Eqiinlion de In trajectoire
Il est nécessaire de représenter la trajectoire par une formule.
Soit () 3) le ))oint de départ du projec-
tile, 01 * la ligne de projection, V la vitesse initiale, et tj la pesanteur. Par le point O, menons une ligne horizontale OX, (jui sera l’axe des .abscisses représentées jvar x, et une ligne v erticale OY qui sera la ligne des ordonnées représentées par y.
Après un certain teiu])s /, le projectile, par l’elfet de la vitesse inititile V seule, serait arrivé en A; mais par l’eiïet de la j>esantcur, il .s’est .ab.aissé d’une ((uantité égale .4 | y d.ans le sens vertical. Si donc, par le point A, on trace la verticale AB, et qu’on prenne AM=:t le jvoint AI sera un |)oint de la trajectoire.
Soit ç l’angle POX (jue la ligne de projection fait .avec rhorizont.ale, et qu’on .appelle a«y/e de projection; prenons OC. ég.al .4 V, et menons la ligne CD i>erpendiculaire à OX; 01) sera la |)rojcction sur l'horizontale OX de la vitesse OC, ou la composante horizontale de la vitesse. Elle a pour valeur V multiplié par le cosinus de l’angle POX ou A' cos ip. La durée / du trajet du mobile du point O ii la verticale AB sera égale à la durée du tr.ajet suivant OX,
en vertu de la vitesse A' cos o; c’est-à-dire qu’on auia t = — - — , L’abaissement dû à la
V cos œ
JC*
jvesanteur dans ce tenqvs, ou î y t’, sera J- y ^ .
En exprimant par tang f la tangente trigonométrique de l’angle îp, on aura AB = = OB tang POX ou AB = j; tang-p; y étant l’ordonnée MB de la trajectoire au point M égale i\ AB — AM, on aura pour l’équation de la trajectoire:
,y==:rtangp-|^:;£;-. [ij
l'in donnant à x un certain nombre de valeurs différentes, on aura pour y les ordonnées «l’autant de pointa correspondants de la trajectoire.
Pour avoir la distance du point où la courbe coupe l’axe des x, on fait y—n dans l’équa-
gx'
tion de la trajectoire. Il vient aloi-s o = x tang p
-, (jni donne deux valeurs:
2 V’cos’p
,, 2 V* lanfïocos*® V*sin2« , ■ .
1 une X = O pour le point de départ O, et x = ^ ^ pour le point b.
Cette valeur, que nous i-eprésentons par X, est la portée horizontale; elle a un maximum quand sin 2p=l, ou lorsque 2p=z:90», et [Kirtant (piand p=z45''.
5. Remarquons (art. 1) que l’on a V’=2 y/i, et substituant cette valeur dans le second terme du deuxième membre de l’équation [l], y disparaîtra, et l’on aura :
y=x tang P
4 h vos’ P
Cette équation de la trajectoire représente, comme la précédente, la relation entre les abscisses x, ou les chemins parcourus comptés siu' l’horizontale, et les ordonnées y, ou les élévations de la trajectoire au-dessus du plan horizontal. C’est l’équation de la trajectoire; elle déiiend de l’angle de projection p et de la vitesse V ou de la hauteur h due à cette vitesse.
(5. Simplilkaüom et (if/plicatioiis.
Ixi valeur de tang p est donnée par des tables numériques. Quand les calculs ne sont |Kis qilus compliqués que dans les applications que nous aurons à faire à la balistique, on n’a pas besoin de recourir à l’emploi des logarithmes, et on emploie les tangentes naturelles avec jilus d’avantage (pie les tangentes logarithmiciues ; nous donnons (table 1) une table de ces tangentes naturelles, calculées avec un nombre de décimales qui suffira toujours pour les applications qu’on aura à en faire. En regard des tangentes, on a mis les sinus et les cosinus naturels, de sorte qu’on peut passer des tangentes aux sinus et aux cosinus, sans exprimer les angles en degrés et minutes.
Dans la pliqwirt des appbeations, l’inclinaison est donnée directement par sa tangente; celle-ci n’étant autre cho.se que l’élévation de la ligne de projection pour une unité de longueur, ou le rapport de l’élévation à la longueur, l’on aura la valeur de tang p sans avoir besoin d’exprimer p en degrés et en minutes; on peut donc ne voir dans tang p que l’expression d’une inclinaison.
On remarquera aussi que, (piand les angles sont jietits, les cosinus différent peu de l’unité et que l’on j)cut, dans les applications qui .se rapportent nu tir sous de petits angles, négliger cette différence ; c’est-à-dire, l emplacer ces cosinus par l’unité. Quand on voudra
»*n tenir coiuptc dans les raicnls nimiériques, sans avoir recours aux Uiltles des cosinus, on I ein))laccra la valeur 1 tang *5; on aura aloi’s i)our l’équation de la trajectoii e :
IJ = X taiig » — — ( 1 -f tangî * ) .
Dans les applications numériques, on ne conservera dans tang y que les décimales utiles, ttuatre chilTres signilicatifs ou (piatre décimales sufliront toujours. Trois sufliront encoie dans un grand nombre de cas.
(tuant aux valeurs de //ou —, on a (table II) des tables calculées pour la suite des
\alcurs V, croissant par (juantités rapproebées. depuis lOO"' jusqu’à 540"’, qui faciliteront encore les calculs; jMir exemple pour \ = 4S"', on tromc // = 1 17" 44.
Hxeuipli-s : l* Soit d’abord un projectile lancé sous l'angle de 4à', avec une viles.se initiale de 48 métrés par .seconde; on aura V=:48'"=*; // = 1 17”44 ; f = 4ô"; t.mg = 1,0000;
tos^= 0,7071; cos’ -f = 0,500. L’équation de la tr.ajectoire //rzrj-tangts —
' ' ' ih eus’ tf
deviendra ;
iX M 7 ,tt X ü.-'OO
a.tt,88’
Lu l'ais;mt i/—o dans cette équation, on obtiendra et j' = 234“,88; .soit 23J>'" eu nombre rond, pour la portée boiizontale. En prenant ensuite divei-ses valeurs de x, on déterminera les ordojinées des points correspondants, dette trajectoire se rapproclie beaucouj) de celle tlu globe du mortier-éprouvette pour le cas d’une i>ortéc de 235 mètres environ.
2* Soit V=02*"'*70 et s = 45*; on auia // = 200"'4: tang 'f = 1,0000 et
y ^ ^ ^ lW y=„, on aura n=z 400- 8.
(’.’est le cas qui se rapproche du tir ordinaire des boml/es à 400 métras.
3" Soit ®=12»; V=:140 mètres; on aura tang o=0, 21250; cosy=0,t)78l ;//=;l)00'« ;
l’équation de la Inijectoire sera >/ = 0,21250 x — =0,21250 x .
C.’est le cas du tir plongeant des gros projectiles de l’artillerie.
4* Soit enfin V = 450- * et o = 0*14'; on aiiia // = 10322, tang ;p = 0,00407 ; cos 9 ne dill'érera j/as sensiblement de l’unité, et l’équation de la trajectoire sera :
// = 0,00407 X , ou // = 0,00407 X — 0,0000243 x’.
./ 11SK8 '
(ie cas se rapprocherait de celui du tir du fusil d’infanterie, si l’on |»ou\ ait négliger rinlluence «le la résistance de l’air.
