D'UNE LIGNE MOBILE DE FORME CONSTANTE

rapport au point 0, par exemple. Le contraire arrivera pour un autre point D, si l'angle de OD, avec la courbe, prise dans le même sens, est obtus au lieu d'être aigu; ce point passera en D', en deçà de MN par rapport au point 0. Donc la courbe M' N' coupe la courbe de MN en un certain point compris entre les points G et D; en définitive le point de rencontre des deux positions MN, M' N' infiniment voisines, est le pied P de la normale abaissée du point sur la courbe. Ce point P considéré comme lié à la courbé se déplace suivant la courbe elle-même par suite de la rotation instantanée, et l'élément qu*il décrit appartient à une ligne tangente à la courbe MN.

Par exemple faisons glisser une droite AB, de longueur constante, dans l'angle droit formé par deux droites fixes CX, CY. A un instant particulier, le centre instantané de la droite AB est le point 0, intersection des normales AO, BO, élevées aux trajectoires des points A et B, et le point P, pied de la perpendiculaire abaissée du point sur AB est un point du lieu des intersections successives delà droite AB,ou,commeondit,delacoMr&e enveloppe des positions de cette droite.

85. Cycloïde. La cycloïde est la courbe EFHG, engendrée par le mouvement d'un point F d'une circonférence OC, qui roule sans glisser sur une droite fixe AB. -

11 résulte de cette génération qu'à un instant quelconque Tare CF, compris sur la circonférence entre le point décrivant et le point de contact G de la circonférence avec la droite AB, est égal à la longueur GE ^^s- n*-

comprise sur cette droite entre le point de contact G et le point de départ E de la cycloïde.

Proposons-nous de mener la tangente à la cycloïde au point F.

Pour y parvenir remplaçons le cercle OG par un polygone d*un très-grand nombre de côtés, et voyons ce qui se passe lorsque ce polygone roule sans glisser sur la droite AB.

Le polygone vient successivement appliquer ses côtés sur la

Fig. 113.

Av

142 CYCLOÏDE. — ÉPICYCLOÏDE.

droite AB : soit cd le côté actuellement en contact ; le mouvement par lequel le polygone viendra appliquer sur AB le côté de à la suite du côté cd, sera une rotaUon autour du point d, sommet commun à ces deux côtés consécutifs. On voit donc que dans ce mouvement de roulement du polygone sur la droite^ les sommets successifs du

polygone servent , chacun à leur tour, décentres de rotation.

Lorsque le nombre des côtés du polygone augmente au delà de A a' b' c d «^ T' B toute limite, le polygone se con- Fig' 115. fondavec le cercle OC; la relation

s*opère toujours autour du sommet du polygcme qui se trouve actuellement sur la droite AB; donc à la limite elle s'opère autour du point C, point de contact du cercle et de la droite.

La droite CF (fig. 114) menée du point C au point décrivant est donc la normale à la cycloïdeau point F, et la tangente à la cycloïde, qui lui est perpendiculaire, s'obtiendra en joignant le point F au point K, extrémité du diamètre du cercle générateur qui passe au point G.

Par la même raison, la courbe décrite par un point M quelconque lié au cercle mobile, et entraîné dans son mouvement de roulement, a pour normale la 4roite CM.