entre les parallèles RS, TU, puisqu'on augmentera la longueur des côtés TU, RS de cette figure. Il n’y a qu'un moyen d'empêcher cette altération de forme : c’est d’augmenter la longueur des côtés TR, US dans le même rapport. Alors la figure R’S/T'U ainsi obtenue sur le cylindre, sera semblable à la figure RSTU à laquelle’elle correspond sur le globe ; puisque ces deux figures, pouvant ètre considérées chacune comme un rectangle, à cause de leurs très-petites dimensions, ont leurs bases et leurs hauteurs proportionnelles.

Chaque demi-fuseau étant ainsi développé sur la surface du cylindre circonscrit au globe. de telle manière que les divers parallèles qui le traversent s’éloignent les uns des autres conformément à la condition qui vient d’être indiquée, la portion du demi-faseau située très-près du pôle P, se trouvera reportée à une distance extrémement grande de l'équateur EE, sur la surface du cylindre ; on s'en rend compte sans difficulté en observant qu’un petit rectangle tel que RSTU, voisin du pôle P, éprouve un accroissement considérable dans toutes ses dimensions, en passant de la sphère sur le cylindre, accroissement qui tend à se faire dans un rapport de plus

Fig. 174.

en plus grand, à mesure que ce rectangle est pris plus près du pôle. Le demi-fuseau, ainsi transformé, couvrira donc la totalité de la bande cylindrique A B À’ B', jusqu’à une distance infinie de l’équateur EE ; et si l'on opère de même pour tous les demi-fuseaux dont se compose la surface entière du globe, on voit qu’ils viendront occuper, par leur ensemble, la totalité de la surface du cylindre circonscrit, que nous supposons s'étendre indéfiniment au-dessus et au-dessous de l’équateur EE. Imaginons maintenant que l’on ouvre la surface du cylindre.le long d’une de ses génératrices, et qu’on la développe sur un plan ; ce développement, contenant l'indication des divers objets remarquables qui étaient primitivement marqués sur le globe, constituera une carte marine.

Il est aisé de voir, d’après cela, en quoi consiste le cañevas d’une ‘ carte marine. Tous les méridiens du globe s'appliquent sur le cy-, lindre suivant des génératrices, et deviennent par conséquent, après le développement du cylindre, des Hignes droites parallèles entre elles et perpendiculaires à la ligne droite suivant laquelle se développe léquateur ; ces lignes droites parallèles sont équidistantes les unes des autres, si elles représentent des méridiens équidistants sur le globe. Les parallèles de la sphère deviennent sur la carte des lignes droites parallèles à l'équateur, et par conséquent perpendiculaires à celles qui représentent les méridiens ; mais, si ces parallèles sont équidistants sur la sphère, ils ne le sont plus sur la carte, où leurs distances augmentent de plus en plus, à mesure qu'ils correspondent à des latitudes plus élevées.

La figure 475 peut donner une idée des cartes marines ; elle réprésente toute la portion de la surface de la terre qui s'étend de part et d'autre de l'équateur, jusqu'aux parallèles dont la latitude est de 80 degrés. On y remarque sans peine l'agrandissement progressif qu'éprouvent les diverses parties de la terre figurées sur cette carte, à mesure qu'elles s’éloignent de l'équateur. Aussi commettrait-on de graves erreurs, si l’on s’en servait pour comparer les divers pays sous le rapport de leur étendue superficielle, Mais ce défaut des cartes marines est amplement compensé par une propriété précieuse, qui les. a fait adopter exclusivement pour les voyages maritimes, et que nous allons faire connaître.

Le plus court chemin d’un point à un autre, sur la surface d’une sphère, est l’arc de grand cercle qui joint ces deux points. Il semblerait donc que c'est suivant un arc de grand cercle que les navigateurs devraient se diriger sur la mer, pour atteindre le but de leur voyage. Mais celte route circulaire ferait des angles différents avec les méridiens menés par ses divers points , et il en résulterait

21h FIGURE DE LA TERRE.

une certaine complication pour donner à chaque instant une direction convenable à la marche du navire. Il est beaucoup plus com-

Fig. 175.

mode de se diriger de manière à couper tous les méridiens sous le même angle ; en effet, une fois qu'on sait sous quel angle où doit les couper, pour arriver en un lieu déterminé, on n’a plus qu’à s'assurer, au moyen de la boussole, que la direction de la marche du navire fait bien constamment cet angle connu avec la direction du méridien correspondant à chacun des points de la route parcourue. La route que l’on suit ainsi sur la mer n’est pas un arc de grand cercle ; mais elle en diffère assez peu, tant qu'on ne la prend pas dans une très-grande étendue , et la longueur du chemin parcouru n’est pas beaucoup plus grande que celle de l'arc de grand cercle qui joint les deux extrémités de ce chemin. Cette ligne courbe, suivant laquelle se dirigent les navigateurs sur la mer, porte le nom de loxodromie. Il est aisé de voir quelle forme prend une loxodromie sur les cartes marines, construites comme nous venons de l'indiquer. Une portion quelconque de cette ligne , comprise entre deux méridiens très-voisins l’un de l’autre, peut tonjours être regardée comme

la diagonale ST d’un petit rectangle RSTU, fig. 174, formé par les méridiens et les parallèles de ses deux extrémités : cette portion ST de loxodromie prendra donc la position S’T” sur la surface du cvlindre circonscrit , et, comme le rectangle R’ S’T’U’ est semblable au rectangle RSTU, ‘elle fera avec le méridien R'T' un angle égal à celui qu'elle faisait avec le méridien RT sur la sphère : donc la loxodromie , qui rencontre tous les méridiens sous le même angle sur la surface de la sphère, les rencontrera encore tous sous le même angle Sur la surface du cylindre circonscrit, el par conséquent aussi sur la carte qui est le développement de ce cylindre. Mais les méridiens sont représentés sur la carté par des lignes droites parallèles entre elles ; et comme il n’y a qu’une ligne droite qui puisse rencontrer toutes ces parallèles sous un même angle. il en résulte que la loxodrorhie est nécessairement représentée sur la carte narine par une ligne droite.

C'est en cela que consiste la propriété des cartes marines que nous voulions faire connaître. Il est aisé de voir combien cette propriété facilite aux marins la détermination de la direction qu'ils doivent donner à la marche de leur navire. Après avoir bien fixé, sur la carte, le point où ils se trouvent , et celui où ils veulent aller, ils tracent une ligne droite entre ces deux points : l’angle que cette ligne droite fait avec une quelconque de celles qui représentent les méridiens est précisément l'angle sous lequel la marche du.navire doit couper les méridiens sur la surface de la-mer, Habituellement, le navire ne suit pas rigoureusement la ligne qu'on veut lui faire suivre, soit parce que les moyens employés pour reconnaître la direction de sa marche ne sont pas très-exacts, soit parce qu'il se trouve emporté latéralement par les courants qui existent dans beaucoup de parties de l'Océan. Aussi, après avoir navigué pendant quelque temps, cherche-t-on à déterminer le lieu qu'on occupe sur la mer, au moyen d'observations dont nous parlerons plus tard. Quand on a trouvé la longitude et la latitude de ce lieu , on le place sur la carte marine , et en le joignant par une ligne droite au point vers lequel on se dirige, on trouve une nouvelle valeur de l’angle sous lequel la marche du navire doit rencontrer le méridien, valeur dont on se sert comme précédemment.